1、7.4.3 圆锥曲线中的定点、 定值与存在性问题,-2-,考向一,考向二,考向三,圆锥曲线中的定点问题,-3-,考向一,考向二,考向三,-4-,考向一,考向二,考向三,-5-,考向一,考向二,考向三,解题心得证明直线或曲线过定点,如果定点坐标没有给出,一般可根据已知条件表示出直线或曲线的方程,然后根据方程的形式确定其过哪个定点;如果得到的方程形如f(x,y)+g(x,y)=0,且方程对参数的任意值都成立,则令 解方程组得定点.,-6-,考向一,考向二,考向三,(1)求椭圆C的标准方程; (2)过圆E:x2+y2=4上任意一点P作圆E的切线l,l与椭圆交于M,N两点,以MN为直径的圆是否过定点?
2、如过定点,求出该定点;若不过定点,请说明理由.,-7-,考向一,考向二,考向三,(2)当直线l的斜率不存在时,以MN为直径的圆的圆心为(2,0)或(-2,0),半径为2,|MN|=4,以MN为直径的圆的标准方程为(x+2)2+y2=4或(x-2)2+y2=4,因为两圆都过坐标原点,故以MN为直径的圆过坐标原点.,-8-,考向一,考向二,考向三,-9-,考向一,考向二,考向三,-10-,考向一,考向二,考向三,例2(2019北京卷,理18)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1). (1)求抛物线C的方程及其准线方程; (2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点
3、M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.,-11-,考向一,考向二,考向三,-12-,考向一,考向二,考向三,-13-,考向一,考向二,考向三,解题心得证明直线或曲线过某一确定的定点(定点坐标已知),可把要证明的结论当条件,逆推上去,若得到使已知条件成立的结论,即证明了直线或曲线过定点.,-14-,考向一,考向二,考向三,-15-,考向一,考向二,考向三,-16-,考向一,考向二,考向三,圆锥曲线中的定值问题 例3(2019全国卷1,文21)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,M过点A,B且与直线x+2=0相切. (1)若A在
4、直线x+y=0上,求M的半径; (2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.,解 (1)因为M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以M在直线y=x上, 故可设M(a,a). 因为M与直线x+2=0相切,所以M的半径为r=|a+2|. 由已知得|AO|=2,又 ,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4. 故M的半径r=2或r=6.,-17-,考向一,考向二,考向三,(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值. 理由如下: 设M(x,y),由已知得M的半径为r=|x+2|,|
5、AO|=2. 由于 故可得x2+y2+4=(x+2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4x. 因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1. 因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.,解题心得证某一量为定值,一般方法是用一参数表示出这个量,通过化简消去参数,得出定值,从而得证.,-18-,考向一,考向二,考向三,对点训练3在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题: (1)能否出现ACBC的情况?说明理由; (2)证明过A,B
6、,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.,解 (1)不能出现ACBC的情况,理由如下: 设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2. 又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为 所以不能出现ACBC的情况.,-19-,考向一,考向二,考向三,-20-,考向一,考向二,考向三,圆锥曲线中的存在性问题 例4(2019湖南长沙第一中学高三下学期高考模拟)已知圆x2+y2=9,A(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点,且PAQ=90,M是PQ的中点. (1)求点M的轨迹曲线C的方程;,-21-,考向一,考向二,考向三,-22-,考向一,考向二,
7、考向三,-23-,考向一,考向二,考向三,解题心得存在性问题通常用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化,其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.,-24-,考向一,考向二,考向三,对点训练4(2019北京丰台区高三年级第二学期综合练习二)已知椭圆E: (ab0)的左、右顶点分别为A,B,长轴长为4,离心率为 .过右焦点F的直线l交椭圆E于C,D两点(均不与A,B重合),记直线AC,BD的斜率分别为k1,k2. (1)求椭圆E的方程; (2)是否存在常数,当直线l变动时,总有k1=k2成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.,-25-,考向一,考向二,考向三,-26-,考向一,考向二,考向三,