1、2.4 压轴大题1 导数在函数中的应用,-2-,-3-,-4-,-5-,-6-,-7-,1.导数的几何意义 (1)函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率,即k=f(x0). (2)函数切线问题的求解策略:用好切点“三重性”: 切点在函数图象上,满足函数解析式; 切点在切线上,满足切线方程; 切点处的导数等于切线的斜率. 2.函数的导数与单调性的关系 函数y=f(x)在(a,b)内可导, (1)若f(x)0在(a,b)内恒成立,则f(x)在(a,b)内单调递增; (2)若f(x)0在(a,b)内恒成立,则f(x)在(a,b)内单调递减. 3.函数的导数与单
2、调性的等价关系 函数f(x)在(a,b)内可导,f(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a,b)上为增函数.f(x)0f(x)在(a,b)上为减函数.,-8-,4.函数的极值、最值 (1)若在x0附近左侧f(x)0,右侧f(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极小值. (2)设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在a,b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得. (3)若函数f(x)在a,b上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. 5
3、.常见恒成立不等式 (1)ln xx-1;(2)exx+1.,-9-,6.构造辅助函数的四种方法 (1)移项法:证明不等式f(x)g(x)(f(x)0(f(x)-g(x)0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x); (2)构造“形似”函数:对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数;把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构,根据“相同结构”构造辅助函数; (3)主元法:对于(或可化为)f(x1,x2)A的不等式,可选x1(或x2)为主元,构造函数f(x,x2)(或f(x1,x); (4)放缩法:若所构造函数最值不易求解,可将所证明不等式进行放缩,再重新构造函数.,-10-,6.构造辅
4、助函数的四种方法 (1)移项法:证明不等式f(x)g(x)(f(x)0(f(x)-g(x)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上的最大值.,-11-,(5)x1a,b,当x2c,d时,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域与g(x)在c,d上的值域交集非空. (6)x1a,b,x2c,d,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的值域. (7)x2c,d,x1a,b,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的值域. 9.求解导数应用题宏观上的解题思想是 借助导函数(正负)研究原函数(单调性); 重点是把导函数先“弄熟悉”;
5、 为了把导函数先“弄熟悉”采取的措施: (1)通分; (2)二次求导或三次求导; (3)能画出导函数草图是最好的!,2.4.1 函数的单调性、极值点、 极值、最值,-13-,考向一,考向二,考向三,考向四,求单调区间或讨论单调性(多维探究) 例1(2019山东菏泽一模,文21)已知函数h(x)=ln x-ax(aR). (1)设f(x)=h(x)+ +(a+1)x,求函数f(x)的单调区间; (2)略.,-14-,考向一,考向二,考向三,考向四,-15-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得求f(x)的单调区间,需知f(x)的正负,若f(x)不含参数,但又不好判断正负,将f(x)中正负不定
6、的部分设为g(x),对g(x)再进行一次或二次求导,由g(x)的正负及g(x)的零点判断出g(x)的正负,进而得出f(x)的正负.,-16-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练1设f(x)=ln x,g(x)= x|x|. (1)令F(x)=xf(x)-g(x),求F(x)的单调区间; (2)略.,-17-,考向一,考向二,考向三,考向四,-18-,考向一,考向二,考向三,考向四,例2已知函数f(x)= -x+aln x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)略.,-19-,考向一,考向二,考向三,考向四,-20-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得在求函数f(x)的单调区间时,若
7、f(x)中含有参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类,本例分类的标准(1)按导函数是否有零点分大类;(2)在大类中再按导函数零点的大小比较分小类;(3)在小类中再按零点是否在定义域中分类.,-21-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练2已知函数f(x)=ln x-mx(mR). (1)若m=1,求曲线y=f(x)在点P(1,-1)处的切线方程; (2)讨论函数f(x)在(1,e)上的单调性.,-22-,考向一,考向二,考向三,考向四,-23-,考向一,考向二,考向三,考向四,讨论函数极值点的个数 例3设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中aR. (1)讨论函数f(x)极
8、值点的个数,并说明理由; (2)略.,-24-,考向一,考向二,考向三,考向四,-25-,考向一,考向二,考向三,考向四,-26-,考向一,考向二,考向三,考向四,-27-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得利用导数求含参数的原函数的单调区间极值最值恒成立问题的步骤: 1.求函数定义域; 2.求导通分或因式分解或二次求导(目的:把导函数“弄熟悉”); 3.对参数分类,分类的层次:(1)按导函数的类型分大类; (2)按导函数是否有零点分小类; (3)在小类中再按导函数零点的大小分小类; (4)在小类的小类中再按零点是否在定义域中分小类.,-28-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练3
9、(2019四川宜宾二模,理21)已知函数f(x)= . (1)当a=1时,判断f(x)有没有极值点?若有,求出它的极值点;若没有,请说明理由; (2)略.,-29-,考向一,考向二,考向三,考向四,当x(0,1)时,g(x)g(1)=0, f(x)0,f(x)在区间(0,1)单调递增, 无极值点; 当x(1,+)时,g(x)0,g(x)为增函数, g(x)g(1)=0, f(x)0,f(x)在区间(1,+)单调递增, 无极值点. 综上,当a=1时,f(x)没有极值点. (2)略.,-30-,考向一,考向二,考向三,考向四,函数的极值、最值 例4(2019四川成都七中一模,文21)已知函数f(x
10、)=xsin x+2cos x+ax+2,其中a为常数. (1)略; (2)求函数f(x)在x0,上的最小值.,-31-,考向一,考向二,考向三,考向四,解 (1)略. (2)对x0,f(x)=xcos x-sin x+a,令g(x)=xcos x-sin x+a,g(x)=-xsin x0, f(x)在0,区间内单调递减. 当a0时,f(x)f(0)=a0,f(x)在区间0,上单调递减,故f(x)min=f()=a. 当a时,f(x)f()=a-0,f(x)在区间0,上单调递增,故f(x)min=f(0)=4. 当00,f()=a-0,且f(x)在区间0,上单调递增,结合零点存在定理可知,存
11、在唯一x0(0,),使得f(x0)=0,且f(x)在0,x0上单调递增,在x0,上单调递减,故f(x)的最小值等于f(0)=4和f()=a中较小的一个值.,-32-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得求最值的常用方法是由导数确定单调性,由单调性确定极值,比较极值与定义域的端点值确定最值.,-33-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练4(2019北京海淀4月模拟,理18)已知函数f(x)=xln(x+1)-ax2. (1)略; (2)当a0时,求证:函数f(x)存在极小值;,-34-,考向一,考向二,考向三,考向四,-35-,考向一,考向二,考向三,考向四,-36-,考向一,考向二,
12、考向三,考向四,在恒成立中求参数的极值、最值,-37-,考向一,考向二,考向三,考向四,解 (1)由已知得f(x)=f(1)ex-1-f(0)+x. 所以f(1)=f(1)-f(0)+1,即f(0)=1. 又f(0)=f(1)e-1,所以f(1)=e. 从而f(x)=ex-x+ x2. 由于f(x)=ex-1+x, 故当x(-,0)时,f(x)0. 从而,f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增.,-38-,考向一,考向二,考向三,考向四,(2)由已知条件得ex-(a+1)xb. ()若a+10,设g(x)=ex-(a+1)x, 则g(x)=ex-(a+1). 当x(-,ln(a+1
13、)时,g(x)0. 从而g(x)在(-,ln(a+1)单调递减,在(ln(a+1),+)单调递增. 故g(x)有最小值g(ln(a+1)=a+1-(a+1)ln(a+1). 所以f(x) x2+ax+b等价于,-39-,考向一,考向二,考向三,考向四,ba+1-(a+1)ln(a+1). 因此(a+1)b(a+1)2-(a+1)2ln(a+1). 设h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1), 则h(a)=(a+1)(1-2ln(a+1).,-40-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得1.kf(x)或kf(x)恒成立,求参数k的最值问题,一般的解题思路是,先求f(x)的最小值(或
14、最大值),得出关于kg(t)或kg(t)的函数不等式,然后再求函数g(t)的最值.从而得出k的最值. 2.对于导函数的零点存在但不可求的问题,可根据零点存在定理确定出零点所在的区间,在求函数的最值时可利用整体代换的方法求解,这是在用导数解决函数问题中常见的一种类型.,-41-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练5已知函数f(x)=x-1-aln x. (1)若f(x)0,求a的值; (2)设m为整数,且对于任意正整数n, ,求m的最小值.,-42-,考向一,考向二,考向三,考向四,解 (1)f(x)的定义域为(0,+). 所以f(x)在(0,a)单调递减,在(a,+)单调递增. 故x=a是f(x)在(0,+)的唯一最小值点. 由于f(1)=0,所以当且仅当a=1时,f(x)0. 故a=1.,-43-,考向一,考向二,考向三,考向四,