1、第2讲 解三角形,近五年高考试题统计与命题预测,2.(2019浙江,14)在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若BDC=45,则BD= ,cosABD= .,3.(2019全国,理17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C. (1)求A; (2)若 a+b=2c,求sin C.,4.(2019全国,理18)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)求B; (2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围.,5.(2019北京,理15)在ABC中,a=3,b-c=2,co
2、s B=- . (1)求b,c的值; (2)求sin(B-C)的值.,6.(2019天津,理15)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C. (1)求cos B的值;,名师点睛本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.,8.(2019江苏,18)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离
3、均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).,(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长; (2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由; (3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.,(2)若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求. 若Q在D处,连接AD, 所以BAD为锐角. 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求
4、. 综上,P和Q均不能选在D处.,(3)先讨论点P的位置. 当OBP90时,在PP1B中,PBP1B=15. 由上可知,d15. 再讨论点Q的位置.,由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.,(1)如图,过O作OHl,垂足为H. 以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系. 因为BD=12,AC=6, 所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3. 因为AB为圆O的直径,AB=10, 所以圆O的方程为x2+y2=25. 因此道路PB的长为15(百米).,(解法二),(2)若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则EO=45,所以P
5、选在D处不满足规划要求. 若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9), 又A(4,3), 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求. 综上,P和Q均不能选在D处.,(3)先讨论点P的位置. 当OBP90时,在PP1B中,PBP1B=15. 由上可知,d15. 再,一、正弦定理与余弦定理,二、解三角形的应用 1.测量距离问题的三种类型 (1)两点间不可达又不可视. (2)两点间可视但不可达. (3)两点都不可达. 2.解决距离问题的方法 选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.,考点1,考点2,考
6、点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,对应训练1 (1)(2017山东,理9)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是 ( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,(1)解析:sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C, sin B+2sin Bcos C=(sin Acos C+cos Asin C
7、)+sin Acos C, sin B+2sin Bcos C=sin B+sin Acos C, 2sin Bcos C=sin Acos C, 又ABC为锐角三角形, 2sin B=sin A, 由正弦定理,得a=2b.故选A. 答案:A,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,对应训练2 (1)在ABC中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),则ABC的形状是(
8、) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 (2)(2019湖南株洲质检)在ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,已知cos 2A= 求a的值; 若角A为锐角,求b的值及ABC的面积. (3)(2017全国,理17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 求c; 设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.,考点1,考点2,考点3,(1)解析:因为(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B), 所以b2sin(A+B)+sin(A-B)=a2sin(A+B)-sin(A-B), 化简整理得a2cos Asin B
9、=b2sin Acos B. 所以a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), 即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, 所以a2-b2=0或a2+b2-c2=0, 即a=b或a2+b2=c2. 所以ABC为等腰三角形或直角三角形. 答案:D,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,解三角形的实际应用 例3(1)(2019河北衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:在C处(点C在水平地面下方,O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射,水平地面上两个观察点A,B两地相距100米,BAC=60,其中A到
10、C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为OAC=15,A地测得最高点H的仰角为HAO=30,则该仪器的垂直弹射高度CH为( ) (2)(2018全国,理17)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5. 求cosADB;若DC=2 ,求BC.,考点1,考点2,考点3,(3)(2017江苏,18)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为32 cm,容器的底面对角线AC的长为10 cm,容器的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器和容器中注入水,水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40 cm
11、.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计),容器,容器,考点1,考点2,考点3,将l放在容器中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度; 将l放在容器中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度. (1)解析:由题意,设AC=x米,则BC=(x-40)米, 在ABC内,由余弦定理,得BC2=BA2+CA2-2BACAcosBAC, 即(x-40)2=x2+10 000-100x,解得x=420(米). 在ACH中,AC=420米,CAH=30+15=45, CHA=90-30=60, 答案:B,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点
12、1,考点2,考点3,如图,O,O1是正棱台的两底面中心. 由正棱台的定义,OO1平面EFGH, 所以平面E1EGG1平面EFGH,O1OEG. 同理,平面E1EGG1平面E1F1G1H1,O1OE1G1. 记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处. 过G作GKE1G1,K为垂足,则GK=OO1=32. 因为EG=14,E1G1=62,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,对应训练3 (1)(2017江西联考)某位居民站在离地20 m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60,小高层底部的俯角为45,那么这栋小高层的高度为( ),考点1,考点2,考点3,(2)在一次海
13、上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向,相距12 n mile的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75方向前进,若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度,沿北偏东45+方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值.,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,(1)解析:如图,设AB为阳台的高度,CD为小高层的高度,AE为水平线.由题意知AB=20 m,DAE=45,CAE=60,考点1,考点2,考点3,(2)解:如图,设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇,则AC=14x,BC=10x,ABC=120.根据余弦定理,得(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120,考点1,考点2,考点3,高考解答题的审题与答题示范(一) 三角解答题 审题方法审条件 条件是解题的主要材料,充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路.审视条件要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含信息,发掘条件的内在联系.,