1、9.1 坐标系与参数方程(选修44),-2-,-3-,-4-,-5-,-6-,-7-,1.极坐标与直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x轴的非负半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(,),则它们之间的关系为x=cos ,y=sin .另一种关系为2=x2+y2,tan = (x0). 2.直线的极坐标方程 若直线过点M(0,0),且此直线与极轴所成的角为,则它的方程为sin(-)=0sin(0-). 几个特殊位置的直线的极坐标方程: (1)直线过极点:=0和=+0; (2)直线过点M(a,0),且垂直于极轴:cos =
2、a;,-8-,3.圆的极坐标方程 若圆心为M(0,0),半径为r,则圆的方程为2-20cos(-0)+ -r2=0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程: (1)圆心位于极点,半径为r:=r; (2)圆心位于M(a,0),半径为a:=2acos ; 4.曲线的参数方程 在平面直角坐标系xOy中,如果曲线上任意一点的坐标(x,y)都是某个变量t的函数 并且对于t的每一个允许值,上式所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为该曲线的参数方程,其中变量t称为参数.,-9-,-10-,-11-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,曲线方程的三种形式间的转化 例1(2019全国卷1,文22)在直角坐
3、标系xOy中,曲线C的参数方程为 (1)求C和l的直角坐标方程; (2)求C上的点到l距离的最小值.,-12-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-13-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,易错警示本题解答的易错点:(1)化曲线C的参数方程为直角坐标方程时,易忽视未知数x的取值范围;(2)消去参数t时,由于参数方程较为复杂,找不到消参的方法. 解题心得1.无论是将参数方程化为极坐标方程,还是将极坐标方程化为参数方程,都要先化为直角坐标方程,再由直角坐标方程化为需要的方程. 2.求解与极坐标方程有关的问题时,可以转化为熟悉的直角坐标方程求解.若最终结果要求用极坐标表示,则需将直角坐标
4、转化为极坐标.,-14-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,对点训练1(2019山西晋城高三第三次模拟考试)已知平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (为参数).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C的极坐标方程; (2)过点(-2,1)的直线l与曲线C交于A,B两点,且|AB|=2,求直线l的方程.,-15-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-16-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,极坐标方程的应用 例2(2019全国卷3,文22),-17-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-18-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,关键
5、点拨(1)写弧的极坐标方程时,注意标明定义域.(2)|OP|即为曲线上的点P到极点的距离,实质为点P的极径. 解题心得直线与曲线相交的交点间的长度在极坐标系中易表达且形式简单,当然求解与极坐标方程有关的问题时,可以转化为熟悉的直角坐标方程求解.若最终结果要求用极坐标表示,则需将直角坐标转化为极坐标.,-19-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,对点训练2(2019辽宁葫芦岛高三第二次模拟考试)在直角坐标系xOy中,A(2,0),B(0,1),以O为极点,x轴的正半轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为42-12=2cos2. (1)求曲线C的直角坐标方程; (2)动点P是曲线C在第一象限的
6、点,当四边形OAPB的面积最大时,求点P的直角坐标.,-20-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-21-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,参数方程的应用 例3(2019河南洛阳高二5月质量检测)已知曲线C的参数方程为 (1)求曲线C的普通方程; (2)直线l与曲线C交于A,B两点,求|AB|的值.,-22-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-23-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解题心得在过定点P0(x0,y0)的直线的参数方程中,参数t的几何意义是定点P0(x0,y0)到直线上的点P的数量,若直线与曲线交于两点P1,P2,则|P1P2|=|t1-t2|,P1
7、P2的中点对应的参数为 (t1+t2);若点P为P1P2的中点,则t1+t2=0.,-24-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-25-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-26-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,求动点轨迹的参数方程 (1)求的取值范围; (2)求AB中点P的轨迹的参数方程.,-27-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-28-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-29-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解题心得求动点轨迹的参数方程就是用参数表示出动点的横坐标和纵坐标,注意参数的取值范围.,-30-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向
8、五,对点训练4已知动点P,Q都在曲线C: (t为参数)上,对应参数分别为t=与t=2(02),M为PQ的中点. (1)求M的轨迹的参数方程; (2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.,-31-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,求动点轨迹的极坐标方程 例5(2019全国卷2,文22)在极坐标系中,O为极点,点M(0,0)(00)在曲线C:=4sin 上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P. (1)当0= 时,求0及l的极坐标方程; (2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.,-32-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-33-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,关键点拨(1)取直线l上除P外任意一点Q(,0),则在RtOPQ中,|OQ|cos(-0)=|OP|,即得直线l的极坐标方程(注意验证点P在直线l上).,解题心得在求动点轨迹方程时,如果题目有明确要求,求轨迹的参数方程或求轨迹的极坐标方程或求轨迹的直角坐标方程,那么就按要求做;如果没有明确的要求,那么三种形式的方程写出哪种都可,哪种形式的容易求就写哪种.,-34-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,