1、第4讲 从审题中寻找解题思路,审题亦即提取有效信息,挖掘隐含信息,提炼关键信息.条件是题目的“泉眼”.为考核学生的观察、理解、分析、推理等能力,高考试题往往变换概念的表述形式,精简试题从条件到结论的中间环节,透析试题的条件之间的联系,隐去问题涉及的数学思想及背景.如何科学地审题是同学们最需要掌握的基本技能.事实上,审题能力的培养并未引起应有的重视,很多同学热衷于题型的总结与解题方法和技巧的训练,把数学学习等同于解题训练,一味地机械模仿导致应变能力不强,遇到陌生的问题往往束手无策,致使解题失误或陷入误区.,-3-,一、审题与解题的关系 审题和解题是解答数学试题的重要两步,其中,审题是解题的前提,
2、详细全面地审题为顺利解题扫除大部分障碍,正确把握数学试题中的已知条件和所求,从题目关键词语中挖掘隐含条件、启发解题思路,最短时间内理解条件和结论所包含的详细信息是保障解题效率与解题质量的必需条件.解题作为审题活动的升华,是全面解答数学试题的核心. 二、怎样算是审清题意 怎样才算审清题意了呢?主要是弄清题目已经告诉了什么信息,需要我们去做什么,从题目本身获取“如何解这道题”的逻辑起点、推理目标以及沟通起点与目标之间联系的更多信息.试题的条件和结论是两个信息源,为了从中获取尽可能多的信息,我们要字斟句酌地分析条件、分析结论、分析条件与结论之间的关系,常常还要辅以图形或记号,以求手段与目标的统一.,
3、-4-,一、审清条件信息 审视条件一般包括“挖掘隐含信息、洞察结构特征、洞悉图形趋势、研读图表数据”等几方面. 审题时要避开过去熟悉的同类题目的影响,看似相同,就按过去同类型题目进行求解,要审出同还是不同,不能似是而非.,-5-,例1(1)(2019广东广州高三二模,文12)若函数f(x)=-x2(x2+ax+b)的图象关于直线x=-1对称,则f(x)的最大值是( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 (2)(2019河北衡水高三联考,理12)如图,在ABC中,ABC=90,AB= ,BC=1,P为ABC内一点,BPC=90.若APB=150,则tan PBA=( ),-6-,答案 (1)C
4、 (2)C 解析 (1)解法1:f(x)=-x2(x2+ax+b)的图象关于直线x=-1对称,且f(x)=0有重根0,所以x2+ax+b=0有重根-2, 所以当x=0时,f(x)的最大值是0. 解法2:由对称性可知f(-2)=f(0),得2a=b+4, 由f(x)关于x=-1对称,可知f(-1)=0,得3a=2b+4, 联立解得a=b=4,得f(x)=-x2(x+2)2,可知f(x)0, 所以当x=0时,f(x)的最大值是0. 解法3:因为f(x)=-x2(x2+ax+b)的图象关于直线x=-1对称, 则满足f(x-1)=f(-1-x). 运用特殊值法.,-7-,取x=1,x=2,代入上式,
5、当a=b=4时,f(x)=f(-2-x)恒成立,即a=b=4满足题意. 即f(x)=-x2(x+2)2. 当x=0时,f(x)取最大值0,故选C.,-8-,-9-,(1)审题指导一 从题目条件中只能看到图象关于直线x=-1对称,但从已知中找不到与函数f(x)的零点的关系,所以应注意到方程f(x)=0隐含有重根0,根据对称性,发现重根-2,确定函数f(x)的解析式,从而求出最大值. 审题指导二 根据对称性可知f(-2)=f(0),且x=-1是函数f(x)的极值点,得到f(-1)=0,联立得到关于a,b的方程组,从而求出f(x)的解析式,从而求出最大值. 审题指导三 对于函数对称性问题,可以运用特
6、殊值法.若函数f(x)关于x=a对称,则满足f(x+a)=f(a-x);若函数f(x)关于(a,b)对称,则满足f(x+a)+f(a-x)=2b.,-10-,(2)审题指导一 利用RtABC和RtBPC的边角关系,求得PCB=ABP=,进而推出PC=cos ,同理根据PCB+PCA=ACB=PCA+PAC,推出PAC=,将已知条件转化为已知两边及其对角,解APC,由正弦定理及同角三角函数关系,求得tan PBA. 审题指导二 借助平面几何知识,过A点作BP延长线的垂线,构造RtADB,利用RtABC和RtBPC的边角关系,求得PCB=ABP=,解RtADB、RtBPC、RtADP,找出AD、B
7、D、PD、BP之间的关系,并用与有关的正、余弦表示出来,利用BD=BP+PD建立等量关系求解tan PBA.,-11-,二、审条件中的隐含 有的数学试题条件并不明显,审题时要注意挖掘隐含条件和信息,对条件进行再认识、再加工,只有这样,方可避免因忽视隐含条件而出现错误.要注意已知条件中的概念本身容易疏忽的限定信息,关注问题中易于疏忽的特殊情形、可能情形、相近概念之间的差异,要清晰定理成立、公式存在的前提.,-12-,答案(1)C (2)D,-13-,-14-,-15-,三、审条件中的结构特征 高考数学试题中的已知条件,很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的.在这些问题的数式结构中,往往隐含着某
8、种特殊关系,我们不仅要认真审视数式的浅层结构特征,还要对数式结构进行深入的分析、加工、转化,努力弄清其深层结构特征,在这个逐步清晰的过程中,力争寻找到突破问题的方案.,-16-,答案 C,-17-,-18-,-19-,a2=b2+c2-2bccos A, b2+c2=a2+bc=50. 则(b+c)2=100,b+c=10, b=c=5. ABC为等边三角形. sin B+sin C=,-20-,-21-,四、审图形特点寻简捷 在一些高考数学试题中,问题的条件往往是以图形的形式给出,或将条件隐含在图形之中,因此在审题时,最好画一个图,并在图中标出必要的条件和数据,画图的过程是一个熟悉问题的过程
9、,是一个对已知条件进行再认识的过程.不仅如此,还要善于观察图形,洞悉图形所隐含的特殊的关系、数值的特点、变化的趋势,抓住图形的特征,利用图形所提供的信息来解决问题.,-22-,答案,解析,-23-,-24-,五、审图表数据找关联 数据分析是数学学科核心素养之一.此类问题关注现实生活,试题中的图表、数据隐藏着丰富的数据和信息及其内在联系,也往往暗示着解决问题的目标和方向,要求考生发现生活中的问题,学着运用课堂上学到的知识来分析、解决.在审题时,要认真观察分析图表、数据的特征和规律,找到其中的内在联系,为解决问题提供有效的途径.,-25-,例5某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机
10、器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:,-26-,记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数. (1)若n=19,求y与x的函数解析式; (2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值; (3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个
11、易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?,-27-,解 (1)当x19时,y=3 800; 当x19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700. 所以y与x的函数解析式为 (2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.,-28-,-29-,审题指导 把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大. (1)当n=19时,探求y与x的函数解析式,由于机器使用前额外购买这种零件的价格与机器使用期间再购买这种零件的价格不同,需对
12、1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数x与购机的同时购买的易损零件数n=19加以比较,自然应用分类讨论思想对x19与x19,分别探求y与x的函数解析式; (2)本题的统计图表不是高频考查的频率分布直方图,而是统计图表中的柱状图; (3)许多考生没有读懂题意,本问是判断购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件,而判断的决策依据是:这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,为此需计算两种方案时的平均数.每一种方案,如何求解其平均数呢?自然借助于柱状图!,-30-,六、审结论善转换 结论是解题的最终目标,解决问题的思维在很多情形下都是在目标意识下启动和定向的.审视结论是要探索已知条件
13、和结论间的联系与转化规律,可以从结论中捕捉解题信息,确定解题方向.有些问题的结论看似不明确或不利于解决,我们可以转换角度,达到解决问题的目的.,-31-,例6(2019黑龙江高三模拟,文17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AC,BB1的中点. (1)证明:BD平面AEC1; (2)若这个三棱柱的底面是边长为2的等边三角形,侧面都是正方形,求五面体AEB1C1A1的体积.,-32-,(1)证明 设AC1的中点为F,连接DF,EF.D,F分别为AC,AC1的中点, DFBE且DF=BE,BEFD为平行四边形.BDEF.EF平面AEC1,BD平面AEC1,BD平面AEC1.,-3
14、3-,(2)解法一 取A1B1的中点O,连接C1O, A1B1C1为等边三角形, C1OA1B1. 侧面是正方形,BB1A1B1,BB1B1C1. 又A1B1,B1C1平面A1B1C1,且A1B1B1C1=B1, BB1平面A1B1C1. C1O平面A1B1C1, C1OBB1.,-34-,解法二 取BC的中点H,连接AH,ABC为等边三角形,AHBC. 侧面都是正方形,BB1AB,BB1BC. AB,BC平面ABC, 且ABBC=B, BB1平面ABC. AH平面ABC,AHBB1. BCBB1=B,AH平面BB1C1C.,-35-,审题指导(1)条件出现D,E分别是AC,BB1的中点,联想
15、构造中位线,转化为证明线线平行,取AC1的中点F,要证明BDEF,只需证明BEFD为平行四边形,从而证明DFBE且DF=BE,然后再由线面平行的判定定理可得结论成立. (2)方法一:要求五面体AEB1C1A1的体积,需辨别出该五面体是以C1为顶点以AEB1A1为底面的四棱锥,进而问题转化为求四棱锥的高.此时需寻求底面AEB1A1的高,通过A1B1C1为等边三角形,侧面是正方形,和线面垂直判定定理,证明C1O为四棱锥C1-AEB1A1的高.进而求得四棱锥C1-AEB1A1的体积. 方法二:看不出五面体的规则的几何体时,则考虑利用分割、补形的方法转化为规则的几何体的体积和或差求解.本题将几何体C1
16、-AEB1A1分割为三棱柱ABC-A1B1C和四棱锥A-BEC1C,转化为分别求三棱柱ABC-A1B1C1和四棱锥A-BEC1C的体积,然后利用面面垂直求得四棱锥A-BEC1C的高,进而求几何体C1-AEB1A1的体积.,-36-,七、审已知与结论建联系 高考试题的条件和结论是两个信息源,其条件和结论很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的.弄清问题不仅要弄清条件,弄清结论,还要弄清条件与所求结论的相互联系,以求手段与目标的统一.,-37-,例7在ABC中,若bc=3,a=2,则ABC的外接圆的面积的最小值为 .,答案,解析,-38-,审题指导求ABC的外接圆的面积的最小值,即求外接圆半径的最
17、小值,需要用某一变量表示半径R.联系条件给出的bc=3,a=2,显然由正弦定理得2R= ,这就需要求变量sin A的范围.bc=3与余弦定理有关,且还需要与A有联系,4=b2+c2-2bccos A2bc-2bccos A=6(1-cos A).,-39-,1.试题的条件和结论是解题的两个信息源,题目的条件对于得出结论是充分的,解题的钥匙就放在题目的条件里,其中的许多信息常常是通过语言文字、公式符号以及它们之间的联系间接地告诉我们,所以,审题要逐字逐句看清楚,力求从语法结构、逻辑关系、数字含义、条件特征、答题形式、数据联系等各方面真正弄懂题意.只有细致审题才能挖掘出来,避免发生会而不对、对而不全的现象.欲速则不达,审题不要怕慢!当然这有待于平时的审题训练. 2.审题决定成败.审题是解题的一个重要步骤,通过审题收集信息、加工信息,熟悉题目并深入到题目内部去思考、去分析,我们就会找到问题解决的突破口.,