1、 - 1 - 临川二中、临川二中实验学校高三年级第三次月考 文科数学试卷 本试卷分第卷和第卷（非选择题）两部分满分 150 分，考试时间 120 分钟 第卷（选择题） 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.设i是虚数单位，复数i 12ia为纯虚数，则实数a为（ ） A2 B2 C 1 2 D 1 2 2设全集为R，集合 2 |90, | 15Ax xBxx ，则 AB R ( ) A( 3,0) B ( 3, 1 C( 3, 1) D( 3,3) 3. 22 cos375sin375 22 的值为（ ） A. 3 2 B. 1
2、2 C. 3 2 D. 1 2 4.已知数列 n a为各项均为正数的等比数列， n S是它的前n项和，若 17 4a a ，且 47 5 2 2 aa，则 5 S= （ ） A. 29 B.30 C. 31 D. 32 5.已知 n a为等差数列， 135 156aaa， 246 147aaa， n a的前n项和为 n S，则使得 n S达到最大 值时n是（ ） A.19 B.20 C.39 D.40 6.已知双曲线 22 :10 1 xy Cm mm 的左焦点F在圆 22 26150xyxy上， 则双曲线C的离心 率为（ ） A. 9 5 B. 9 4 C. 3 5 5 D. 3 2 7.在
3、边长为 2 的等边ABC中，D是BC的中点， 点P是线段AD上一动点， 则AP CP的取值范围是 （ ） A 3 , 4 B 3 ,0 4 C1,0 D1,1 - 2 - 8.已知定义在 R 上的奇函数 a xf x x 2 12 )(，则不等式0(sin) 42 (cossin2)( 22 x x xxf在区间 6 5 , 5 2 上是增函数，且在区间 , 0上恰好取得一次最大值 1，则的取值范围是 ( ) A. 5 3 , 0( B.) 2 5 , 2 1 C. 4 3 , 2 1 D. 5 3 , 2 1 12设一元二次方程 2 0(0)axbxca的两个根分别为 1 x， 2 x，则方
4、程可写成 12 ()()0a xxxx，即 2 1212 ()0axa xx xax x 容易发现： 12 b xx a ， 12 c x x a 设一元三次方程 32 0(0)axbxcxda 的三个非零实根分别为 1 x， 2 x， 3 x，以下正确命题的序号是（ ） 123 b xxx a ； 122313 c x xx xx x a ； 123 111c xxxd ； 123 d x x x a A B C D 第卷（非选择题） 二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.已知实数yx,满足约束条件 2 02 03 x yx yx ,则yxz3最小值为 . 14已知数列 n
5、a 满足递推关系：1 1 n n n a a a ， 1 1 2 a ，则 2020 a_ 15已知函数 sincos2f xxx xR，则 f x的最小值为 16. 在ABC中 ， 内 角 , ,A B C所 对 的 边 分 别 为,a b c D是AB的 中 点 ， 若1CD 且 - 3 - 1 ()sin()(sinsin), 2 abAcbCB则ABC面积的最大值是 . 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 17.（本小题满分 12 分） 设数列 n a满足 Nn a
6、 aa n n 4 4 , 1 11 （1）求证：数列 2 1 n a 是等差数列； （2）设 2 21 1 n n n a b a ，求数列 n b的前n项和为 n T. 18（本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )2 sin()cos() 23 f xaxx ，且 ( )1 3 f. （1）求a的值及( )f x的最小正周期； （2）若 1 ( ) 3 f ，(0,) 2 ，求 sin2 19.（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD的边长是2的正方形，PAPD，PAPD，F为PB上 的点，且AF 平面PBD. （1）求证：平面PAD平面ABCD； （2）求
7、直线PB与平面ABCD所成角的正弦值. 20. （本小题满分 12 分） - 4 - 已知椭圆 21 2 2 2 2 ,01:FFba b y a x E、为其左右焦点， 21 BB、为其上下顶点，四边形 2211 BFBF的面 积为 2.点P为椭圆E上任意一点，以P为圆心的圆（记为圆P）总经过坐标原点O. （1）求椭圆E的长轴 21A A的最小值，并确定此时椭圆E的方程； （2）对于（1）中确定的椭圆E，若给定圆 1 F:31 2 2 yx，则圆P和圆 1 F的公共弦MN的长是否 为定值？如果是，求MN的值；如果不是，请说明理由. 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )ln(
8、). 2 a f xxxxx aR (1) 若曲线( )yf x在xe处切线的斜率为1，求此切线方程； (2) 若( )f x有两个极值点 12 ,x x求a的取值范围，并证明： 1212. x xxx (二)选考题：请考生在第 22、23 题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22 选修 44：坐标系与参数方程 （10 分） 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线M的 极坐标方程为2cos，若极坐系内异于O的三点 1 (, )A ， 2 (,) 6 B +， 3123 (,)(,0) 6 C 都 在曲线M上. （1）求证： 123
9、3； （2）若过B，C两点直线的参数方程为 3 2 2 1 2 xt yt (t为参数) ， 求四边形OBAC的面积. 23 选修 45：不等式选讲 （10 分） 已知 a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，) (1)求x1 a x2 b 2 x1x2的最小值； - 5 - (2)求证：(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2. - 6 - 临川二中、临川二中实验学校高三年级第三次月考文科数学答案临川二中、临川二中实验学校高三年级第三次月考文科数学答案 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10、 11 12 B B A C B C B D A C D B 二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.-5 14. 1 2021 151 16. 15 5 四、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 17. 解： （1） 1 4 , 4 n n a a Q 1 1111 4 222 2 4 nnn n aaa a (2 分) 2 1 42 2 2 1 42 4 n n nn n a a aa a 为常数， (4 分) 又 1 1 1 1,1, 2 a a Q (5 分
11、) 数列 2 1 n a 是以1为首项 2 1 为公差的等差数列. (6 分) - 7 - （2）由（1）知, 2 1 2 1 11 2 1 n n an , 1 2 1 2 2 n n n an(8 分) 2 2 21 4 41111 21 111 2 2121 2121 212 2121 2 n n n n an n b nannnnnn n (10 分) 123 11111111 1 2335572121 nn Tbbbb nn 11 1 22121 n nn (11 分) 所以，数列 n b的前n项和为 n T. 21 n n (12 分) 18（本小题满分 10 分） 【解析】 （1
12、）由已知 ( )1 3 f，得 11 21 22 a，解得2a .（3 分） 所以 31 ( )4cos (sincos ) 22 f xxxx 2 2 3sin cos2cosxxx 3sin2cos21xx 2sin(2)1 6 x.（5 分） 所以 ( )2sin(2)1 6 f xx的最小正周期为.（6 分） （2） 1 ( ) 3 f ， 11 2sin(2)1,sin(2) 6363 ， 因为 (0,) 2 ，所以 5 2(,) 666 ，又 11 sin(2) 632 ，所以 2(0,) 66 .（8 分） 所以 2 2 cos(2) 63 .（10 分） 则 sin2 =sin
13、(2)sin(2)coscos(2)sin 666666 132 2132 2 32326 .（12 分） 19.【试题解析】 证明： （1）AF 平面PBD，PB平面PBD， PDAF,PAPD PAAFA,PD 平面PAB, AB平面PABPDAB.ABCD是正方形，AB AD , PDAB，ADPDD，AB平面PAD, - 8 - AB平面ABCD，平面PAD平面ABCD,6 分 （2）取AD中点H，连接PH，BH，PAPD，PHAD， 平面PAD平面ABCD，PH 平面PAD, 平面PAD平面ABCDAD,PH 平面ABCD, BH是PB在平面ABCD内的射影. PBH就是PB与平面A
14、BCD所成的角, 在等腰Rt PAD中，2AD，H是AD的中点，1PH , 在Rt BAH中，1AH ，2AB, 5BH ， 22 6PBPHBH , 16 sin 66 PH PBH PB .12 分 20.解： （1）依题意四边形 2211 BFBF的面积为22,2 bcbc，(2 分) 因 为 长 轴 21A A222222 22 bccba， 当 且 仅 当1 cb时 取 “”， 此 时 2a， (3 分) 故长轴 21A A的最小值为22，椭圆E的方程为. 1 2 2 2 y x (4 分 （2）设点 00, y xP为椭圆E上任意一点，则. 2 11 2 2 0 2 0 2 0 2
15、 0 x yy x (5 分) 圆P的方程为：022 00 222 0 2 0 2 0 2 0 yyxxyxyxyyxx， (6 分) 圆 1 F的方程为：02231 222 2 xyxyx，(7 分) 两式作差得公共弦方程为：011 00 yyxx，(9 分) 所以弦心距d 2 22 2 1 2 2 1 11 2 1 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 xx x xx x yx x (11 分) 则弦长232 2 dMN，所以圆 1 F和动圆P的公共弦长为定值 2. (12 分) - 9 - 22. (1) 由 1=2cos ， 2=2cos 6 ， 3=2cos 6
16、 ，(3 分) 则 231 +=2cos2cos2 3cos3 66 .(证毕)(5 分) (2) 曲线M的普通方程为： 22 20xyx，联立直线BC的参数方程化简得： 2 30tt，解得 1 0t ， 2 3t ；即得直角坐标为： 13 , 22 B ，2,0C.(7 分) 则 2=1 ， 3 2， 6 ；又得 1 3. 即四边形面积为 1213 113 3 sinsin 26264 OBAC S 为所求. (10 分) 23. 解 (1)因为 a，b(0，)，ab1， x1，x2(0，)， 所以x1 a x2 b 2 x1x23 3 x1 a x2 b 2 x1x23 3 2 ab3 3
17、2 ab 2 2 3386，3 分 - 10 - 当且仅当x1 a x2 b 2 x1x2且 ab， 即 ab1 2，且 x1x21 时， x1 a x2 b 2 x1x2有最小值 65 分 (2)证明：法一：由 a，b(0，)，ab1， x1，x2(0，)，及柯西不等式可得： (ax1bx2)(ax2bx1)( ax1)2( bx2)2 ( ax2)2( bx1)2( ax1 ax2 bx2 bx1)2 (a x1x2b x1x2)2x1x2，8 分 当且仅当 ax1 ax2 bx2 bx1，即 x1x2 时取得等号 所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x210 分 法二：因为 a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)， 所以(ax1bx2)(ax2bx1) a2x1x2abx22abx21b2x1x2 x1x2(a2b2)ab(x22x21) x1x2(a2b2)ab(2x1x2) x1x2(a2b22ab) x1x2(ab)2x1x2， 当且仅当 x1x2时，取得等号 所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.