1、 - 1 - 连城一中连城一中 20192019- -20202020 学年第一学期第二次月考学年第一学期第二次月考 高三理科数学试题高三理科数学试题 （考试时间：120 分钟 总分：150 分） 试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 第卷（选择题，共 60 分） 一、选择题： （本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.） 1.1.已知集合 |5Ax yx， |31,Bx xnnN，则AB （ ） A2 B 2,5 C2,5,8 D1,2,5,8 2.已知命题 2 :,10pxR xx ；命题:q ab是 11 ab 的充
2、要条件，则下列为真命题的是（ ） Apq B.pq Cpq Dpq 3.3.一个四面体的所有棱长都为 2，四个顶点在同一球面上，则此球的体积为( ) A. 2 B C. 3 2 D. 3 4.已知数列 n a为等差数列，且满足 2511 15aaa，则数列 n a的前 11 项和为（ ） A40 B45 C50 D55 5.已知 5 log 2a ， 0.5 log0.2b ， 0.2 0.5c ，则, ,a b c的大小关系为（ ） Aacb Ba bc Cb ca Dcab 6. 将函数 2 ( )cos(2)cos2 3 f xxx 的图象向左平移(0) 个单位长度，得到函数( )g x
3、的图象， 若函数( )g x的图象关于y轴对称，则的最小值是( ) A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 7. 若1x 是函数 21 ( )(1) x f xxaxe 的极值点，则( )f x的极大值为（ ） A. 1 B. 3 2e C. 3 5e D. 1 8. 函数 2 2 sin22 ( )(,00,) 133 xx f xx x 的图像大致为（ ） - 2 - A B C D 9. 设 ,m n是两条不同的直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A若 / /m , / /m ,则 / / B若 ，m ， / /n ，则m n C若m , /mn,则n D若 ,m
4、 ,则 / /m 10.在ABC中，点M为AC的中点，点N在AB上，NBAN3,P在MN上，PNMP2,那么 AP( ) ACAB 6 1 3 2 B. ACAB 2 1 3 1 C. ACAB 6 1 3 1 D. ACAB 6 1 2 1 11. 11.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2m，E 为 AA1的中点，动点 P 从点 D 出发，沿 DAAB BCCD 运动，最后返回 D。已知 P 的运动速度为 1m/s，那么三梭锥 PEC1D1的体积 y(单位：m3)关于 时间 x(单位：s)的函数图象大致为( ) 12对于函数 ln ( ) x f x x ，下列结论中正确结论
5、的个数为（ ） ( )f x在xe处取得极大值 1 e ；( )f x有两个不同的零点；( )(2)(3)fff； 若 1 ( )f xk x 在(0,)上恒成立，则1k ；0x ， 2 ( )lnf xxx e 恒成立 A4 B3 C2 D1个 第卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题： （本小题共4 小题，每小题5 分，共20 分） - 3 - 13.已知向量a与b满足| 1a ，4b ，且(2)aba，则向量a与b的夹角为_。 14. 设变量, x y满足约束条件 3 1 1 xy xy y ,则目标函数42zxy的最大值为 15.设当0, 2 x 时，函数( )sin22cosf x
6、xx的最大值为_. 16.已知定义在R上的连续函数( )yf x对任意实数x满足(4)( )fxf x，2( )0xfx,则下列命题正 确的有 。 若(2) (6)0ff，则函数( )yf x有两个零点；函数(2)yf x为偶函数； ( 2)(sin12cos12 )ff；若 12 xx且 12 4xx,则 12 ( )()f xf x。 三、解答题： （本小题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共 60 分. 17.(本小题满分 12 分） 已知数列
7、 n a为等比数列，且 1 3 2 () n nn aanN 。 （1） 求 n a的通项公式； （2） 设 2 1 log nn ba ，求 1 1 nn b b 的前n项和为 n S. 18.(本小题满分 12 分） 在锐角ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，2a 且 22 4bcbc。 （1）求角A的大小； （2）求 2c b 的取值范围 19.已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的蓌形，PA平面 ABCD,PA=2,ABC=60 ，E,F 分别是 BC,PC 的中点。 （1）求证：AEPD； （2）求二面角 E-AF-C 的余弦值。 高三 -
8、4 - 20.(本小题满分 12 分） 某市城郊有一块大约 500m500m 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先 要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为 3000 平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为 2 米， 中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)， 塑胶运动场地占地面 积为 S 平方米。 (1)分别用 x 表示 y 及 S 的函数关系式，并给出定义域； (2)请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积 S 最大，并求出最大值。 21. (本小题满分 12 分） 已知函数 2 1 2 ( ), ( )2co
9、s 2 x f xg xxx x . （1）当1,1x 时，求证： 1 1( ) 3 f x ； （2）若不等式sin( )xa g x对0x 恒成立，求a的取值范围。 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 18. 选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题共 10 分） 平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C： 22 (1)1xy 直线l经过点 P（m，0） ，且倾斜角为 6 以 O 为极 点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系 （）写出曲线 C 的极坐标方程与直线l的参数方程； - 5 - （）若直线l与曲线 C 相交于 A，B
10、 两点，且PAPB1，求实数 m 的值 23.选修 4-5：不等式选讲（本小题共 10 分） 已知函数 f（x）x6mx（mR） （）当 m3 时，求不等式 f（x）5 的解集； （）若不等式 f（x）7 对任意实数 x 恒成立，求 m 的取值范围 - 6 - 连城一中连城一中 20192019- -20202020 学年第一学期第二次月考学年第一学期第二次月考 高三理科数学试题高三理科数学试题 参考答案 一、 选择题。 （每小题 5 分，共 60 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A C D A A C A C B D B 二、 填空题。 （每小题 5 分，共
11、20 分） 13. 60 14. 10 15. 3 3 2 16. 三、解答题。三、解答题。 17.（本题共（本题共 12 分）分） （1）由题意，得 12 12 6 12 aa a qa q 2 分 解得q=2， 1 2a 5 分 所以 n a的通项公式为2n n a 6 分 （2）由（1）知2n n a ， 2 1 log 21 n n bn 7 分 1 1111 (1)(2)12 nn b bnnnn 9 分 11111111 . 2334122224 n n S nnnn 1 1 nn b b 的前n项和为 24 n n S n 12 分 18.（本题共（本题共 12 分）分） 解：
12、（1）2a 222 4b cab cbc 222 bcabc 2 分 - 7 - 由余弦定理得 222 1 cos 222 bcabc A bcbc 3 分 又0A 3 A 5 分 （2）由（1）知 3 A 由正弦定理得 24 sinsinsin33 2 abc ABC 44 sin,sin 33 bB cC 6 分 8 2 sin 2sin() 23cossin3 33 1 4 sinsintan sin 3 C B cBB bBBB B 8 分 由 0 2 2 0 32 B B 得 62 B 9 分 3 tan 3 B .10 分 从而 2 14 c b .11 分 2c b 的取值范围是
13、（1,4）12 分 19. （本题共 12 分） 解：）BC=AB，ABC=60 ，AEBC，ABC 是等边三角形； 又 E 是 BC 中点，AEBC，BCAD，AEAD； PA面 ABCD，AE 平面 ABCD，PAAE，即 AEPA，ADPA=A； AE平面 PAD，AEPD （2）以菱形对角线交点为原点建立坐标系更好求点坐标（个人观点） - 8 - （3,0,0） ，（ 3 2 ， 1 2 ，1） 设平面 AEF 的一法向量为 m=(x1,y1,z1)， 则 0 0 mA E mA F ， 因此 1 111 30 31 0 22 x xyz 取 z1=-1， 则 m=(0,2,-1) 分
14、 因为 BDAC，BDPA，PAAC=A，所以 BD平面 AFC，故为平面 AFC 的一法向量.又= （-,3,0） ，所以 cosm,= 2 315 5512 m BD m BD .因为二面角 E-AF-C 为锐角，所以所求二 面角的余弦值为 15 5 . 20.解： （1）由已知 3000 3000,xyy x 其定义域是(6,500).2 分 (4)(6)(210) ,Sxaxaxa 150015000 (210)(3)30306Sxx xx ,其定义域是(6,500).6 分 （2） 1500015000 3030(6 )30302 630302 3002430,Sxx xx 当且仅当
15、15000=6x x ，即50(6,500)x 时，上述不等式等号成立， 此时， max 5060,2430.xyS， 答：设计50m60mxy， 时，运动场地面积最大，最大值为 2430 平方米. .12 分 21. （本题共 12 分） 解： （1） 23 122(1) , (2)(2) xx f xfx xx 1 分 - 9 - 1,1 ,0xfx ，所以函数 f x在1,1上递增2 分 当1x 时， f x取最小值-1， 当1x 时， f x取最大值 1 3 4 分 1 1( ) 3 f x ；5 分 （1） 不等式sin( )xa g x等价于 sin 2cos x ax x 令 s
16、in ( )(0) 2cos x xaxx x ， 则 2 12cos ( ) (2cos ) x xa x 由（）知 2 1 21 1 (2cos )3 cosx x 6 分 当 1 3 a 时，( )0x，所以函数 x在0,上递增 所以 ( )(0)0x满足条件 7 分 当0a 时， 1 ()0 222 a 不满足条件8 分 当 1 0 3 a时，对 sin 0, ( ) 23 x xxax 令 sin ( ) 3 x h xax， c o s ( ) 3 x h xa 显然 ( ) h x在(0,) 2 x 上单调递增 又 1 (0)0,()00 32 haha 存在 0 0, 2 x
17、，使得 0 (0,)xx时，( )0h x ( )h x在 0 (0,)x上单调递减，( )(0)0h xh 0 (0,)xx时( )0h x 不满足条件11 分 综上得，a的取值范围 1 3 a 。12 分 2 22 2选修 4-4：解：(1)C曲线 的普通方程为: 2222 (1)1,2 ,xyxyx即即 2 2 cos, :2cosC即曲线 的极坐标方程为. 2 分 - 10 - 3 2 (). 1 2 xmt lt yt 直线 的参数方程为为参数 5 分 (2) 12 , ,A Bt tl设两点对应的参数分别为将直线的参数方程代入 22 2,xyx中 22 ( 33)20,tmtmm得 2 1 2 2ttmm所以, 8 分 2 |2| 1,1,1212mmm由题意得得或 10 分 2 22 2选修 4-5：解： （1）当3m 时，( )5f x 即|6|3| 5xx， 当6x 时，得95 ，所以x； 当63x 时，得635xx ，即1x ，所以13x； 当3x 时，得95，成立，所以3x .4 分 故不等式( )5f x 的解集为|1x x .5 分 （）因为|6| |6|xmxxmx|6|m 由题意得67m，则767m ，8 分 解得131m, 故m的取值范围是 13,1.10 分