1、中考数学基础复习专题(一)数与式【知识要点】 1.实数的有关概念（1）实数分类-（有限小数和无限循环小数）实数还可以分为：正实数、零、负实数；有理数还可以分为：正有理数、零、负有理数。解题中需考虑数的取值范围时，常常用到这种分类方法。特别要注意0是自然数。（2）数轴数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。实数与数轴上的点是一一对应的，这种一一对应关系是数学中把数和形结合起来的重要基础。在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（3）绝对值绝对值的代数意义：绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。（4）相反数、倒数相反数以及倒数都是成对出现的，零的相反数是零，零没
2、有倒数。“任意一对相反数的和是零”和“互为倒数的两个数的积是1”的特性常作为计算与变形的技巧。（5）三种非负数形式的数都表示非负数。“几个非负数的和（积）仍是非负数”与“几个非负数的和等于零，则必定每个非负数都同时为零”的结论常用于化简求值。（6）平方根、算术平方根、立方根的概念2.实数的运算（1）实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算，整数指数幂的运算。（2）有理数的运算法则在实数范围仍然适用；实数的运算律、运算顺序。（3）加法及乘法的运算律可用于实数运算的巧算。（4）近似数的精确度、有效数字、科学记数法的形式为n为整数）。（5）实数大小的比较：两个实数比较大小，正数大于零和一切负数；两个正数
3、，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。常用方法：数轴图示法。作差法。平方法等。【复习点拨】（1）了解：能从具体事例中，知道或能举例说明对象的有关特征（或意义）；能根据对象的特征，从具体情境中辨认出这一对象。（2）理解：能描述对象特征和由来；能明确地阐述此对象与有关对象之间的区别和联系。（3）掌握：能在理解的基础上，把对象运用到新的情境中。（4）灵活运用：能综合运用知识，灵活、合理地选择与运用有关的方法完成特定的数学任务。【典例解析】1大米包装袋上（100.1）kg的标识表示此袋大米重（）A（9.910.1）kgB10.1kgC9.9kgD10kg【考点】11：正数和负数【分析】根据大
4、米包装袋上的质量标识为“100.1”千克，可以求得合格的波动范围，从而可以解答本题【解答】解：大米包装袋上的质量标识为“100.1”千克，大米质量的范围是：9.910.1千克，故选：A2若方程（x5）2=19的两根为a和b，且ab，则下列结论中正确的是（）Aa是19的算术平方根Bb是19的平方根Ca5是19的算术平方根Db+5是19的平方根【考点】22：算术平方根；21：平方根【分析】结合平方根和算术平方根的定义可做选择【解答】解：方程（x5）2=19的两根为a和b，a5和b5是19的两个平方根，且互为相反数，ab，a5是19的算术平方根，故选C3定义：A=b，c，a，B=c，AB=a，b，c
5、，若M=1，N=0，1，1，则MN=1，0，1【考点】12：有理数【分析】根据新定义解答即可得【解答】解：M=1，N=0，1，1，MN=1，0，1，故答案为：1，0，14计算：23=6【考点】22：算术平方根；1E：有理数的乘方【分析】明确表示4的算术平方根，值为2【解答】解：23=82=6，故答案为：6 5阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，|m|=现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|m+1|+|m2|时，可令m+1=0和m2=0，分别求得m=1，m=2（称1，2分别为|m+1|与|m2|的零点值）在实数范围内，零点值m=1和m=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的
6、如下3种情况：（1）m1；（2）1m2；（3）m2从而化简代数式|m+1|+|m2|可分以下3种情况：（1）当m1时，原式=（m+1）（m2）=2m+1；（2）当1m2时，原式=m+1（m2）=3；（3）当m2时，原式=m+1+m2=2m1综上讨论，原式=通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出|x5|和|x4|的零点值；（2）化简代数式|x5|+|x4|；（3）求代数式|x5|+|x4|的最小值【考点】15：绝对值【分析】（1）令x5=0，x4=0，解得x的值即可；（2）分为x4、4x5、x5三种情况化简即可；（3）根据（2）中的化简结果判断即可【解答】（1）令x5=0，x4=0，解得
7、：x=5和x=4，故|x5|和|x4|的零点值分别为5和4；（2）当x4时，原式=5x+4x=92x；当4x5时，原式=5x+x4=1；当x5时，原式=x5+x4=2x9综上讨论，原式=（3）当x4时，原式=92x1；当4x5时，原式=1；当x5时，原式=2x91故代数式的最小值是16计算：（1）21+sin30|2|；（2）（1）0|3|+【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值【分析】（1）首先利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案；（2）首先利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案【解答】解：（1
8、）原式=+2=1；（2）原式=1（3）+3=17观察下列等式：第一个等式：第二个等式：第三个等式：第四个等式：按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a6=；（2）用含n的代数式表示第n个等式：an=；（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6=（得出最简结果）；（4）计算：a1+a2+an【考点】37：规律型：数字的变化类【分析】（1）根据已知4个等式可得；（2）根据已知等式得出答案；（3）利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得；（4）根据已知等式规律，列项相消求解可得【解答】解：（1）由题意知，a6=，故答案为：，；（2）an=，故答案为：，；（3）原式=
9、+=，故答案为：；（4）原式=+=8【阅读理解】我们知道，1+2+3+n=，那么12+22+32+n2结果等于多少呢？在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，；第n行n个圆圈中数的和为，即n2，这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+n2【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n1行的第一个圆圈中的数分别为n1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为2n+1，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+n2）=，因
10、此，12+22+32+n2=【解决问题】根据以上发现，计算：的结果为1345【考点】37：规律型：数字的变化类【分析】【规律探究】将同一位置圆圈中的数相加即可，所有圈中的数的和应等于同一位置圆圈中的数的和乘以圆圈个数，据此可得，每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的，从而得出答案；【解决问题】运用以上结论，将原式变形为，化简计算即可得【解答】解：【规律探究】由题意知，每个位置上三个圆圈中数的和均为n1+2+n=2n+1，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（12+22+32+n2）=（2n+1）（1+2+3+n）=（2n+1），因此，12+22+32+n2=；故答案为：2n+1，
11、；【解决问题】原式=1345，故答案为：13459在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图1所示（1）仿照图1，在图2中补全672的“竖式”；（2）仿照图1，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图3所示若这个两位数的个位数字为a，则这个两位数为a+50（用含a的代数式表示）【考点】32：列代数式；1E：有理数的乘方【分析】（1）观察图象可知，第一行从右向左分别为个位数和十位数字的平方，每个数的平方占两个空，平方是一位数的前面的空用0填补，第二行从左边第2个空开始向右是这个两位数的两个数字的乘积的2倍，然后相加即为这个两位数的平方，根据此规律求解即可；（2）
12、设这个两位数的十位数字为b，根据图3，利用十位数字与个位数字的乘积的2倍的关系列出方程用a表示出b，然后写出即可【解答】解：（1）（2）设这个两位数的十位数字为b，由题意得，2ab=10a，解得b=5，所以，这个两位数是105+a=a+50故答案为：a+5010计算；（1）|3|+（4）21；（2）（x+1）2+x（x2）（x+1）（x1）【考点】4I：整式的混合运算；2C：实数的运算；6F：负整数指数幂【分析】（1）原式利用算术平方根定义，绝对值的代数意义，负整数指数幂法则计算即可得到结果；（2）原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算即可得到结果【解答】解：（1）原式
13、=434=432=1；（2）原式=x2+2x+1+x22xx2+1=x2+211先化简，再求值：（2x+1）22（x1）（x+3）2，其中x=【考点】4J：整式的混合运算化简求值【分析】原式利用完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值【解答】解：原式=4x2+4x+12x24x+62=2x2+5，当x=时，原式=4+5=912计算或化简：（1）22+（2017）02sin60+|1|； （2）a（32a）+2（a+1）（a1）【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算；35：合并同类项；4A：单项式乘多项式；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函
14、数值【分析】（1）根据零指数幂的意原式=义以及特殊角锐角三角函数即可求出答案；（2）根据平方差公式以及单项式乘以多项式的法则即可求出答案【解答】解：（1）原式=4+12+1=3+1=4（2）原式=3a2a2+2（a21）=3a2a2+2a22=3a213我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=pq（p，q是正整数，且pq），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称pq是n的最佳分解并规定：F（n）=例如12可以分解成112，26或34，因为1216243，所以34是12的最佳分解，所以F（12）=（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m
15、是完全平方数求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1xy9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值【考点】59：因式分解的应用【分析】（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t，则t=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；（3）利用“吉祥数”的定义分别
16、求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可【解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），|nn|=0，nn是m的最佳分解，对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t，则t=10y+x，t是“吉祥数”，tt=（10y+x）（10x+y）=9（yx）=36，y=x+4，1xy9，x，y为自然数，满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）=，F（59）=，所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为14（1）计算：（2）3+（）2sin45（2）分解因式：（y+2
17、x）2（x+2y）2【考点】54：因式分解运用公式法；2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值【分析】（1）根据实数的运算，可得答案；（2）根据平方差公式，可得答案【解答】解：（1）原式=8+92=1；（2）原式=（y+2x）+（x+2y）（y+2x）（x+2y）=3（x+y）（xy）15将下列各式因式分解：（1）x29 （2）3ma2+12ma9m（3）4x23y（4x3y）（4）（a+2b）2+2（a+2b1）+3【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式得出答案；（2）首先提取公因式3m，进而利用十字相乘法分解因式得出答案；（
18、3）首先去括号，进而利用完全平方公式分解因式得出答案；（4）首先去括号，进而利用完全平方公式分解因式得出答案【解答】解：（1）x29=（x+3）（x3）；（2）3ma2+12ma9m=3m（a24a+3）=3m（a1）（a3）；（3）4x23y（4x3y）=4x212xy+9y2，=（2x3y）2；（4）（a+2b）2+2（a+2b1）+3=（a+2b）2+2（a+2b）+1，=（a+2b+1）216某学生化简分式+出现了错误，解答过程如下：原式=+（第一步）=（第二步）=（第三步）（1）该学生解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是分式的基本性质；（2）请写出此题正确的解答过程【考点】6B
19、：分式的加减法【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：（1）一、分式的基本性质用错；（2）原式=+=故答案为：（1）一、分式的基本性质用错；17（1）|3|（+1）0+（2）2；（2）（1）【考点】6C：分式的混合运算；6E：零指数幂【分析】（1）根据绝对值的意义，零指数幂的意义即可求出答案；（2）根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：（1）原式=31+4=6（2）原式=a18设A=（a）（1）化简A；（2）当a=3时，记此时A的值为f（3）；当a=4时，记此时A的值为f（4）；解关于x的不等式：f（3）+f（4）+f（11），并将解集在数轴上表示出来【考点】6C：分式的混合运算
20、；C4：在数轴上表示不等式的解集；C6：解一元一次不等式【分析】（1）根据分式的除法和减法可以解答本题；（2）根据（1）中的结果可以解答题目中的不等式并在数轴上表示出不等式的解集【解答】解：（1）A=（a）=；（2）a=3时，f（3）=，a=4时，f（4）=，a=5时，f（5）=，f（3）+f（4）+f（11），即+，解得，x4，原不等式的解集是x4，在数轴上表示如下所示，19计算：12017丨1丨+（）2+0【考点】79：二次根式的混合运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简求出答案【解答】解：原式=1|1|+24+1=10+8+1=8学 科网20计算：2（1）+【考点】79：二次根式的混合运算【分析】根据二次根式的乘法以及合并同类二次根式进行计算即可【解答】解：原式=22+2=221计算： +（1）29+（）1【考点】79：二次根式的混合运算；2F：分数指数幂；6F：负整数指数幂【分析】根据负整数指数幂和分数指数幂的意义计算【解答】解：原式=3+22+13+2=+2