1、中考数学基础复习专题(三)不等式和不等式组【知识要点】 知识点1、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。知识点2、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集。知识点3、不等式的解集在数轴上的表示： （1）xa：数轴上表示a的点画成空心圆圈，表示a的点的右边部分来表示； （2）xa：数轴上表示a的点画成空心圆圈，表示a的点的左边部分来表示； （3）xa：数轴上表示a的点画成实心圆点，表示a的点及表示a的点的右边部分来表示； （4）xa：数轴上表示a的点画成实心圆点，表示a的点及表示a的点的左边部分来表示。在数轴上表示大于3的数的点应该是数3所对应点的右边。
2、画图时要注意方向（向右）和端点（不包括数3，在对应点画空心圆圈）。如图所示：同样，如果某个不等式的解集为x2， 那么它表示x取2左边的点画实心圆点。如图所示：总结：在数轴上表示不等式解集的要点：小于向左画，大于向右画；无等号画空心圆圈，有等号画圆点。知识点4、不等式的性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。知识点5、一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式。知识点6、解
3、一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化为1。通过这些步骤可以把一元一次不等式转化为xa （xa）或xa（xa）的形式。知识点7、一元一次不等式组：由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。知识点8、不等式组的解集：不等式组中所有的不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。不等式组（ab数轴表示解 集记忆口诀（1）xb同大取大（2）xa同小取小（3）axb大小取中（4）无解两边无解知识点9、解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组。知识点10、解一元一次不等式组的一般步骤：先分别解不等式组中的
4、各个不等式，然后再求出这几个不等式解集的公共部分。知识点11、应用一元一次不等式（组）的知识解决简单的数学问题和实际问题。【复习点拨】1. 理解不等式，不等式的解等概念，会在数轴上表示不等式的解； 2. 理解不等式的基本性质，会应用不等式的基本性质进行简单的不等式变形，会解一元一次不等式；3. 理解一元一次不等式组和它的解的概念，会解一元一次不等式组；4. 能应用一元一次不等式（组）的知识分析和解决简单的数学问题和实际问题。【复习点拨】1. 理解不等式，不等式的解等概念，会在数轴上表示不等式的解； 2. 理解不等式的基本性质，会应用不等式的基本性质进行简单的不等式变形，会解一元一次不等式；3.
5、 理解一元一次不等式组和它的解的概念，会解一元一次不等式组；4. 能应用一元一次不等式（组）的知识分析和解决简单的数学问题和实际问题。【典例解析】1若x+50，则（）Ax+10Bx10C1D2x12【考点】C2：不等式的性质【分析】求出已知不等式的解集，再求出每个选项中不等式的解集，即得出选项【解答】解：x+50，x5，A、根据x+10得出x1，故本选项不符合题意；B、根据x10得出x1，故本选项不符合题意；C、根据1得出x5，故本选项不符合题意；D、根据2x12得出x6，故本选项符合题意；故选D2已知实数a，b满足a+1b+1，则下列选项错误的为（）AabBa+2b+2CabD2a3b【考点
6、】C2：不等式的性质【分析】根据不等式的性质即可得到ab，a+2b+2，ab【解答】解：由不等式的性质得ab，a+2b+2，ab故选D3若3x3y，则下列不等式中一定成立的是（）Ax+y0Bxy0Cx+y0Dxy0【考点】C2：不等式的性质【分析】根据不等式的性质，可得答案【解答】解：两边都除以3，得xy，两边都加y，得x+y0，故选：A4如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是（）ABCD【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法即可得出答案【解答】解：3处是空心圆点，且折线向右，2处是实心圆点，且折线向左，这个不等式组的解集是3x2故选D
7、5不等式64x3x8的非负整数解为（）A2个B3个C4个D5个【考点】C7：一元一次不等式的整数解【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可【解答】解：移项得，4x3x86，合并同类项得，7x14，系数化为1得，x2故其非负整数解为：0，1，2，共3个故选B6为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买（）A16个B17个C33个D34个【考点】C9：一元一次不等式的应用【分析】设买篮球m个，则买足球（50m）个，根据购买足球和篮球的总费用不超过3000元建立不
8、等式求出其解即可【解答】解：设买篮球m个，则买足球（50m）个，根据题意得：80m+50（50m）3000，解得：m16，m为整数，m最大取16，最多可以买16个篮球故选：A7不等式组的解集是x1【考点】C3：不等式的解集【分析】直接利用不等式组的解集确定方法得出答案【解答】解：不等式组的解集是：x1故答案为：x1学 科 网8运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否18”为一次程序操作，若输入x后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是x8【考点】C9：一元一次不等式的应用【分析】根据运算程序，列出算式：3x6，由于运行了一次就停止，所以列出不等式3x618，通过解该不等式得到x的取
9、值范围【解答】解：依题意得：3x618，解得x8故答案是：x89商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为10元/千克【考点】C9：一元一次不等式的应用【分析】设商家把售价应该定为每千克x元，因为销售中有5%的水果正常损耗，故每千克水果损耗后的价格为x（15%），根据题意列出不等式即可【解答】解：设商家把售价应该定为每千克x元，根据题意得：x（15%），解得，x10，故为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克10元故答案为：1010不等式组的整数解是0，1，2【考点】CC：一元一次不等式组的整数解【分析】根据不等式组的解法得出不等式组的解集，
10、再求得整数解即可【解答】解：解不等式一得，x1，解不等式二得，x2，不等式组的解集为1x2，不等式组的整数解为0，1，2，故答案为0，1，211已知不等式组的解集中共有5个整数，则a的取值范围为7a8【考点】CC：一元一次不等式组的整数解【分析】根据不等式组的解集中共有5个整数解，求出a的范围即可【解答】解：不等式组的解集中共有5个整数，a的范围为7a8，故答案为7a812若关于x的不等式（a2）xa2解集为x1，化简|a3|=3a【考点】C6：解一元一次不等式；15：绝对值【分析】先根据不等式的解集求出a的取值范围，再去绝对值符号即可【解答】解：关于x的不等式（a2）xa2解集为x1，a20
11、，即a2，原式=3a故答案为：3a13已知关于x的不等式x1（1）当m=1时，求该不等式的解集；（2）m取何值时，该不等式有解，并求出解集【考点】C3：不等式的解集【分析】（1）把m=1代入不等式，求出解集即可；（2）不等式去分母，移项合并整理后，根据有解确定出m的范围，进而求出解集即可【解答】解：（1）当m=1时，不等式为1，去分母得：2xx2，解得：x2；（2）不等式去分母得：2mmxx2，移项合并得：（m+1）x2（m+1），当m1时，不等式有解，当m1时，不等式解集为x2；当x1时，不等式的解集为x214（1）解方程组：（2）解不等式：1【考点】C6：解一元一次不等式；98：解二元一次
12、方程组【分析】（1）用加减消元法求出方程组的解（2）根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并，系数化为1即可得解【解答】解：（1），+得：3x=9，x=3，代入得：3y=4，y=1则原方程组的解为（2）去分母得，2x63（x2），去括号得，2x63x+6，移项、合并得，5x12，系数化为1得，x15对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：ab=2ab例如：52=252=8，（3）4=2（3）4=10（1）若3x=2011，求x的值；（2）若x35，求x的取值范围【考点】C6：解一元一次不等式；2C：实数的运算；86：解一元一次方程【分析】（1）根据新定义列出关于x的方程，解
13、之可得；（2）根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解之可得【解答】解：（1）根据题意，得：23x=2011，解得：x=2017；（2）根据题意，得：2x35，解得：x416某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元（1）求每个篮球和每个足球的售价；（2）如果学校计划购买这两种球共50个，总费用不超过5500元，那么最多可购买多少个足球？【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用【分析】（1）设每个篮球和每个足球的售价分别为x元，y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可；（2）设篮球购买a个，则足球购买（50a
14、）个，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可确定出最多购买的足球【解答】解：（1）设每个篮球和每个足球的售价分别为x元，y元，根据题意得：，解得：，则每个篮球和每个足球的售价分别为100元，120元；（2）设篮球购买a个，则足球购买（50a）个，根据题意得：100a+120（50a）5500，整理得：20a500，解得：a25，则最多可购买25个足球17威丽商场销售A，B两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元（1）求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；（2）由于需求量大，A、B两种商品很快售完，威丽商场
15、决定再一次购进A、B两种商品共34件如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么威丽商场至少需购进多少件A种商品？【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用【分析】（1）设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元由售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以；（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34a）件根据获得的利润不低于4000元，建立不等式求出其解就可以了【解答】解：（1）设每件A种商品售出后所得利润为x元，每件B种商品售出后所得利润为y
16、元由题意，得，解得：答：每件A种商品售出后所得利润为200元，每件B种商品售出后所得利润为100元（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34a）件由题意，得200a+100（34a）4000，解得：a6答：威丽商场至少需购进6件A种商品18某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个（1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；（2）由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值【考点】C9：一元一次不等
17、式的应用；9A：二元一次方程组的应用【分析】（1）根据题意结合每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个以及师生共300人参加一次大型公益活动，分别得出等式求出答案；（2）根据（1）中所求，进而利用总人数为300+30，进而得出不等式求出答案【解答】解：（1）设每辆小客车的乘客座位数是x个，大客车的乘客座位数是y个，根据题意可得：，解得：，答：每辆小客车的乘客座位数是18个，大客车的乘客座位数是35个；（2）设租用a辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，则18a+35（11a）300+30，解得：a3，符合条件的a最大整数为3，答：租用小客车数量的最大值为319小黄准备给长8m，宽6m的长方形
18、客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域（阴影部分）和一个环形区域（空白部分），其中区域用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQAD，如图所示（1）若区域的三种瓷砖均价为300元/m2，面积为S（m2），区域的瓷砖均价为200元/m2，且两区域的瓷砖总价为不超过12000元，求S的最大值；（2）若区域满足AB：BC=2：3，区域四周宽度相等求AB，BC的长；若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m2，乙、丙瓷砖单价之比为5：3，且区域的三种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围【考点】C9：一元一次不等式的应用；HE：二次函数的应用；LB：矩形的性质【分析】（1）根据题意可得300S+（
19、48S）20012000，解不等式即可；（2）设区域四周宽度为a，则由题意（62a）：（82a）=2：3，解得a=1，由此即可解决问题；设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2，则甲的单价为元/m2，由PQAD，可得甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12s），由题意12+5xs+3x（12s）=4800，解得s=，由0s12，可得012，解不等式即可；【解答】解：（1）由题意300S+（48S）20012000，解得S24S的最大值为24（2）设区域四周宽度为a，则由题意（62a）：（82a）=2：3，解得a=1，AB=62a=4，CB=82a=6
20、设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2，则甲的单价为元/m2，PQAD，甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12s），由题意12+5xs+3x（12s）=4800，解得s=，0s12，012，0x50，丙瓷砖单价3x的范围为03x150元/m220“春种一粒粟，秋收万颗子”，唐代诗人李绅这句诗中的“粟”即谷子（去皮后则称为“小米”），被誉为中华民族的哺育作物我省有着“小杂粮王国”的美誉，谷子作为我省杂粮谷物中的大类，其种植面积已连续三年全国第一2016年全国谷子种植面积为2000万亩，年总产量为150万吨，我省谷子平均亩产量为160kg，国内其他地
21、区谷子的平均亩产量为60kg，请解答下列问题：（1）求我省2016年谷子的种植面积是多少万亩（2）2017年，若我省谷子的平均亩产量仍保持160kg不变，要使我省谷子的年总产量不低于52万吨，那么，今年我省至少应再多种植多少万亩的谷子？【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用【分析】（1）可设我省2016年谷子的种植面积是x万亩，其他地区谷子的种植面积是y万亩，根据2016年全国谷子年总产量为150万吨列出方程组求解即可；（2）可设我省应种植z万亩的谷子，根据我省谷子的年总产量不低于52万吨列出不等式求解即可【解答】解：（1）设我省2016年谷子的种植面积是x万亩，其他地
22、区谷子的种植面积是y万亩，依题意有，解得答：我省2016年谷子的种植面积是300万亩（2）设我省应种植z万亩的谷子，依题意有，解得z325，325300=25（万亩）答：今年我省至少应再多种植25万亩的谷子21为积极响应政府提出的“绿色发展低碳出行”号召，某社区决定购置一批共享单车经市场调查得知，购买3辆男式单车与4辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需16000元（1）求男式单车和女式单车的单价；（2）该社区要求男式单比女式单车多4辆，两种单车至少需要22辆，购置两种单车的费用不超过50000元，该社区有几种购置方案？怎样购置才能使所需总费用最低，最低费用是多少？【考点】CE
23、：一元一次不等式组的应用；9A：二元一次方程组的应用【分析】（1）设男式单车x元/辆，女式单车y元/辆，根据“购买3辆男式单车与4辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需16000元”列方程组求解可得；（2）设购置女式单车m辆，则购置男式单车（m+4）辆，根据“两种单车至少需要22辆、购置两种单车的费用不超过50000元”列不等式组求解，得出m的范围，即可确定购置方案；再列出购置总费用关于m的函数解析式，利用一次函数性质结合m的范围可得其最值情况【解答】解：（1）设男式单车x元/辆，女式单车y元/辆，根据题意，得：，解得：，答：男式单车2000元/辆，女式单车1500元/辆；（2
24、）设购置女式单车m辆，则购置男式单车（m+4）辆，根据题意，得：，解得：9m12，m为整数，m的值可以是9、10、11、12，即该社区有四种购置方案；设购置总费用为W，则W=2000（m+4）+1500m=3500m+8000，W随m的增大而增大，当m=9时，W取得最小值，最小值为39500，答：该社区共有4种购置方案，其中购置男式单车13辆、女式单车9辆时所需总费用最低，最低费用为39500元22江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公
25、顷？（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用【考点】CE：一元一次不等式组的应用；9A：二元一次方程组的应用【分析】（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据“1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型
26、收割机有（10m）台，根据总费用=大型收割机的费用+小型收割机的费用，即可得出w与m之间的函数关系式，由“要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，依此可找出各方案，再结合一次函数的性质即可解决最值问题【解答】解：（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据题意得：，解得：答：每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷（2）设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有（10m）台，根据题意得：w=3002m+2002（10m）=200m+40002小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，解得：5m7，有三种不同方案w=200m+4000中，2000，w值随m值的增大而增大，当m=5时，总费用取最小值，最小值为5000元答：有三种方案，当大型收割机和小型收割机各5台时，总费用最低，最低费用为5000元