1、中考数学基础复习专题(十) 圆【知识要点】 知识点1：知识点之间的关系知识点2：圆的有关性质和计算弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半圆内接四边形的性质：圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等
2、于它的内对角知识点3：点与圆的位置关系设点与圆心的距离为，圆的半径为，则点在圆外； 点在圆上； 点在圆内过不在同一直线上的三点有且只有一个圆 一个三角形有且只有一个外接圆三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等知识点4：直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离为，圆的半径为，则直线与圆相离；直线与圆相切；直线与圆相交切线的性质：与圆只有一个公共点；圆心到切线的距离等于半径；圆的切线垂直于过切点的半径切线的识别：如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线三角形的内心是
3、三角形三条内角平分线的交点三角形的内心到三角形三边的距离相等切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角知识点5：圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含 设两圆心的距离为，两圆的半径为，则两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含 两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴由对称性知：两圆相切，连心线经过切点两圆相交，连心线垂直平分公共弦两圆公切线的定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公
4、切线两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线公切线上两个切点的距离叫做公切线的长 知识点6：与圆有关的计算弧长公式： 扇形面积公式：（其中为圆心角的度数，为半径）圆柱的侧面展开图是矩形圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体圆柱的侧面积底面周长高 圆柱的全面积侧面积2底面积圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体圆锥的侧面积底面周长母线；圆锥的全面积侧面积底面积【复习点拨】（1）掌握圆的有关概念和计算知道圆由圆心与半径确定，了解圆的对称性通过图形直观识别圆的弦、
5、弧、圆心角等基本元素利用圆的对称性探索弧、弦、圆心角之间的关系，并会进行简单计算和说理探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征掌握垂径定理及其推论，并能进行计算和说理了解三角形外心、三角形外接圆和圆内接三角形的概念掌握圆内接四边形的性质（2）点与圆的位置关系能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”并会作图（3）直线与圆的位置关系能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系了解切线的概念能运用切线的性质进行简单计算和说理掌握切线的识别方法了解三角形内心、三角形内切圆和圆的外切三角形的概念能过圆上一点画圆的切线并能
6、利用切线长定理进行简单的切线计算（4）圆与圆的位置关系 了解圆与圆的五种位置关系及相应的数量关系能根据两圆的圆心距与两圆的半径之间的数量关系判定两圆的位置关系掌握两圆公切线的定义并能进行简单计算（5）圆中的计算问题掌握弧长的计算公式，由弧长、半径、圆心角中已知两个量求第三个量掌握求扇形面积的两个计算公式，并灵活运用了解圆锥的高、母线等概念结合生活中的实例（模型）了解圆柱、圆锥的侧面展开图会求圆柱、圆锥的侧面积、全面积，并能结合实际问题加以应用能综合运用基本图形的面积公式求阴影部分面积【典例解析】1如图，CD为O的直径，弦ABCD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则O的周长为（）A2
7、6B13CD【考点】M2：垂径定理【分析】连接OA，根据垂径定理得到AM=AB=6，设OM=5x，DM=8x，得到OA=OD=13x，根据勾股定理得到OA=13，于是得到结论【解答】解：连接OA，CD为O的直径，弦ABCD，AM=AB=6，OM：MD=5：8，设OM=5x，DM=8x，OA=OD=13x，AM=12x=6，x=，OA=13，O的周长=2OA=13，故选B2如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（）AB2C6D8【考点】M2：垂径定理；KQ：勾股定理【分析】根据垂径定理，可得答案【解答】解：连接OC，由题意，得OE=OBAE=41=3，CE=E
8、D=，CD=2CE=2，故选：B3如图，AB是O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，APC=30，则CD的长为（）AB2C2D8【考点】M2：垂径定理；KO：含30度角的直角三角形；KQ：勾股定理【分析】作OHCD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OHCD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OAAP=2，接着在RtOPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH=OP=1，然后在RtOHC中利用勾股定理计算出CH=，所以CD=2CH=2【解答】解：作OHCD于H，连结OC，如图，OHCD，HC=HD，AP=2，BP=6，AB=8，OA=4，OP=
9、OAAP=2，在RtOPH中，OPH=30，POH=30，OH=OP=1，在RtOHC中，OC=4，OH=1，CH=，CD=2CH=2故选C4如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（）A2米B2.5米C2.4米D2.1米【考点】M3：垂径定理的应用【分析】连接OF，交AC于点E，设圆O的半径为R米，根据勾股定理列出方程，解方程即可【解答】解：连接OF，交AC于点E，BD是O的切线
10、，OFBD，四边形ABDC是矩形，ADBD，OEAC，EF=AB，设圆O的半径为R，在RtAOE中，AE=0.75米，OE=RAB=R0.25，AE2+OE2=OA2，0.752+（R0.25）2=R2，解得R=1.251.252=2.5（米）答：这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是2.5米故选：B5如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）A10cmB16cmC24cmD26cm【考点】M3：垂径定理的应用【分析】首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理得出答案【解答】解：如图，过O作ODAB于C，交O于D，CD=8，OD=1
11、3，OC=5，又OB=13，RtBCO中，BC=12，AB=2BC=24故选：C学 科 网6小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是（）AAB，AC边上的中线的交点BAB，AC边上的垂直平分线的交点CAB，AC边上的高所在直线的交点DBAC与ABC的角平分线的交点【考点】M3：垂径定理的应用【分析】根据题意可知所求的圆形玻璃是ABC的外接圆，从而可以解答本题【解答】解：由题意可得，所求的圆形玻璃是ABC的外接圆，这块玻璃镜的圆心是ABC三边垂直平分线的交点，故选B 7如
12、图，AB是O的弦，半径OCAB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC=5cm【考点】M2：垂径定理；KQ：勾股定理【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理R2=42+（R2）2，计算求出R即可【解答】解：连接OA，OCAB，AD=AB=4cm，设O的半径为R，由勾股定理得，OA2=AD2+OD2，R2=42+（R2）2，解得R=5OC=5cm故答案为58如图，AB为O的直径，弦CDAB于点E，已知CD=6，EB=1，则O的半径为5【考点】M2：垂径定理；KQ：勾股定理【分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE=CD，在直角OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方
13、程，求得圆半径即可【解答】解：连接OC，AB为O的直径，ABCD，CE=DE=CD=6=3，设O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OBBE=x1，在RtOCE中，OC2=OE2+CE2，x2=32+（x1）2，解得：x=5，O的半径为5，故答案为：59如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的O，=90，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为（32+48）cm2【考点】M3：垂径定理的应用；MO：扇形面积的计算【分析】连接OA、OB，根据三角形的面积公式求出SAOB，根据扇形面积公式求出扇形ACB的面积，计算即可【解答】解：连接OA、OB，=90，AOB=90，SAOB=88=
14、32，扇形ACB（阴影部分）=48，则弓形ACB胶皮面积为（32+48）cm2，故答案为：（32+48）cm210如图，四边形ABCD是菱形，O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE若D=78，则EAC=27【考点】M5：圆周角定理；L8：菱形的性质【分析】根据菱形的性质得到ACB=DCB=51，根据圆内接四边形的性质得到AEB=D=78，由三角形的外角的性质即可得到结论【解答】解：四边形ABCD是菱形，D=78，ACB=DCB=51，四边形AECD是圆内接四边形，AEB=D=78，EAC=AEBACE=27，故答案为：27 11如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点
15、（不与B，C重合），PE是ABP的外接圆O的直径（1）求证：APE是等腰直角三角形；（2）若O的直径为2，求PC2+PB2的值【考点】MA：三角形的外接圆与外心；KW：等腰直角三角形【分析】（1）只要证明AEP=ABP=45，PAB=90即可解决问题；（2）作PMAC于M，PNAB于N，则四边形PMAN是矩形，可得PM=AN，由PCM，PNB都是等腰直角三角形，推出PC=PM，PB=PN，可得PC2+PB2=2（PM2+PN2）=2（AN2+PN2）=2PA2=PE2=22=4；【解答】（1）证明：AB=AC，BAC=90，C=ABC=45，AEP=ABP=45，PE是直径，PAB=90，AP
16、E=AEP=45，AP=AE，PAE是等腰直角三角形（2）作PMAC于M，PNAB于N，则四边形PMAN是矩形，PM=AN，PCM，PNB都是等腰直角三角形，PC=PM，PB=PN，PC2+PB2=2（PM2+PN2）=2（AN2+PN2）=2PA2=PE2=22=4（也可以证明ACPABE，PBE是直角三角形）12如图，ABC内接于O，AB=AC，CO的延长线交AB于点D（1）求证：AO平分BAC；（2）若BC=6，sinBAC=，求AC和CD的长【考点】MA：三角形的外接圆与外心；T7：解直角三角形【分析】（1）延长AO交BC于H，连接BO，证明A、O在线段BC的垂直平分线上，得出AOBC
17、，再由等腰三角形的性质即可得出结论；（2）延长CD交O于E，连接BE，则CE是O的直径，由圆周角定理得出EBC=90，E=BAC，得出sinE=sinBAC，求出CE=BC=10，由勾股定理求出BE=8，证出BEOA，得出，求出OD=，得出CD，而BEOA，由三角形中位线定理得出OH=BE=4，CH=BC=3，在RtACH中，由勾股定理求出AC的长即可【解答】（1）证明：延长AO交BC于H，连接BO，如图1所示：AB=AC，OB=OC，A、O在线段BC的垂直平分线上，AOBC，又AB=AC，AO平分BAC；（2）解：延长CD交O于E，连接BE，如图2所示：则CE是O的直径，EBC=90，BCB
18、E，E=BAC，sinE=sinBAC，=，CE=BC=10，BE=8，OA=OE=CE=5，AHBC，BEOA，即=，解得：OD=，CD=5+=，BEOA，即BEOH，OC=OE，OH是CEB的中位线，OH=BE=4，CH=BC=3，AH=5+4=9，在RtACH中，AC=313如图，在四边形ABCD中，AD=BC，B=D，AD不平行于BC，过点C作CEAD交ABC的外接圆O于点E，连接AE（1）求证：四边形AECD为平行四边形；（2）连接CO，求证：CO平分BCE【考点】MA：三角形的外接圆与外心；L7：平行四边形的判定与性质【分析】（1）根据圆周角定理得到B=E，得到E=D，根据平行线的
19、判定和性质定理得到AECD，证明结论；（2）作OMBC于M，ONCE于N，根据垂径定理、角平分线的判定定理证明【解答】证明：（1）由圆周角定理得，B=E，又B=D，E=D，CEAD，D+ECD=180，E+ECD=180，AECD，四边形AECD为平行四边形；（2）作OMBC于M，ONCE于N，四边形AECD为平行四边形，AD=CE，又AD=BC，CE=CB，OM=ON，又OMBC，ONCE，CO平分BCE14如图，在ABC中，C=90，BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F（1）试判断直线BC与O的位置关系，并说明理由；
20、（2）若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留）【考点】MB：直线与圆的位置关系；MO：扇形面积的计算【分析】（1）连接OD，证明ODAC，即可证得ODB=90，从而证得BC是圆的切线；（2）在直角三角形OBD中，设OF=OD=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积【解答】解：（1）BC与O相切证明：连接ODAD是BAC的平分线，BAD=CAD又OD=OA，OAD=ODACAD=ODAODACODB=C=90，即ODBC又BC过半径OD的外端点D，BC与O相切（2）设OF=
21、OD=x，则OB=OF+BF=x+2，根据勾股定理得：OB2=OD2+BD2，即（x+2）2=x2+12，解得：x=2，即OD=OF=2，OB=2+2=4，RtODB中，OD=OB，B=30，DOB=60，S扇形AOB=，则阴影部分的面积为SODBS扇形DOF=22=2故阴影部分的面积为215如图，ABC内接于O，AC是直径，BC=BA，在ACB的内部作ACF=30，且CF=CA，过点F作FHAC于点H，连接BF（1）若CF交O于点G，O的半径是4，求的长；（2）请判断直线BF与O的位置关系，并说明理由【考点】MB：直线与圆的位置关系；M2：垂径定理；MA：三角形的外接圆与外心；MN：弧长的计
22、算【分析】（1）连接OB，首先证明四边形BOHF是矩形，求出AB、BF的长，由BFAC，可得=，可得=，由此即可解决问题；（2）结论：BF是O的切线只要证明OBBF即可；【解答】解：（1）AC是直径，CBA=90，BC=BA，OC=OA，OBAC，FHAC，OBFH，在RtCFH中，FCH=30，FH=CF，CA=CF，FH=AC=OC=OA=OB，四边形BOHF是平行四边形，FHO=90，四边形BOHF是矩形，BF=OH，在RtABC中，AC=8，AB=BC=4，CF=AC=8，CH=4，BF=OH=44，BFAC，=，=，AG=44（2）结论：BF是O的切线理由：由（1）可知四边形OBHF
23、是矩形，OBF=90，OBBF，BF是O的切线16如图，在ABC中，ACB=90，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF，EF与AC交于点G（1）试判断直线EF与O的位置关系，并说明理由；（2）若OA=2，A=30，求图中阴影部分的面积【考点】MB：直线与圆的位置关系；MO：扇形面积的计算【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到A=AEO，B=BEF，于是得到OEG=90，即可得到结论；（2）由AD是O的直径，得到AED=90，根据三角形的内角和得到EOD=60，求得EGO=30，根据三角形和扇形的面积公式即可得到
24、结论【解答】解：（1）连接OE，OA=OE，A=AEO，BF=EF，B=BEF，ACB=90，A+B=90，AEO+BEF=90，OEG=90，EF是O的切线；（2）AD是O的直径，AED=90，A=30，EOD=60，EGO=30，AO=2，OE=2，EG=2，阴影部分的面积=22=217如图，AB与O相切于点B，BC为O的弦，OCOA，OA与BC相交于点P（1）求证：AP=AB；（2）若OB=4，AB=3，求线段BP的长【考点】MC：切线的性质【分析】（1）欲证明AP=AB，只要证明APB=ABP即可；（2）作OHBC于H在RtPOC中，求出OP、PC、OH、CH即可解决问题【解答】（1）
25、证明：OC=OB，OCB=OBC，AB是O的切线，OBAB，OBA=90，ABP+OBC=90，OCAO，AOC=90，OCB+CPO=90，APB=CPO，APB=ABP，AP=AB（2）解：作OHBC于H在RtOAB中，OB=4，AB=3，OA=5，AP=AB=3，PO=2在RtPOC中，PC=2，PCOH=OCOP，OH=，CH=，OHBC，CH=BH，BC=2CH=，PB=BCPC=2=18如图，O与RtABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G（1）求证：DFAO；（2）若AC=6，AB=10，求CG的长【考
26、点】MC：切线的性质【分析】（1）欲证明DFOA，只要证明OACD，DFCD即可；（2）过点作EMOC于M，易知=，只要求出EM、FM、FC即可解决问题；【解答】（1）证明：连接ODAB与O相切与点D，又AC与O相切与点，AC=AD，OC=OD，OACD，CDOA，CF是直径，CDF=90，DFCD，DFAO（2）过点作EMOC于M，AC=6，AB=10，BC=8，AD=AC=6，BD=ABAD=4，BD2=BFBC，BF=2，CF=BCBF=6OC=CF=3，OA=3，OC2=OEOA，OE=，EMAC，=，OM=，EM=，FM=OF+OM=，=，CG=EM=219如图，已知AB是O的直径，
27、点C在O上，CD是O的切线，ADCD于点D，E是AB延长线上一点，CE交O于点F，连接OC、AC（1）求证：AC平分DAO（2）若DAO=105，E=30求OCE的度数；若O的半径为2，求线段EF的长【考点】MC：切线的性质【分析】（1）由切线性质知OCCD，结合ADCD得ADOC，即可知DAC=OCA=OAC，从而得证；（2）由ADOC知EOC=DAO=105，结合E=30可得答案；作OGCE，根据垂径定理及等腰直角三角形性质知CG=FG=OG，由OC=2得出CG=FG=OG=2，在RtOGE中，由E=30可得答案【解答】解：（1）CD是O的切线，OCCD，ADCD，ADOC，DAC=OCA，OC=OA，OCA=OAC，OAC=DAC，AC平分DAO；（2）ADOC，EOC=DAO=105，E=30，OCE=45；作OGCE于点G，则CG=FG=OG，OC=2，OCE=45，CG=OG=2，FG=2，在RtOGE中，E=30，GE=2，