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2017-2018学年广东省佛山一中高一(下)期中数学试卷(含详细解答)

1、2017-2018学年广东省佛山一中高一(下)期中数学试卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确填涂在答题卡上1(5分)设a,b,cR,且ab,则()AacbcBa2b2Ca3b3D2(5分)在等差数列an中,已知a12,a2+a313,则a4+a5+a6等于()A40B42C43D453(5分)在ABC中,若AB,BC3,C120,则AC()A1B2C3D44(5分)数列1,的一个通项公式是()Aan(1)nBan(1)nCan(1)nDan(1)n5(5分)若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是()A

2、a5Ba7C5a7Da5 或 a76(5分)设正实数a,b满足a+b1,则()A 有最大值 4B 有最小值 C 有最大值 Da2+b2 有最小值 7(5分)设数列an的前n项和为Sn,若为常数,则称数列an为“吉祥数列“,已知等差数列bn的首项为1,公差不为0,若数列bn为“吉祥数列“,则数列bn的通项公式为()Abnn1Bbn2n1Cbnn+1Dbn2n+18(5分)若A为三角形ABC的一个内角,且sinA+cosA,则这个三角形是()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D正三角形9(5分)某企业准备投资1200万元兴办一所中学,对当地教育市场进行调查后,得到了如下的数据表格(以班级为单位)

3、:学段硬件建设(万元)师资年投入(万元/班)初中26/班4高中54/班6第一年因生源和环境等因素,全校总班级至少20个,至多30个,若每开设一个初、高中班,可分别获得年利润2万元、3万元,则第一年利润最大为()A70 万元B58 万元C60 万元D72 万元10(5分)已知在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若sin(BA)+sin(B+A)3sin2A,且c,C,则ABC的面积是()ABCD或11(5分)已知数列xn满足xn+3xn,若x11,x2a(a1,a0),则数列xn的前2018项的和S2018为()A669B670+aC1345+aD133812(5分)已知关于x的

4、不等式x2+bx+c0(ab1)的解集为空集,则T+的最小值为()AB2CD4二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分请把答案填写在答卷相应的横线上13(5分)不等式的解集是   14(5分)已知数列an是递增的等比数列,a1+a49,a2a38,则a6的值等于   15(5分)如图,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40 nmile的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20 nmile的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援,则cos的值为   16(5分)已知等比数列an的首项为a1,公比为

5、q,前n项和为Sn,记数列log2an的前n项和为Tn,若a1,且9,则当n   时,Tn有最小值三、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)已知在ABC中,三边长a,b,c依次成等差数列(1)若sinA:sinB3:5,求cosC的值(2)若b1且,求ABC的面积18(12分)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosB+bcosA2ccosC(1)求角C;(2)若,求ABC周长的取值范围19(12分)记号“”表示一种运算,即ab+a+,记f(x)(sin2x)(cos2x)(1)求函数yf(x)的表达式及最

6、小正周期;(2)若函数f(x)在xx0处取得最大值,若数列an满足annx0(nN*),求f(a1)+f(a2)+f(a3)的值20(12分)解关于x的不等式,ax22(a+1)x+4021(12分)已知数列an为等差数列,a11,an0,其前n项和为Sn,且数列也为等差数列(1)求an的通项公式;(2)设,求数列bn的前n项和22(12分)设Sn为等差数列an的前n项和,其中a11,且(1)求常数的值,并写出an的通项公式;(2)记,数列bn的前n项和为Tn,若对任意的nk(kN*),都有,求常数k的最小值2017-2018学年广东省佛山一中高一(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题

7、:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确填涂在答题卡上1(5分)设a,b,cR,且ab,则()AacbcBa2b2Ca3b3D【分析】利用不等式的基本性质,可得结论【解答】解:对于A,满足c0时成立;对于B,a1,b1,结论不成立;对于C,正确;对于D,a1,b1,结论不成立故选:C【点评】本题考查不等式的基本性质,比较基础2(5分)在等差数列an中,已知a12,a2+a313,则a4+a5+a6等于()A40B42C43D45【分析】先根据a12,a2+a313求得d和a5,进而根据等差中项的性质知a4+a5+a63a5求得答案【

8、解答】解:在等差数列an中,已知a12,a2+a313,得d3,a514,a4+a5+a63a542故选:B【点评】本题主要考查了等差数列的性质属基础题3(5分)在ABC中,若AB,BC3,C120,则AC()A1B2C3D4【分析】直接利用余弦定理求解即可【解答】解:在ABC中,若AB,BC3,C120,AB2BC2+AC22ACBCcosC,可得:139+AC2+3AC,解得AC1或AC4(舍去)故选:A【点评】本题考查三角形的解法,余弦定理的应用,考查计算能力4(5分)数列1,的一个通项公式是()Aan(1)nBan(1)nCan(1)nDan(1)n【分析】采用特殊值法来求解取n1代入

9、即可【解答】解:因为这是一道选择题,可以采用特殊值法来求解取n1代入,发现只有答案D成立,故选:D【点评】由于选择题自身的特点是只要答案,不要过程,所以在做能用数代入的题目时,可以直接代入求解,把过程简单化5(5分)若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是()Aa5Ba7C5a7Da5 或 a7【分析】根据已知的不等式组画出满足条件的可行域,根据图形情况分类讨论,不难求出表示的平面区域是一个三角形时a的取值范围【解答】解:满足约束条件的可行域如下图示:由图可知,若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是:5a7故选:C【点评】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要

10、题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,然后结合分类讨论的思想,针对图象分析满足条件的参数的取值范围6(5分)设正实数a,b满足a+b1,则()A 有最大值 4B 有最小值 C 有最大值 Da2+b2 有最小值 【分析】由条件运用基本不等式可得0ab,运用变形和化简,即可判断正确结论【解答】解:正实数a,b满足a+b1,即有a+b2,可得0ab,即有+4,即有ab时,+取得最小值4,无最大值;由0,可得有最大值;由+,可得ab时,+取得最大值;由a2+b22ab可得2(a2+b2)(a+b)21,则a2+b2,当ab时,a2+b2取得最小值综上可得C正确,A,B,D均错故选:C【点评】本题考

11、查基本不等式的运用,注意变形和等号成立的条件,考查化简运算能力,属于中档题7(5分)设数列an的前n项和为Sn,若为常数,则称数列an为“吉祥数列“,已知等差数列bn的首项为1,公差不为0,若数列bn为“吉祥数列“,则数列bn的通项公式为()Abnn1Bbn2n1Cbnn+1Dbn2n+1【分析】设等差数列bn的公差为d(d0),再设k,由b11,得(4k1)dn+(2k1)(2d)0结合对任意正整数n上式恒成立,得,由此能求出数列bn的公差,代入等差数列的通项公式得答案【解答】解:设等差数列bn的公差为d(d0),由k,且b11,得n+n(n1)dk2n+2n(2n1)d,即2+(n1)d4

12、k+2k(2n1)d整理得,(4k1)dn+(2k1)(2d)0对任意正整数n上式恒成立,则,解得数列bn的公差为2,则其通项公式为bn1+2(n1)2n1,故选:B【点评】本题考查了等差数列的前n项和,考查了恒成立思想的运用,考查了计算能力,属中档题8(5分)若A为三角形ABC的一个内角,且sinA+cosA,则这个三角形是()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D正三角形【分析】利用sinA+cosA,两边平方可得sinAcosA,进而判断出A是钝角【解答】解:sinA+cosA两边平方可得:sin2A+cos2A+2sinAcosA,化为sinAcosA,A(0,),sinA0,cosA

13、0A为钝角这个三角形是钝角三角形故选:A【点评】本题考查了三角函数的平方关系和正弦余弦函数的单调性,属于基础题9(5分)某企业准备投资1200万元兴办一所中学,对当地教育市场进行调查后,得到了如下的数据表格(以班级为单位):学段硬件建设(万元)师资年投入(万元/班)初中26/班4高中54/班6第一年因生源和环境等因素,全校总班级至少20个,至多30个,若每开设一个初、高中班,可分别获得年利润2万元、3万元,则第一年利润最大为()A70 万元B58 万元C60 万元D72 万元【分析】设初中x个班,高中y个班,年利润为z,根据题意找出约束条件与目标函数,准确地描画可行域,再利用图形直线求得满足题

14、设的最优解【解答】解:(I)设开设初中班x个,高中班y个,根据题意,线性约束条件为,(II)设年利润为z万元,则目标函数为z2x+3y,由(I)作出可行域如图由方程组得交点M(20,10)作直线l:2x+3y0,平移l,当l过点M(20,10),z取最大值70开设20个初中班,10个高中班时,年利润最大,最大利润为70万元故选:A【点评】本题考查了线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键10(5分)已知在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若sin(BA)+sin(B+A)3sin2A,且c,C,则ABC的面积是()ABCD或【分析】根据sin(BA)+s

15、in(B+A)3sin2A,可得2sinBcosA6sinAcosA,即(6sinA2sinB)cosA0根据正余弦定理求解即可【解答】解:由题意,sin(BA)+sin(B+A)3sin2A,可得2sinBcosA6sinAcosA,即(6sinA2sinB)cosA0,cosA0或3sinAsinB当cosA0时,A90c,C,BbtanBc那么ABC的面积Sbc当3sinAsinB,由正弦定理,可得3abcosCa2+b27ab解得a1,b3那么ABC的面积SabsinC,故选:D【点评】本题考查了三角恒等式的化简能力和正余弦定理的运用属于基础题11(5分)已知数列xn满足xn+3xn,

16、若x11,x2a(a1,a0),则数列xn的前2018项的和S2018为()A669B670+aC1345+aD1338【分析】数列xn满足xn+3xn,xn+2|xn+1xn|(nN*),x11,x2a(a1,a0),可得x3|a1|1a,x4x11,数列是以3为周期的周期数列,于是S2018x1+x2+x3+x2018672(x1+x2+x3)+x1+x2【解答】解:数列xn满足xn+3xn,xn+2|xn+1xn|(nN*),x11,x2a(a1,a0),x3|a1|1a,x4x11,数列是以3为周期的周期数列,并且x1+x2+x31+1a+a2,则S2018x1+x2+x3+x2018

17、672(x1+x2+x3)+x1+x26722+1+a1345+a故选:C【点评】本题考查了数列的周期性、数列求和,考查了推理能力与计算能力,属于中档题12(5分)已知关于x的不等式x2+bx+c0(ab1)的解集为空集,则T+的最小值为()AB2CD4【分析】由题意得:,得利用此式进行代换,将T化成,令ab1m,则m0,利用基本不等式即可求出T的最小值【解答】解:由题意得:,得,令ab1m,则m0,所以则的最小值为4故选:D【点评】本小题主要考查基本不等式、一元二次不等式的应用等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想属于基础题二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分请把答案填

18、写在答卷相应的横线上13(5分)不等式的解集是x|x3或x【分析】根据题意,原不等式等价于(2x1)(x+3)0且(x+3)0,解可得x的取值范围,即可得答案【解答】解:根据题意,(2x1)(x+3)0且(x+3)0,解可得x3或x,即原不等式的解集为x|x3或x;故答案为:x|x3或x【点评】本题考查分式不等式的解法,关键是将分式不等式变形为整式不等式14(5分)已知数列an是递增的等比数列,a1+a49,a2a38,则a6的值等于32【分析】数列an是递增的等比数列,a1+a49,a2a38a1a4,解得a1,a4再利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解:数列an是递增的等比数列,a1+

19、a49,a2a38a1a4,解得a11,a48q38,解得q2a62532故答案为:32【点评】本题考查了等比数列的通项公式、一元二次方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题15(5分)如图,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40 nmile的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20 nmile的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援,则cos的值为【分析】利用余弦定理求出BC,正弦定理求得ACB的余弦值,再利用coscos(ACB+30)求出cos的值【解答】解:如图所示,在ABC中,AB40,AC20,BAC120,由余

20、弦定理得BC2AB2+AC22ABACcos1202800,所以BC20;由正弦定理得sinACBsinBAC,由BAC120知ACB为锐角,所以cosACB;所以coscos(ACB+30)cosACBcos30sinACBsin30故答案为:【点评】本题考查了三角函数的化简求值,以及正弦、余弦定理的应用问题,是中档题16(5分)已知等比数列an的首项为a1,公比为q,前n项和为Sn,记数列log2an的前n项和为Tn,若a1,且9,则当n11时,Tn有最小值【分析】利用等比数列的前n项和公式可得q,利用对数的运算性质及其等差数列的前n项和公式可得Tn,再利用二次函数的单调性即可得出【解答】

21、解:q1不满足条件,舍去9,1+q39,解得q2,log2anlog2a1+(n1)Tnnlog2a1+n,a1,log2a1log22016,log21949,1024210194920162048211,当n11时,Tn取得最小值故答案为:11【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质、不等式的性质、二次函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题三、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)已知在ABC中,三边长a,b,c依次成等差数列(1)若sinA:sinB3:5,求cosC的值(2)若b1

22、且,求ABC的面积【分析】(1)由已知利用等差数列的性质可得2ba+c,设a3k,b5k (k0),可求c7k,进而根据余弦定理可求cosC的值(2)由已知根据平面向量数量积的运算,余弦定理可求cosB的值,根据等差数列的性质可得a+c2,进而可求ac,结合范围B(0,),利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值,利用三角形面积公式即可计算得解【解答】(本题满分为10分)解:(1)a,b,c 依次成等差数列,得:2ba+c,(1分)又 sinA:sinB3:5,a:b3:5,(2分)设a3k,b5k (k0),则c7k           &

23、nbsp;(3分)故:(5分)(2)由 b1,又由 ,得:accosBb2(ac)2,(6分)b2a2+c22accosB,(7分)a,b,c 依次成等差数列,a+c2,ac,(8分)又B(0,),BC,sinB,(9分)从而ABC 的面积为:SABCacsinB (10分)【点评】本题主要考查了等差数列的性质,余弦定理,平面向量数量积的运算,同角三角函数基本关系式,三角形面积公式在解三角形中的综合应用,考查了运算求解能力和转化思想,属于中档题18(12分)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosB+bcosA2ccosC(1)求角C;(2)若,求ABC周长的取值范围【分

24、析】(1)由已知利用正弦定理,三角函数恒等变换的应用可得sinC2sinCcosC,结合sinC0,可求cosC的值,结合C的范围可求C的值(2)由正弦定理,三角函数恒等变换的应用可得a+b+c,由C,A的范围可求,利用正弦函数的性质即可计算得解ABC 周长的取值范围【解答】(本题满分为12分)解:(1)在ABC中,由正弦定理,可得 sinAcosB+sinBcosA2sinCcosC,(1分)所以 sin(A+B)2sinCcosC,(2分)所以 sinC2sinCcosC,(3分)又在锐角三角形中,(4分)所以 ,故          (5

25、分)(2)由正弦定理可得,(6分)于是,a+b+c         (9分),因为锐角ABC 中,所以 ,(10分)所以 ,可得:,(11分)所以ABC 周长的取值范围为: (12分)【点评】本题主要考查了正弦定理,三角函数恒等变换的应用,正弦函数的图象和性质,考查了运算求解能力和转化思想,属于中档题19(12分)记号“”表示一种运算,即ab+a+,记f(x)(sin2x)(cos2x)(1)求函数yf(x)的表达式及最小正周期;(2)若函数f(x)在xx0处取得最大值,若数列an满足annx0(nN*),求f(a1)+f(a2)+f(a3)的值【分析】

26、(1)根据定义求出函数的解析式,结合三角函数的周期公式进行求解即可(2)求出an的通项公式,利用代入法进行求解即可【解答】解:(1)由题意得f(x)(sin2x)(cos2x)+sin2x+cos2x1+sin2x+cos2x1+2(sin2x+cos2x)1+2sin(2x+)(4分)最小周期T(5分)(2)若函数f(x)在xx0处取得最大值,2x0+2k+,即x0k+,kZ,(7分)故annx0n(k+),kZ(8分)则a1k+,a22k+,a33k+(9分)则f(a1)+f(a2)+f(a3)3+2sin(2a1+)+2sin(2a2+)+2sin(2a3+)3+2sin+2sin+2s

27、in3+2+6+    (12分)【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,求出函数的解析式是解决本题的关键20(12分)解关于x的不等式,ax22(a+1)x+40【分析】不等式化为(ax2)(x2)0,再对a分类讨论,求出对应不等式的解集即可【解答】解:不等式ax22(a+1)x+40可化为(ax2)(x2)0,()当a0时,不等式化为x20,解得x2;()当0a1时,不等式化为(x)(x2)0,解得x2或x;()当a1时,不等式化为(x2)20,解得x2;()当a1时,不等式化为(x)(x2)0,解得x或x2;()当a0时,不等式化为(x)(x2)0,解得x2;综上,

28、a0时,不等式的解集为x|x2;0a1时,不等式化的解集为x|x2或x;a1时,不等式的解集为x|x2;a1时,不等式的解集为x|x或x2;a0时,不等式的解集为x|x2【点评】本题考查了含有字母系数的不等式解法问题,也考查了分类讨论思想,是中档题21(12分)已知数列an为等差数列,a11,an0,其前n项和为Sn,且数列也为等差数列(1)求an的通项公式;(2)设,求数列bn的前n项和【分析】(1)设等差数列 an 的公差为d(d0),运用等差数列的通项公式可得d的方程,解方程可得d,进而得到所求通项;(2)求得,运用数列的求和方法:裂项相消求和,化简可得所求和【解答】解:(1)设等差数列

29、 an 的公差为d(d0),因为 a11,an0, 为等差数列,所以,成等差数列,则 ,解得d2,所以 an1+2(n1)2n1,则,所以数列 为等差数列,所以 an2n1;(2)由(1)可得an+12n+1,所以,设数列 bn 的前 n 项和为 Tn,则Tnb1+b2+bn1+1【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的求和方法:裂项相消求和,化简整理的运算能力,属于中档题22(12分)设Sn为等差数列an的前n项和,其中a11,且(1)求常数的值,并写出an的通项公式;(2)记,数列bn的前n项和为Tn,若对任意的nk(kN*),都有,求常数k的最小值【分析】(1)由已知求出a2,a3,再由等差数列的性质列式求得,进一步得到公差,则等差数列的通项公式可求;(2)把an的通项公式代入,利用错位相减法求数列bn的前n项和为Tn,构造函数 ,由其单调性求解【解答】解:(1)由 a11,及 ,得 ,an 是等差数列,即,a22,公差d1,ann;(2)由(1)知 ann,有,得,要使 ,即记 ,则,dn+1dn又 ,当 n4 时,恒有 dn1故存在 kmin4 时,对任意的 nk,都有 成立【点评】本题考查数列递推式,考查了错位相减法求数列的前n项和,考查数列的函数特性,是中档题