1、2017-2018学年广东省中山市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知扇形的圆心角为2rad，半径为2cm，则这个扇形的面积是（）A4 cm2B4cm2C2 cm2D1 cm22（5分）已知，则（）3（5分）下列各组向量中，能作为平面上一组基底的是（）4（5分）如图所示，向量在一条直线上，且则（）5（5分）如图，在半径为4的大圆中有三个小半圆O1，O2，O3，其半径分别为1，2，1，若在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）6（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为5，则输
2、出S的值为（）A9B10C11D127（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间136，151上的运动员人数为（）A3B4C5D68（5分）已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，）的部分图象如图所示，为了得到g（x）sin2x的图象，只需将f（x）的图象（）A向左平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向右平移个单位长度9（5分）周易历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数
3、的思想方法我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A18B17C16D1510（5分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是以原点O为圆心的单位圆上的两点，P1OP2（为钝角）若sin（+），则x1x2+y1y2的值为（）ABCD11（5分）过点P（3，0）作直线2ax+（a+b）y+2b0（a，b不同时为0）的垂线，垂足为M，点N（2，3），则|MN|的取值范围是（）ABCD12（5分）已知
4、函数的图象关于直线对称且在区间上单调，则可取数值的个数为（）A1B2C3D4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）设向量，若与垂直，则x的值为 14（5分）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，现部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，其余6个数字表示不下雨：产生了20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989则这三天中恰有两天降雨的概率约为 15（
5、5分）若曲线y1+与直线kxy2k+40有两个公共点，则实数k的取值范围是 16（5分）四边形ABCD中，ACBD且AC2，BD3，则的最小值为 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知点M（3，1），圆（x1）2+（y2）24（1）求过点M的圆的切线方程；（2）若直线axy+40与圆相交于A、B两点，且弦AB的长为，求a的值18（12分）已知|4，|3，（23）（2+）61求：（1）与的夹角（2）|+|19（12分）“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设节约型社会而发布的公益广告里的一句话，活动组织者为了了解这
6、则广告的宣传效果，随机抽取了120名年龄在10，20），20，30），50，60）的市民进行问卷调查，由此得到的样本的频率分布直方图如图所示（1）根据直方图填写频率分布统计表；（2）根据直方图，试估计受访市民年龄的中位数（保留整数）；（3）如果按分层抽样的方法，在受访市民样本年龄在40，60）中共抽取5名市民，再从这5人中随机选2人作为本次活动的获奖者，求年龄在40，50）和50，60）的受访市民恰好各有一人获奖的概率分组频数频率10，20）180.1520，30）3030，40）40，50）0.250，60）60.0520（12分）已知函数f（x）cos（2x+）+2cos2x（xR）（1）
7、求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间0，上的取值范围21（12分）某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价，将产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（xi，yi）（i1，2，6），如表所示：试销单价x（元）456789产品销量y（件）q8483807568已知（1）求q的值（2）已知变量x，y具有线性相关性，求产品销量y关于试销单价x的线性回归方程可供选择的数据（3）用表示（2）中所求的线性回归方程得到的与xi对应的产品销量的估计值当销售数据（xi，yi）（i1，2，6）对应的残差的绝对值时，
8、则将销售数据（xi，yi）称为一个“好数据”试求这6组销售数据中的“好数据”参考数据：线性回归方程中的最小二乘估计分别是22（12分）定义非零向量的“相伴函数”为f（x）asinx+bcosx（xR），向量称为函数f（x）asinx+bcosx的“相伴向量”（其中O为坐标原点）记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S（1）设h（x）cos（x+）2cos（x+a）（aR），求证：h（x）S；（2）求（1）中函数h（x）的“相伴向量”模的取值范围；（3）已知点M（a，b）（b0）满足：上一点，向量的“相伴函数”f（x）在xx0处取得最大值当点M运动时，求tan2x0的取值范围2017-201
9、8学年广东省中山市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知扇形的圆心角为2rad，半径为2cm，则这个扇形的面积是（）A4 cm2B4cm2C2 cm2D1 cm2【分析】直接求出扇形的弧长，然后求出扇形的面积即可【解答】解：扇形的圆心角为2rad，半径为2cm，扇形的面积Sr22224cm2故选：A【点评】本题是基础题，考查扇形的面积的求法，弧长、半径、圆心角的关系，考查计算能力2（5分）已知，则（）ABCD【分析】直接由已知利用诱导公式化简求值【解答】解：，sin故选：B
10、【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题3（5分）下列各组向量中，能作为平面上一组基底的是（）A，B，C，D，【分析】判定两个向量是否不共线即可【解答】解：对于A，两个向量共线，不正确；对于B：，两个向量共线，不正确；对于C，两个向量共线，不正确；对于D，两个向量的模非0，不共线，所以可以作为基底故选：D【点评】本题主要考查平面向量基本定理，基底的定义，属于基础题4（5分）如图所示，向量在一条直线上，且则（）ABCD【分析】由得4（）34.3，即可，【解答】解：由得4（）3+43，故选：D【点评】本题考查平面向量基本定理及其意义、线性运算，属于中档题5（5分）如图，在半
11、径为4的大圆中有三个小半圆O1，O2，O3，其半径分别为1，2，1，若在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）ABCD【分析】结合圆的面积公式求出阴影部分的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可【解答】解：大圆的半径为2+24，则大半圆的面积S428，O1和O3的面积之和为，O2的一半面积为222，则阴影部分的面积S8+27，则对应概率P，故选：D【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的应用，求出对应阴影部分的面积是解决本题的关键6（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为5，则输出S的值为（）A9B10C11D12【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量
12、S的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：当i1时，满足进行循环的条件，S1，i2，当i2时，满足进行循环的条件，S2，i3，当i3时，满足进行循环的条件，S4，i4，当i4时，满足进行循环的条件，S7，i5，当i5时，满足进行循环的条件，S11，i6，当i6时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为11，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答7（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间136，151上的运动员人数为（
13、）A3B4C5D6【分析】对各数据分层为三个区间，然后根据系统抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，然后各层按照此比例抽取【解答】解：由已知，将个数据分为三个层次是130，135，138，151，152，153，根据系统抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，所以成绩在区间136，151中共有25名运动员，抽取人数为255；故选：C【点评】本题考查了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法；关键是正确分层，明确抽取比例8（5分）已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，）的部分图象如图所示，为了得到g（x）sin2x的图象，只需将f（x）的图象（）A向左平移个单位长度B向左平移个单位长度C向
14、右平移个单位长度D向右平移个单位长度【分析】由函数的最值求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得f（x）的解析式，再根据yAsin（x+）的图象变换规律，可得结论【解答】解：由函数f（x）的图象可得A，求得2再根据五点法作图可得2+0，求得，故f（x）sin（2x）故把f（x）的图象向左平移个单位长度，可得ysin2（x+）sin2x的图象，故选：B【点评】本题主要考查由函数yAsin（x+）的部分图象求解析式，yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题9（5分）周易历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的
15、二进制计数的思想方法我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A18B17C16D15【分析】由二进制转化为十进制的方法，我们将各数位上的数字乘以其权重累加后，即可得到答案【解答】解：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为120+021+022+023+124+02517故选：B【点评】本题考查的知识点是进制之间的转换，有理数的混合运算，解本题的
16、关键是二进制与十进制间的转换关系，属于基础题10（5分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是以原点O为圆心的单位圆上的两点，P1OP2（为钝角）若sin（+），则x1x2+y1y2的值为（）ABCD【分析】根据题意表示出，根据向量数量积的运算求得x1x2+y1y2cos，进而根据sin（+）的值，求得cos的值【解答】解：由题意可得，sin（）0，是钝角，cos（），依题意知（x1，y1）（x2，y2），则x1x2+y1y2，另外P1（x1，y1），P2（x2，y2）在单位圆上，|1|cos11coscos，x1x2+y1y2cos，coscos（+）cos（+）cos+sin（+）s
17、in故选：C【点评】本题主要考查了是平面向量的运算，平面向量数量积的应用根据条件转化为向量数量积，以及利用两角和差的余弦公式是解决本题的关键，注重了对学生基础知识的考查11（5分）过点P（3，0）作直线2ax+（a+b）y+2b0（a，b不同时为0）的垂线，垂足为M，点N（2，3），则|MN|的取值范围是（）ABCD【分析】化已知直线为2ax+（a+b）y+2b0，解方程可得定点Q，可得M在以PQ为直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值【解答】解：由直线2ax+（a+b）y+2b0（a，b不同时为零）化为a（2x+y）+b（y+2）0，令，解得x1，y2，直线经过定点Q（1，2），
18、由PQM为直角三角形，斜边为PQ，M在以PQ为直径的圆上运动，可得圆心为（1，1），半径为|PQ|，则N（2，3）与M的最大值为+5+；N与M的最小值为5，则|MN|的取值范围是5，5+，故选：A【点评】本题考查直线恒过定点，以及圆的方程的运用，圆外一点与圆上的点的距离的最值求法，考查运算能力，属于中档题12（5分）已知函数的图象关于直线对称且在区间上单调，则可取数值的个数为（）A1B2C3D4【分析】由题意直线是对称轴，在上是同一区间，根据三角函数的性质可求取数值的个数为【解答】解：由题意：函数的图象关于直线对称，在区间上单调，即在上是同一单调区间当x时，函数f（x）取得最大值或最小值，即+
19、k，sin（+），即+或+，在上是同一区间，即808由解得：8（）或8（），kZ经检验：可取数值的为2或6故选：B【点评】本题考查了三角函数图象及性质的综合运用能力和计算能力属于中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）设向量，若与垂直，则x的值为【分析】利用向量垂直的性质直接求解【解答】解：向量，与垂直，1+2x0，解得x故答案为：【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题14（5分）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，现部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天下雨的概率：先
20、利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，其余6个数字表示不下雨：产生了20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989则这三天中恰有两天降雨的概率约为【分析】在20组随机数中，表示三天中恰有两天降雨随机数有5个，由此能求出这三天中恰有两天降雨的概率【解答】解：在20组随机数中，表示三天中恰有两天降雨随机数有：191，271，932，812，393，共5个，这三天中恰有两天降雨的概率约为P故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数
21、与方程思想，是基础题15（5分）若曲线y1+与直线kxy2k+40有两个公共点，则实数k的取值范围是k【分析】先将曲线进行化简得到一个圆心是（0，1）的上半圆，直线yk（x2）+4表示过定点（2，4）的直线，利用直线与圆的位置关系可以求实数k的取值范围【解答】解：因为y1+，所以x2+（y1）24，此时表示为圆心M（0，1），半径r2的圆因为x2，2，y1+1，所以表示为圆的上部分直线yk（x2）+4表示过定点P（2，4）的直线，当直线与圆相切时，有圆心到直线kxy+42k0的距离d2，解得k当直线经过点B（2，1）时，直线PB的斜率为k所以要使直线与曲线有两个不同的公共点，则必有k即实数k的
22、取值范围是k故答案为k【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用以及直线的斜率和距离公式利用数形结合思想是解决本题的关键同时要注意曲线化简之后是个半圆，而不是整圆，这点要注意，防止出错16（5分）四边形ABCD中，ACBD且AC2，BD3，则的最小值为【分析】通过建立坐标系，设C（a，0），D（0，b），利用数量积的坐标运算得出数量积关于a，b的函数，求出函数的最小值【解答】解：设AC与BD交点为O，以O为原点，AC，BD为坐标轴建立平面直角坐标系，设C（a，0），D（0，b），则A（a2，0），B（0，b3），（2a，b3），（a，b）a（a2）+b（b3）（a1）2+（b）2当a1，b
23、时，取得最小值故答案为：【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及向量的坐标运算和向量的模的计算以及向量的夹角公式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知点M（3，1），圆（x1）2+（y2）24（1）求过点M的圆的切线方程；（2）若直线axy+40与圆相交于A、B两点，且弦AB的长为，求a的值【分析】（1）根据点到直线的距离等于半径进行求解即可（2）根据直线和圆相交时的弦长公式进行求解【解答】解：（1）由题意知圆心的坐标为（1，2），半径r2，当过点M的直线的斜率不存在时，方程为x3由圆心（1
24、，2）到直线x3的距离312r知，此时，直线与圆相切当过点M的直线的斜率存在时，设方程为y1k（x3），即kxy+13k0由题意知，解得，方程为3x4y50故过点M的圆的切线方程为x3或3x4y50（2）圆心到直线axy+40的距离为，解得【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线和圆相切和相交时的弦长公式是解决本题的关键18（12分）已知|4，|3，（23）（2+）61求：（1）与的夹角（2）|+|【分析】（1）利用向量的数量积运算即可得出；（2）利用向量数量积的性质即可得出【解答】解：（1），即33261化为 （2）【点评】本题考查了向量数量积的运算及其性质，属于基础题19（1
25、2分）“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设节约型社会而发布的公益广告里的一句话，活动组织者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了120名年龄在10，20），20，30），50，60）的市民进行问卷调查，由此得到的样本的频率分布直方图如图所示（1）根据直方图填写频率分布统计表；（2）根据直方图，试估计受访市民年龄的中位数（保留整数）；（3）如果按分层抽样的方法，在受访市民样本年龄在40，60）中共抽取5名市民，再从这5人中随机选2人作为本次活动的获奖者，求年龄在40，50）和50，60）的受访市民恰好各有一人获奖的概率分组频数频率10，20）180.1520，30）3030，40）40，50）0.
26、250，60）60.05【分析】（1）根据直方图填写频率分布统计表（2）受访市民年龄的中位数为33（3）样本年龄在40，50）中的有24人，在50，60）中的有6人，则按分层抽样的受访市民年龄在40，50）中有4人，分别记为a1，a2，a3，a4，在50，60）中的有人，记为b，从已抽取的5人中任选2人的所有可能为共10种，记“年龄在40，50）和50，60）的受访市民恰好各有一人获奖”为事件A，则事件A包括4种，由此能求出年龄在40，50）和50，60）的受访市民恰好各有一人的概率【解答】解：（1）根据直方图填写频率分布统计表：分组频数频率10，20）180.1520，30）300.2530
27、，40）420.3540，50）240.250，60）60.05（2）受访市民年龄的中位数为：（岁）（3）样本年龄在40，50）中的有24人，在50，60）中的有6人，则按分层抽样的受访市民年龄在40，50）中有人，分别记为a1，a2，a3，a4，在50，60）中的有人，记为b，从已抽取的5人中任选2人的所有可能为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b），（a3，a4），（a3，b），（a4，b），共10种，记“年龄在40，50）和50，60）的受访市民恰好各有一人获奖”为事件A，则事件A包括：（a1，b），（a2，b），（a
28、3，b），（a4，b）共4种，故年龄在40，50）和50，60）的受访市民恰好各有一人的概率为【点评】本题考查频率分布直方图、频率分布统计表的应用，考查中位数、概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题20（12分）已知函数f（x）cos（2x+）+2cos2x（xR）（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间0，上的取值范围【分析】（1）利用和与差以及二倍角公式，辅助角公式化简即可求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）根据三角函数平移变换的规律求解g（
29、x）的解析式，x0，上，求出内层范围，即可求函数g（x）的取值范围【解答】解：函数f（x）cos（2x+）+2cos2x（xR）化简可得：f（x）cos2xsin2x+1+cos2xcos2xsin2x+1cos（2x+）+1；（1）函数f（x）的最小正周期T由2k2x+2k，kZ，解得：x，函数f（x）的单调减区间是k，kZ（2）由（x）cos（2x+）+1向右平移个单位长度后得到：cos2（x）+1cos（2x）+1x0，上2x，那么：cos（2x）1cos（2x）+12即函数g（x）在区间x0，上的取值范围是，2【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三
30、角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，函数yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题21（12分）某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价，将产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（xi，yi）（i1，2，6），如表所示：试销单价x（元）456789产品销量y（件）q8483807568已知（1）求q的值（2）已知变量x，y具有线性相关性，求产品销量y关于试销单价x的线性回归方程可供选择的数据（3）用表示（2）中所求的线性回归方程得到的与xi对应的产品销量的估计值当销售数据（xi，yi）（i1，2，6）对应的残差的绝对值时，则将销售数据（xi，yi）称为一个“好数据”试求这6组销
31、售数据中的“好数据”参考数据：线性回归方程中的最小二乘估计分别是【分析】（1）根据题意计算，列方程求出q的值；（2）计算平均数和回归系数，写出y关于x的回归方程；（3）根据回归方程计算预测值，与实际值比较，判断是否为好数据【解答】解：（1）根据题意，计算（q+84+83+80+75+68）80，解得q90；（3分）（2）计算（4+5+6+7+8+9）6.5，（4分）4，（6分）80（4）6.5106，（7分）y关于x的回归方程是4x+106；（8分）（3）回归方程为4x+1064x1+10690|y1|9090|01，（x1，y1）（4，90）是好数据；4x2+10686|y2|8684|21
32、，（x2，y2）（5，84）不是好数据；4x3+10682|y3|8283|11，（x3，y3）（6，83）是好数据；4x4+10678|y4|7880|21，（x4，y4）（7，80）不是好数据；4x5+10674|y5|7475|11，（x5，y5）（8，75）是好数据；4x6+10670|y6|7068|21，（x6，y6）（9，68）不是好数据；好数据为（4，90），（6，68），（8，75）（12分）【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题22（12分）定义非零向量的“相伴函数”为f（x）asinx+bcosx（xR），向量称为函数f（x）asinx+bcosx的“相
33、伴向量”（其中O为坐标原点）记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S（1）设h（x）cos（x+）2cos（x+a）（aR），求证：h（x）S；（2）求（1）中函数h（x）的“相伴向量”模的取值范围；（3）已知点M（a，b）（b0）满足：上一点，向量的“相伴函数”f（x）在xx0处取得最大值当点M运动时，求tan2x0的取值范围【分析】（1）依题意，将h（x）cos（x+）2cos（x+a）可化为h（x）（2sina）sinx+（2cosa）cosx，于是结论可证；（2）利用向量模的概念可求得）|，利用正弦函数的性质可求得|的取值范围；（3）由f（x）sin（x+）可求得x02k+，kZ时
34、f（x）取得最大值，其中tanx0，为直线OM率，由几何意义知（0，再利用二倍角的正切可求得tan2x0的范围【解答】解：（1）h（x）cos（x+）2cos（x+a）（2sina）sinx+（2cosa）cosx函数h（x）的相伴向量（2sina，2cosa），h（x）S（4分）（2）|max，|min|的取值范围为1，3（10分）（3）的相伴函数f（x）asinx+bcosxsin（x+），其中cos，sin当x+2k+，kZ即x02k+，kZ时f（x）取得最大值，tanx0tan（2k+）cot，tan2x0为直线OM率，由几何意义知（0，令m，tan2x0，m（0，m（0，故，m（，tan（18分）【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，考查二倍角的正切与向量的模，考查综合分析与解不等式的能力，难度大，属于难题