1、2017-2018学年广东省汕头市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Ax|x2，xR，集合B为函数ylg（x1）的定义域，则AB（）A（1，2）B1，2C1，2）D（1，22（5分）已知alog0.52，b20.5，c0.52，则a，b，c的大小关系为（）AabcBbcaCacbDcba3（5分）一个单位有职工800人，其中高级职称160人，中级职称300人，初级职称240人，其余人员100人，为了解职工收入情况，现采取分层抽样的方法抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分
2、别为（）A12，24，15，19B9，12，12，7C8，15，12，5D8，16，10，64（5分）已知某程序框图如图所示，若输入实数x为3，则输出的实数x为（）A15B31C42D635（5分）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点的（）A横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍B纵坐标缩短到原来的倍，横坐标伸长到原来的2倍C纵坐标缩短到原来的倍，横坐标缩短到原来的倍D横坐标缩短到原来的倍，纵坐标伸长到原来的2倍6（5分）函数g（x）lnx的零点所在区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）7（5分）下面茎叶图记录了在某项体育比赛中，九位裁判为一名选手打出的分
3、数情况，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为（）AB5CD48（5分）已知函数f（x）2cos2x2sin2x+1，则（）Af（x）的最小正周期为2，最大值为3Bf（x）的最小正周期为2，最大值为1Cf（x）的最小正周期为，最大值为3Df（x）的最小正周期为，最大值为19（5分）平面向量夹角为（）A7BCD310（5分）已知函数f（x），则f（2018）等于（）A1B2C0D111（5分）如图，设E，F分别是RtABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB3，AC6，则（） A8B10C11D1212（5分）气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用
4、，第n天的维修保养费为4n+46（nN*）元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了（）A300天B400天C600天D800天二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13（5分）已知为锐角且tan，则 14（5分）A是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B，连接A、B两点，它是一条弦，它的长度不小于半径的概率为 15（5分）设动点P（x，y）满足，则z3x+2y的最大值为 16（5分）关于x的不等式，的xax2+，（a为实数）的解集为，则乘积ab的值为 三、解答
5、题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（11分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a5，（1）求b的值；（2）求sinC的值18（11分）已知数列an中，前n项和Sn满足Snn2+2n，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）设bn，求数列bn的前n项和Tn19（12分）如图，在ABC中，点P在BC边上，ACAP，PAC60，PC2，AP+AC10（1）求sinACP的值；（2）若APB的面积是9，求AB的长20（12分）已知等差数列an的首项a13，公差d0且a1、a2、a5分别是等比数列bn的第2、3、4项（1）求数列an与bn的通项
6、公式；（2）设数列cn满足，求c1+c2+c2018的值（结果保留指数形式）21（12分）为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势下表给出了2018年种植的一批试验紫甘薯在不同温度时6组死亡的株数：温度x（单位：）212324272932死亡数y（单位：株）61120275777经计算：，其中xi，yi分别为试验数据中的温度和死亡株数，i1，2，3，4，5，6（1）y与x是否有较强的线性相关性？请计算相关系数r（精确到0.01）说明（2）并求y关于x的回归方程（和都精确到0.0
7、1）；（3）用（2）中的线性回归模型预测温度为35时该批紫甘薯死亡株数（结果取整数）附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（un，vn），线性相关系数，通常情况下当|r|大于0.8时，认为两个变量有很强的线性相关性其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：；22（12分）已知函数，aR（1）若函数f（x）是奇函数，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，判断函数yf（x）与函数ylg2x的图象公共点个数，并说明理由；（3）当x1，2）时，函数yf（2x）的图象始终在函数ylg（42x）的图象上方，求实数a的取值范围2017-2018学年广东省汕头市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题
8、解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Ax|x2，xR，集合B为函数ylg（x1）的定义域，则AB（）A（1，2）B1，2C1，2）D（1，2【分析】分别求出集合A，B，由此能求出AB【解答】解：集合Ax|x2，xR，集合B为函数ylg（x1）的定义域，Bx|x10x|x1ABx|1x2（1，2故选：D【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2（5分）已知alog0.52，b20.5，c0.52，则a，b，c的大小关系为（）AabcBbcaCacbD
9、cba【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解【解答】解：alog0.52log0.510，b20.5201，0c0.520.501，a，b，c的大小关系为：acb故选：C【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3（5分）一个单位有职工800人，其中高级职称160人，中级职称300人，初级职称240人，其余人员100人，为了解职工收入情况，现采取分层抽样的方法抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别为（）A12，24，15，19B9，12，12，7C8，15，12，5D8，16，10，6【分
10、析】先求得比例，然后各层的总人数乘上这个比例，即得到样本中各层的人数【解答】解：因为，故各层中依次抽取的人数分别是1608，30015，24012，1005，故选：C【点评】本题主要考查分层抽样方法属于基础题4（5分）已知某程序框图如图所示，若输入实数x为3，则输出的实数x为（）A15B31C42D63【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得x3，n1满足条件n3，执行循环体，x7，n2满足条件n3，执行循环体，x15，n3满足条件n3，执行循环体，x31，n4此时
11、，不满足条件n3，退出循环，输出x的值为31故选：B【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题5（5分）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点的（）A横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍B纵坐标缩短到原来的倍，横坐标伸长到原来的2倍C纵坐标缩短到原来的倍，横坐标缩短到原来的倍D横坐标缩短到原来的倍，纵坐标伸长到原来的2倍【分析】由题意利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：把函数的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，可得函数y2sin（2x+）的图象；再把所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，可得函数
12、y4sin（2x+）的图象，故选：D【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题6（5分）函数g（x）lnx的零点所在区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【分析】由函数的解析式求得g（1）g（2）0，根据函数零点的判定定理可得函数g（x）lnx的零点所在区间【解答】解：函数g（x）lnx，g（1）10，g（2）ln2lnln10，故有g（1）g（2）0，根据函数零点的判定定理可得函数g（x）lnx的零点所在区间是（1，2），故选：B【点评】本题主要考查函数零点的判定定理的应用，属于基础题7（5分）下面茎叶图记录了在某项体育比赛中，九位裁判为一名选手
13、打出的分数情况，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为（）AB5CD4【分析】根据题意，由茎叶图分析可得：去掉一个最高分和一个最低分后所剩数据为：88、89、90，90，93，93，94，先计算其平均数，由方差公式计算可得答案【解答】解：根据题意，由茎叶图分析可得：去掉一个最高分和一个最低分后所剩数据为：88、89、90，90，93，93，94，则其平均数（88+89+90+90+93+93+94）91，则其方差S2（8891）2+（8991）2+（9091）2+（9091）2+（9391）2+（9391）2+（9491）2；故选：A【点评】本题考查茎叶图的应用，涉及方差的计算，关键
14、是掌握方差的计算公式8（5分）已知函数f（x）2cos2x2sin2x+1，则（）Af（x）的最小正周期为2，最大值为3Bf（x）的最小正周期为2，最大值为1Cf（x）的最小正周期为，最大值为3Df（x）的最小正周期为，最大值为1【分析】利用二倍角公式简函数的解析式，然后求解函数的周期，求解函数的最大值即可【解答】解：函数f（x）2cos2x2sin2x+12cos2x+1，所以函数的周期为：，最大值为3即f（x）的最小正周期为，最大值为3故选：C【点评】本题考查三角函数的最值的求法，周期的求法，二倍角公式的应用，考查计算能力9（5分）平面向量夹角为（）A7BCD3【分析】求出，利用，直接求出
15、结果即可【解答】解：因为平面向量夹角为，所以故选：C【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力10（5分）已知函数f（x），则f（2018）等于（）A1B2C0D1【分析】利用分段函数的性质以及函数的周期性求解即可【解答】解：f（x），x0时是周期为5的周期函数，f（2018）f（5403+3）f（3）f（2）log2（2）1故选：D【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用11（5分）如图，设E，F分别是RtABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB3，AC6，则（） A8B10C11D12【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示出，
16、代入向量的数量积公式计算【解答】解：以BC为x轴，以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图AB3，AC6，BAC90，BC3，sinCcosBsinB2cosB，sin2B+cos2B1sinB，cosBA（，），E（，0），F（2，0）（，），（，），+（）210故选：B【点评】本题考查了平面向量在几何中的应用，建立合适坐标系是解题的关键，属于基础题12（5分）气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为4n+46（nN*）元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了（）A300天B
17、400天C600天D800天【分析】依题意，先得出使用的这台仪器的日平均耗资的函数表达式，进而根据等差数列的求和公式和均值不等式求得耗资的最小值，及此时n的值【解答】解：依题意，使用的这台仪器的日平均耗资为y320000+n（50+4n+46）+2n+482+482800+481648等号当且仅当2n，即n400时取得故选：B【点评】本题是一道与生活实际紧密相关的应用题，考查等差数列的求和以及灵活运用均值不等式解决问题的能力二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13（5分）已知为锐角且tan，则【分析】由已知结合平方关系求得cos的值，再由三角函数的诱导公式求【解答】解：由，解得
18、或，为锐角，则cos故答案为：【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题14（5分）A是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B，连接A、B两点，它是一条弦，它的长度不小于半径的概率为【分析】根据已知中A是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B，连接A、B两点，它是一条弦，我们求出B点位置所有基本事件对应的弧长，及满足条件AB长大于半径的基本事件对应的弧长，代入几何概型概率计算公式，即可得到答案【解答】解：在圆上其他位置任取一点B，设圆半径为R，则B点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2R，其中满足条件AB的长度大于等于半径长度的对应的弧长为2R，则AB
19、弦的长度大于等于半径长度的概率P故答案为：【点评】本题考查的知识点是几何概型，其中根据已知条件计算出所有基本事件对应的几何量及满足条件的基本事件对应的几何量是解答的关键15（5分）设动点P（x，y）满足，则z3x+2y的最大值为7【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，联立，解得A（1，2）化目标函数z3x+2y为yx+，由图可知，当直线yx+过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为7故答案为：7【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题
20、16（5分）关于x的不等式，的xax2+，（a为实数）的解集为，则乘积ab的值为【分析】利用三个二次的关系，先分别求得a、b的值，从而求得ab的值【解答】由题目可知，不等式的解集为，则可知a0且方程的两个根为x2和，先将x2代入方程，求得，即不等式为，解得x（2，6），故，b36，故【点评】深入理解三个二次的关系，能在二次函数，二次不等式、二次方程之间进行相应的转化，有助于我们很快的解决问题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（11分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a5，（1）求b的值；（2）求sinC的值【分析】（1）推导
21、出，由正弦定理得，由此能求出b（2）法一：由，A+B+C，得，由此能求出sinC（2）法二：由，a5，利用余弦定理解得，由正弦定理，由此能求出sinC【解答】解：（1）在ABC中，（1分）（3分）又，由正弦定理得（4分），（5分）解得（6分）（2）解法一：，A+B+C，（7分）（8分）（9分）（）又，由（1）知，（10分）（11分）（2）解法二：由（1）知，又a5，由余弦定理b2a2+c22accosB得，整理得，解得，（8分）又因为在ABC中，c5，（9分）由正弦定理，得，（10分）解得 （11分）【点评】本题考查三角形的边长的求法，考查角的正弦值的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考
22、查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题18（11分）已知数列an中，前n项和Sn满足Snn2+2n，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）设bn，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）利用已知条件通过anSnSn12n+1，求解数列an的通项公式an（2）化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可【解答】解：（1），nN*（1分）当n1时，a1S13，（2分）当n2时，（3分）得anSnSn12n+1，（n2）（4分）又 a13也满足an2n+1，（5分）所以数列an的通项公式an2n+1nN*（6分）（2）由（1）知an2n+1，所以an+12（n+1）+12n+3，nN*（
23、7分），nN*（8分）Tnb1+b2+bn所以数列bn的前n项和（9分）（10分）（11分）【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力19（12分）如图，在ABC中，点P在BC边上，ACAP，PAC60，PC2，AP+AC10（1）求sinACP的值；（2）若APB的面积是9，求AB的长【分析】（1）在APC中，由余弦定理解得AP，可求AC，由正弦定理即可得解；解法2：设ACP，在APC中，由正弦定理得，结合范围可求cos（），利用两角差的正弦函数公式即可化简求解（2）由（1）知AP4，AC6利用三角形面积公式可解得，进而求得cosACP的值，在ABC中，由余弦定理得AB
24、的值；解法2：由（1）知，由正弦定理解得AP4，AC6，由余弦定理，三角形面积公式解得，由余弦定理可求AB的值【解答】（本题满分为12分）解：（1）在APC中，PAC60，AP+AC10，（1分）由余弦定理得PC2AP2+（10AP）22AP（10AP）cos60，（2分）28AP2+（10AP）2AP（10AP）整理得AP210AP+240，解得AP4或AP6，（3分）因为ACAP，所以AP4，AC6，（4分）由正弦定理，得：，（5分）解得（6分）（1）解法2：设ACP，在APC中，由正弦定理得，（1分），（2分），（3分）又APAC，AP+AC10，（4分），（5分）（6分）（2）因为PA
25、C60，由（1）知AP4，AC6所以APC的面积，（7分）又APB的面积是，所以ACB的面积（8分）由（1）知，解得，（9分）又因为APAC，所以ACP必为锐角，（10分）在ABC中，由余弦定理得：AB2CA2+CB22CACBcosACP91，（11分）（12分）（2）解法2：由（1）知，在APC中，由正弦定理得，解得AP4，AC6，（7分）在APC中，由余弦定理得，（8分）（9分）又APB的面积是，解得，（10分）在APB中，由余弦定理得，（11分）（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题20（12分
26、）已知等差数列an的首项a13，公差d0且a1、a2、a5分别是等比数列bn的第2、3、4项（1）求数列an与bn的通项公式；（2）设数列cn满足，求c1+c2+c2018的值（结果保留指数形式）【分析】（1）运用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，解方程即可得到所求通项；（2）求得，设数列cn的前n项的和为Tn，由错位相减法求和可得所求和【解答】解：（1）由题意知等差数列an中a13，且a1、a2、a5成等比，即（3+d）23（3+4d），又d0，解得d6，所以数列an的通项公式为ana1+（n1）d3+6（n1）6n3nN*，再由题意得等比数列bn中，b2a13，b3a26239，设等
27、比数列bn公比为q，则，数列bn的通项公式为nN*；（2）由（1）得an6n3，nN*，nN*，设数列cn的前n项的和为Tn，T2018c1+c2+c20189+332+533+734+（220181）32018，两式相减得40343201918，所以c1+c2+c2018的值为201732019+9【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查错位相减法求和，考查运算能力，属于中档题21（12分）为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势下表给出了2018年
28、种植的一批试验紫甘薯在不同温度时6组死亡的株数：温度x（单位：）212324272932死亡数y（单位：株）61120275777经计算：，其中xi，yi分别为试验数据中的温度和死亡株数，i1，2，3，4，5，6（1）y与x是否有较强的线性相关性？请计算相关系数r（精确到0.01）说明（2）并求y关于x的回归方程（和都精确到0.01）；（3）用（2）中的线性回归模型预测温度为35时该批紫甘薯死亡株数（结果取整数）附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（un，vn），线性相关系数，通常情况下当|r|大于0.8时，认为两个变量有很强的线性相关性其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
29、；【分析】（1）计算平均数，求出相关系数，比较得出结论；（2）求出回归系数，即可写出回归方程；（3）根据回归方程计算x35时对应的函数值即可【解答】解：（1），（1分），（2分）所以（3分）；（4分）所以y与x有较强的线性相关性；（5分）（2）由（1）知，所以，（7分）；（8分）所以y关于x的回归方程为；（9分）（3）由（2）知y关于x的回归方程为，当x35时，；（11分）所以预测温度为35时该批紫甘薯死亡株数约93株（12分）【点评】本题考查了线性相关系数和线性回归方程的应用问题，是中档题22（12分）已知函数，aR（1）若函数f（x）是奇函数，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，判断函数
30、yf（x）与函数ylg2x的图象公共点个数，并说明理由；（3）当x1，2）时，函数yf（2x）的图象始终在函数ylg（42x）的图象上方，求实数a的取值范围【分析】（1）运用奇函数的定义，以及对数的运算性质，结合恒成立思想解方程可得a的值；（2）求得f（x）的定义域，要求方程解的个数，即求方程在定义域D上的解的个数构造函数，运用函数零点存在定理，即可得到所求零点个数；（3）要使x1，2）时，函数yf（2x）的图象始终在函数ylg（42x）的图象的上方，必须使在x1，2）上恒成立，令t2x，则t2，4），上式整理得t2+（a5）t+6a0在t2，4）恒成立由参数分离和基本不等式可得最值，进而得到
31、所求范围【解答】解：（1）函数为奇函数，所以对于定义域内任意x，都有f（x）+f（x）0，即，显然x1，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有x1上面等式左右两边同时乘以（x1）（x+1）得a（x1）+2a（x+1）2x21，化简得（a21）x2（a24a+3）0，上式对定义域内任意x恒成立，所以必有，解得a1；（2）由（1）知a1，所以，即，由得x1或x1，所以函数f（x）定义域D（，1）（1，+），由题意，要求方程解的个数，即求方程在定义域D上的解的个数令，显然F（x）在区间（，1）和（1，+）均单调递增，又，且，所以函数F（x）在区间和上各有一个零点，即方程在定义域D上有2个解，所以函数
32、yf（x）与函数ylg2x的图象有2个公共点；（3）要使x1，2）时，函数yf（2x）的图象始终在函数ylg（42x）的图象的上方，必须使在x1，2）上恒成立，令t2x，则t2，4），上式整理得t2+（a5）t+6a0在t2，4）恒成立因为t2+（a5）t+6a0在t2，4）恒成立即（t1）at2+5t6，又1t13，所以得在t2，4）恒成立，令ut1，则u1，3），且tu+1，所以，由基本不等式可知（当且仅当时，等号成立）即，所以，所以a的取值范围是【点评】本题考查函数的性质和运用，主要是奇偶性的定义和性质，考查函数零点存在定理的应用以及参数分离、构造函数和基本不等式的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题