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2017-2018学年广东省佛山市四校联考高一(下)期末数学试卷(含详细解答)

1、2017-2018学年广东省佛山市四校联考高一(下)期末数学试卷一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1(5分)已知:在ABC中,则此三角形为()A直角三角形B等腰直角三角形C等腰三角形D等腰或直角三角形2(5分)设数列an是各项为正数的等比数列,Sn为其前n项和,已知a2a416,8,则S5()A40B20C31D433(5分)在长为12cm的线段AB上任取一点C现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20cm2的概率为()ABCD4(5分)如图,给出的是计算的值的一个程序框图,则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是()Ai100,nn+1Bi10

2、0,nn+2Ci50,nn+2Di50,nn+25(5分)在ABC中,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若a2+b22c2,则角C的取值范围为()A(0,B,)C,D(,6(5分)从1,2,3,4,5这5个数中一次性随机地取两个数,则所取两个数之和能被3整除的概率是()ABCD7(5分)由下表可计算出变量x,y的线性回归方程为()x54321y21.5110.5A0.35x+0.15B0.35x+0.25C0.35x+0.15D0.35x+0.258(5分)已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示,为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本

3、容量和抽取的高中生近视人数分别为()A200,20B100,20C200,10D100,109(5分)若实数x,y满足,如果目标函数zxy的最小值为2,则实数m()A8B0C4D810(5分)若log4(3a+4b)log2,则a+b的最小值是()A6+2B7+2C6+4D7+411(5分)(理)已知数列an的通项公式ann2(6+2)n+2014,若a6或a7为数列an的最小项,则实数的取值范围()A(3,4)B2,5C3,4D,12(5分)已知关于x的不等式x24ax+3a20(a0)的解集为(x1,x2),则的最大值是()ABCD二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13(5分)已知

4、a,b,c是ABC的三边,其面积S(b2+c2a2),角A的大小是   14(5分)(理)抛掷一枚质地均匀的骰子,记向上的点数是偶数的事件为A,向上的点数大于2且小于或等于5的事件为B,则事件AB的概率P(AB)   15(5分)等差数列an的前n项和为Sn,数列bn是等比数列,且满足a13,b11,b2+S210,a52b2a3,数列的前n项和Tn,若TnM对一切正整数n都成立,则M的最小值为   16(5分)若不存在整数x使不等式(kxk24)(x4)0成立,则实数k的取值范围是   三、解答题(本大题共6小题,共72.0分)17(10分)在ABC中

5、,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ac已知2,cos B,b3求:(1)a和c的值;(2)cos(BC)的值18(12分)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数(I)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的

6、平面区域;(II)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?19(12分)已知函数f(x)2cos2x+2sinxcosx求函数f(x)的最小正周期;在ABC中,a,b,c为内角A,B,C的对边,若f(C)2,a+b4,求ABC的最大面积20(12分)高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩,按成绩共分成五组:第1组75,80),第2组80,85),第3组85,90),第4组90,95),第5组95,100,得到的频率分布直方图如图所示,同时规定成绩在85分以上(含85分)的学生为“优秀”,成绩小于85分的学生为“良好”,且只有成绩为“优秀”的学生

7、才能获得面试资格(1)求出第4组的频率,并补全频率分布直方图;(2)根据样本频率分布直方图估计样本的中位数;(3)如果从“优秀”和“良好”的学生中分别选出3人和2人,再从这5人中选2人,那么至少有一人是“优秀”的概率是多少?21(12分)已知数列an的前n项为和Sn,点(n,)在直线yx+上数列bn满足bn+22bn+1+bn0(nN*),且b311,前9项和为153(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设cn,数列cn的前n项和为Tn,求使不等式Tn对一切nN*都成立的最大正整数k的值;(3)设nN*,f(n),问是否存在mN*,使得f(m+15)5f(m)成立?若存在,求出m的值;若不存

8、在,请说明理由22(12分)数列an中,a1a,an+1can+1c(nN*)a、cR,c0(1)求证:a1时,an1是等比数列,并求an通项公式(2)设,bnn(1an)(nN*)求:数列bn的前n项的和Sn(3)设、记dnc2nc2n1,数列dn的前n项和Tn证明:(nN*)2017-2018学年广东省佛山市四校联考高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1(5分)已知:在ABC中,则此三角形为()A直角三角形B等腰直角三角形C等腰三角形D等腰或直角三角形【分析】由条件可得sinCcosBcosCsinB,故sin(CB)0,再由CB,可得 CB

9、0,从而得到此三角形为等腰三角形【解答】解:在ABC中,则 ccosBbcosC,由正弦定理可得 sinCcosBcosCsinB,sin(CB)0,又CB,CB0,故此三角形为等腰三角形,故选:C【点评】本题考查正弦定理,两角差的正弦公式,得到sin(CB)0 及CB,是解题的关键2(5分)设数列an是各项为正数的等比数列,Sn为其前n项和,已知a2a416,8,则S5()A40B20C31D43【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出【解答】解:设等比数列an的公比为q0,a2a416,8,16,q38,解得q2,a11则S531故选:C【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质,

10、考查了推理能力与计算能力,属于中档题3(5分)在长为12cm的线段AB上任取一点C现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20cm2的概率为()ABCD【分析】设ACx,则BC12x,由矩形的面积Sx(12x)20可求x的范围,利用几何概率的求解公式可求【解答】解:设ACx,则BC12x(0x12)矩形的面积Sx(12x)20x212x+2002x10由几何概率的求解公式可得,矩形面积大于20cm2的概率P故选:C【点评】本题主要考查了二次不等式的解法,与区间长度有关的几何概率的求解公式的应用,属于基础试题4(5分)如图,给出的是计算的值的一个程序框图,则图中判断框内(1

11、)处和执行框中的(2)处应填的语句是()Ai100,nn+1Bi100,nn+2Ci50,nn+2Di50,nn+2【分析】写出前三次循环的结果,观察归纳出和的最后一项的分母i的关系,得到判断框中的条件【解答】解:此时,经第一次循环得到的结果是,经第二次循环得到的结果是经第三次循环得到的结果是据观察S中最后一项的分母与i的关系是分母2(i1)令2(i1)100解得i51即需要i51时输出故图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是分别是i50,nn+2故选:C【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构的有关的题目,常采用写出前几次循环的结果,找规律5(5分)在ABC中,角A,B,C所对

12、边长分别为a,b,c,若a2+b22c2,则角C的取值范围为()A(0,B,)C,D(,【分析】利用余弦定理列出关系式,将已知等式变形后代入并利用基本不等式求出cosC,即可确定出C的取值范围【解答】解:a2+b22c2,c2,由余弦定理得:cosC(当且仅当ab时取等号),0C故选:A【点评】此题考查了余弦定理,以及基本不等式的运用,熟练掌握余弦定理是解本题的关键6(5分)从1,2,3,4,5这5个数中一次性随机地取两个数,则所取两个数之和能被3整除的概率是()ABCD【分析】先求出基本事件总数,再由列举法求出所取两个数之和能被3整除包含的基本事件个数,由此能求出所取两个数之和能被3整除的概

13、率【解答】解:从1,2,3,4,5这5个数中一次性随机地取两个数,基本事件总数n10,所取两个数之和能被3整除包含的基本事件有:(1,2),(1,5),(2,4),(4,5),共有m4个,所取两个数之和能被3整除的概率p故选:A【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用7(5分)由下表可计算出变量x,y的线性回归方程为()x54321y21.5110.5A0.35x+0.15B0.35x+0.25C0.35x+0.15D0.35x+0.25【分析】利用平均数公式求得平均数,代入公式求回归系数,可得回归直线方程【解答】解:3,1.2,b0.35,

14、a1.20.3530.15,线性回归方程为y0.35x+0.15故选:A【点评】本题考查了线性回归方程是求法,利用最小二乘法求回归系数时,计算要细心8(5分)已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示,为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A200,20B100,20C200,10D100,10【分析】根据图1可得总体个数,根据抽取比例可得样本容量,计算分层抽样的抽取比例,求得样本中的高中学生数,再利用图2求得样本中抽取的高中学生近视人数【解答】解:由图1知:总体个数为3500+2000+450010000

15、,样本容量100002%200,分层抽样抽取的比例为,高中生抽取的学生数为40,抽取的高中生近视人数为4050%20故选:A【点评】本题借助图表考查了分层抽样方法,熟练掌握分层抽样的特征是关键9(5分)若实数x,y满足,如果目标函数zxy的最小值为2,则实数m()A8B0C4D8【分析】画出不等式组表示的平面区域,根据目标函数的解析式形式,分析取得最优解的点的坐标,然后根据分析列出一个含参数m的方程组,消参后即可得到m的取值【解答】解:画出x,y满足的可行域如下图:可得直线y2x1与直线x+ym的交点使目标函数zxy取得最小值,由可得,x,y代入xy2得 2,m8故选:A【点评】如果约束条件中

16、含有参数,先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域,分析取得最优解是哪两条直线的交点,然后得到一个含有参数的方程(组),代入另一条直线方程,消去x,y后,即可求出参数的值10(5分)若log4(3a+4b)log2,则a+b的最小值是()A6+2B7+2C6+4D7+4【分析】利用对数的运算法则可得0,a4,再利用基本不等式即可得出【解答】解:3a+4b0,ab0,a0b0log4(3a+4b)log2,log4(3a+4b)log4(ab)3a+4bab,a4,a0b00,a4,则a+ba+a+a+3+(a4)+7+74+7,当且仅当a4+2取等号故选:D【点评】本题考查了对数的运算法则、基

17、本不等式的性质,属于中档题11(5分)(理)已知数列an的通项公式ann2(6+2)n+2014,若a6或a7为数列an的最小项,则实数的取值范围()A(3,4)B2,5C3,4D,【分析】求出数列an的通项公式ann2(6+2)n+2014的对称轴,利用a6或a7为数列an的最小项,建立不等式,即可求出实数的取值范围【解答】解:由题意,数列an的通项公式ann2(6+2)n+2014的对称轴为n3+,a6或a7为数列an的最小项,5.53+7.5,2.54.5故选:D【点评】本题考查数列的函数性质,考查学生分析解决问题的能力,确定5.53+7.5是关键12(5分)已知关于x的不等式x24ax

18、+3a20(a0)的解集为(x1,x2),则的最大值是()ABCD【分析】根据不等式x24ax+3a20(a0)的解集为(x1,x2),利用韦达定理求出,x1+x24a,带入利用基本不等式的性质求解【解答】解:不等式x24ax+3a20(a0)的解集为(x1,x2),根据韦达定理,可得:,x1+x24a,那么:4a+a0,(4a+)2,即4a+故的最大值为故选:D【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用,以及根与系数的关系,同时考查了基本不等式的性质的运用的能力和计算能力,属于中档题二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13(5分)已知a,b,c是ABC的三边,其面积S(b2+c2a2)

19、,角A的大小是【分析】由S(b2+c2a2),得bcsinA(b2+c2a2),利用余弦定理及同角三角函数的关系可求得tanA1,由A的范围可求A【解答】解:S(b2+c2a2),即bcsinA(b2+c2a2)2bccosA,tanA,由A为三角形的内角,A,故答案为:【点评】该题考查三角形的面积公式、余弦定理,属基础题,准确记忆公式并灵活运用是解题关键14(5分)(理)抛掷一枚质地均匀的骰子,记向上的点数是偶数的事件为A,向上的点数大于2且小于或等于5的事件为B,则事件AB的概率P(AB)【分析】由题意分别可得P(A),P(B),P(AB),而P(AB)P(A)+P(B)P(AB),代入计

20、算可得【解答】解:由题意抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的点数共6种可能,其中为偶数的有2,4,6三种可能,故P(A),向上的点数大于2且小于或等于5有3,4,5三种可能,故P(B),而积事件AB只有4一种可能,故P(AB),故P(AB)P(A)+P(B)P(AB)故答案为:【点评】本题考查古典概型的求解,涉及概率的基本性质和全概率公式,属基础题15(5分)等差数列an的前n项和为Sn,数列bn是等比数列,且满足a13,b11,b2+S210,a52b2a3,数列的前n项和Tn,若TnM对一切正整数n都成立,则M的最小值为10【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式分别求出an以及bn和的通项公式

21、,利用错位相减法进行求和,利用不等式恒成立进行求解即可【解答】解:设数列an的公差为d,数列bn的公比为q,由b2+S210,a52b2a3得,解得an3+2(n1)2n+1,则,Tn3+,所以Tn+,两式作差得Tn3+3+(1+)3+3+22()n1,即Tn10()n310,由TnM对一切正整数n都成立,M10,故M的最小值为10,故答案为:10【点评】本题主要考查数列通项公式的求解以及数列求和的计算,利用错位相减法是解决本题的关键考查学生的计算能力16(5分)若不存在整数x使不等式(kxk24)(x4)0成立,则实数k的取值范围是1k4【分析】设原不等式的解集为A,然后分k大于0且不等于2

22、,k等于2,小于0和等于0四种情况考虑,当k等于0时,代入不等式得到关于x的一元一次不等式,求出不等式的解集即为原不等式的解集;当k大于0且k不等于2时,不等式两边除以k把不等式变形后,根据基本不等式判断 与4的大小即可得到原不等式的解集;当k等于2时,代入不等式,根据完全平方式大于0,得到x不等于4,进而得到原不等式的解集;当k小于0时,不等式两边都除以k把不等式变形后,根据 小于4,得到原不等式的解集,综上,得到原不等式的解集;【解答】解:设原不等式的解集为A,当k0时,则x4,不合题意,当k0且k2时,原不等式化为x( )(x4)0,要使不存在整数x使不等式(kxk24)(x4)0成立,

23、须,解得:1k4;当k2时,A,合题意,当k0时,原不等式化为x( )(x4)0,A(,)(4,+),不合题意,故答案为:1k4【点评】此题考查了一元二次不等式的解法,考查了分类讨论的数学思想,同时考查了运算能力,是一道中档题三、解答题(本大题共6小题,共72.0分)17(10分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ac已知2,cos B,b3求:(1)a和c的值;(2)cos(BC)的值【分析】(1)运用向量的数量积的定义和余弦定理,解方程即可得到所求a,c;(2)由余弦定理可得cosC,求得sinC,sinB,运用两角差的余弦公式,计算即可得到所求值【解答】解:(1)2,c

24、osB,b3,可得cacosB2,即为ac6;b2a2+c22accosB,即为a2+c213,解得a2,c3或a3,c2,由ac,可得a3,c2;(2)由余弦定理可得cosC,sinC,sinB,则cos(BC)cosBcosC+sinBsinC+【点评】本题考查三角形的余弦定理和向量的数量积的定义,以及三角函数的恒等变换公式,考查运算能力,属于中档题18(12分)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台

25、每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数(I)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(II)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?【分析】()直接由题意结合图表列关于x,y所满足得不等式组,化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域;()写出总收视人次z60x+25y化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案【解答】()解:由已知,x,y满足的数学关

26、系式为,即该二元一次不等式组所表示的平面区域如图:()解:设总收视人次为z万,则目标函数为z60x+25y考虑z60x+25y,将它变形为,这是斜率为,随z变化的一族平行直线为直线在y轴上的截距,当取得最大值时,z的值最大又x,y满足约束条件,由图可知,当直线z60x+25y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大解方程组,得点M的坐标为(6,3)电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多【点评】本题考查解得线性规划的应用,考查数学建模思想方法及数形结合的解题思想方法,是中档题19(12分)已知函数f(x)2cos2x+2sinxcosx求函数f(x)的最小正周期;在ABC

27、中,a,b,c为内角A,B,C的对边,若f(C)2,a+b4,求ABC的最大面积【分析】利用二倍角公式及辅助角公式对已知函数化简可得,f(x)2sin(2x+)+1,利用周期公式T可求由知,即,又0C 可求C,代入三角形的面积公式可求面积的最大值【解答】解:由已知f(x)2cos2x+2sinxcosxcos2x+1+sin2x2sin(2x+)+1                            (6分)由知,即又0C2C+当且仅当ab时, &nb

28、sp;                   (12分)【点评】本题主要考查了三角函数的二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用,由三角函数值求角,基本不等式在函数最值求解中的应用20(12分)高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩,按成绩共分成五组:第1组75,80),第2组80,85),第3组85,90),第4组90,95),第5组95,100,得到的频率分布直方图如图所示,同时规定成绩在85分以上(含85分)的学生为“优秀”,成绩小于85分的学生为“良好”,且只有成绩为“

29、优秀”的学生才能获得面试资格(1)求出第4组的频率,并补全频率分布直方图;(2)根据样本频率分布直方图估计样本的中位数;(3)如果从“优秀”和“良好”的学生中分别选出3人和2人,再从这5人中选2人,那么至少有一人是“优秀”的概率是多少?【分析】(1)根据频率分步直方图的性质,根据所给的频率分步直方图中小矩形的长和宽,求出矩形的面积,即这组数据的频率,根据各小组的频率之和为1求出第四组的频率,进一步补全频率分布直方图(2)第一、二两组的频率和为0.4,第三组的频率为0.3,所以中位数落在第三组,由此能求出笔试成绩的中位数(3)根据概率公式计算,事件“5位同学中抽两位同学”有10种可能,而且这些事

30、件的可能性相同,其中事件“至少有一人是“优秀”可能种数是9,那么即可求得事件M的概率【解答】解:(1)其它组的频率为(0.01+0.07+0.06+0.02)50.8,所以第4组的频率为0.2,频率分布图如图:(3分)(2)设样本的中位数为x,则50.01+50.07+(x85)0.060.5,(5分)解得,所以样本中位数的估计值为(6分)(3)依题意良好的人数为400.416人,优秀的人数为400.624人优秀与良好的人数比为3:2,所以采用分层抽样的方法抽取的5人中有优秀3人,良好2人             (8分)记“从这5人

31、中选2人至少有1人是优秀”为事件M,将考试成绩优秀的三名学生记为A,B,C,考试成绩良好的两名学生记为a,b从这5人中任选2人的所有基本事件包括:AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab共10个基本事件        (9分)事件M含的情况是:AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,共9个(10分)所以(12分)【点评】本题考查频率分步直方图的性质,考查等可能事件的概率,本题是一个概率与统计的综合题目21(12分)已知数列an的前n项为和Sn,点(n,)在直线yx+上数列bn满足bn+22bn+1+bn0(nN*),且b3

32、11,前9项和为153(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设cn,数列cn的前n项和为Tn,求使不等式Tn对一切nN*都成立的最大正整数k的值;(3)设nN*,f(n),问是否存在mN*,使得f(m+15)5f(m)成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由【分析】(1)点(n,)在直线yx+上,可得数列an的前n项和为Sn,利用公式anSnSn1,求出an的通项公式;又因为bn+22bn+1+bn0,所以数列bn为等差数列,根据等差数列的性质,求出bn的通项公式;(2)由(1)可知cn的通项公式,利用裂项法,求出前n项和Tn,根据不等式Tn求出k的值;(3)先假设存在满足条件的k存在

33、,求出f(n)解析式,然后按m为偶数、m为奇数两种情况进行讨论表示出f(m+15)5f(m)解出即可;【解答】解:(1)点(n,)在直线yx+上,n+,即Snn2+n,当n2时,anSnSn1n+5;当n11时,a1S16;满足上式;ann+5(3分)bn+22bn+1+bn0(nN*),bn+2bn+1bn+1bnb2b1数列bn是等差数列,b311,它的前9项和为153,设公差为d,则b1+2d11,9b1+d153,解得b15,d3bn3n+2(5分)(2)由(1)得,cn(),Tnb1+b2+b3+bn(1)+()+()+()(1)(8分)Tn(1)在nN*上是单调递增的,Tn的最小值

34、为T1不等式Tn对一切nN*都成立,k19最大正整数k的值为18(10分)(3)nN*,f(n)11 w   分当m为奇数时,m+15为偶数,则有3(m+15)+25(m+5)解得m11(13分)当m为偶数时,m+15为奇数若f(m+15)5f(m)成立,m+15+55(3m+2)此时,不成立(15分)当m11时,f(m+15)5f(m)(16分)【点评】本题考查数列与函数的综合,涉及求数列的通项,数列的求和以及恒成立问题,考查分类讨论思想,考查学生的探究能力解决问题的能力,属中档题22(12分)数列an中,a1a,an+1can+1c(nN*)a、cR,c0(1)求证:a1时,an1是等比数列,并求an通项公式(2)设,bnn(1an)(nN*)求:数列bn的前n项的和Sn(3)设、记dnc2nc2n1,数列dn的前n项和Tn证明:(nN*)【分析】(1)an+1can+1c,可得an+11c(an1),从而可得a1时,an1是等比数列,即可求an通项公式;(2)求出数列bn的通项,利用错位相减法,可求数列的和;(3)确定数列dn的通项利用放缩法求和,即可证得结论【解答】(1)证明:an+1can+1c,an+11c(an1)【点评】本题考查等比数列的证明,考查数列的通项与求和,考查不等式的证明,属于中档题