1、2017-2018学年广东省东莞市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1（5分）sin135的值为（）ABCD2（5分）已知向量（x，1），（4，x），若5，则x的值为（）A1B2C1D53（5分）若圆x2+y2+2x4y0关于直线2xy+a0对称，则a的值为（）A3B1C0D44（5分）为了调查某班级的作业完成情况，将该班级的52名同学随机编号0152，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知05、18、44号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应该是（）A23B27C31D335（5分）已知是第
2、四象限角，且tan2，则sin2（）ABCD6（5分）要得到曲线y3sin（2x），只需把函数y3sin2x的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位7（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A1B0CD8（5分）从集合2，3，4，5中随机抽取一个数a，从集合4，6，8中随机抽取一个数b，则向量（a，b）与向量（1，2）平行的概率为（）ABCD9（5分）过原点的直线l与圆（x1）2+（y2）24相交所得的弦长为2，则直线l的斜率为（）A2B1CD10（5分）如图圆C内切于扇形AOB，AOB，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为（）ABCD
3、11（5分）已知0，函数f（x）sin（x+）在（，）上单调递减，则的取值范围是（）A（0，2B（0，C，D1，12（5分）设|2，|1，0，+，且+1，则向量在上的投影的取值范围（）A（，2B（，2C（，2D（，2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13（5分）在空间直角坐标系中，点P（2，3，4）到y轴的距离为 14（5分）已知，为单位向量，且，所成角为，则|2+|为 15（5分）某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示根据条形图可得这50名学生这一天平均的课外阅读时间为 小时16（5分）已知y
4、sin+2cos，且（0，），则当y取得最大值时sin 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效17（10分）已知平面向量（1，2），（1，k）（1）当k为何值时，向量与2+垂直；（2）当k1时，设向量与的夹角为，求tan及cos2的值18（12分）近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组20，25），第2组25，30），第3组30，35），第4组35，40），第5组40，45，
5、得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有70人（1）求该组织的人数（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，然后在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率19（12分）某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价，将产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（xi，yi）（i1，2，6），如表所示：试销单价x（元）456789产品销量y（件）90848380q68已知（1）求表格中q的值；（2）已知变量x，y具有线性相关性，试利用最小二乘法原理，求产品销量y关于试销单价x的线性回归方程（参考数据）；（3）用（2）中
6、的回归方程得到的与xi对应的产品销量的估计值记为（i1，2，6）当时，则称（xi，yi）为一个“理想数据”试确定销售单价分别为4，5，6时有哪些是“理想数据”20（12分）函数f（x）2sin2（+x）cos2x（1）请把函数f（x）的表达式化成f（x）Asin（x+）+b（A0，0，|）的形式，并求f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在x，时的值域21（12分）在平面内，已知点A（1，1），圆C：（x3）2+（y5）24，点P是圆C上的一个动点，记线段PA的中点为Q（1）求点Q的轨迹方程；（2）若直线l：ykx+2与Q的轨迹交于M，N两点，是否存在直线l，使得10（O为坐标原点），若存
7、在，求出k的值；若不存在，请说明理由22（12分）已知a1，f（x）sinxcosx+a（sinx+cosx）1（1）求当a1时，f（x）的值域；（2）若函数f（x）在0，内有且只有一个零点，求a的取值范围2017-2018学年广东省东莞市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1（5分）sin135的值为（）ABCD【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值即可得出【解答】解：sin135sin（18045）sin45故选：B【点评】本题考查了诱导公式和特殊角的三角函数值，属于基础题2（5分）已
8、知向量（x，1），（4，x），若5，则x的值为（）A1B2C1D5【分析】直接利用向量的数量积的运算法则化简求解即可【解答】解：向量（x，1），（4，x），若5，可得5x5，解得x1故选：A【点评】本题考查向量的数量积的也是，是基本知识的考查3（5分）若圆x2+y2+2x4y0关于直线2xy+a0对称，则a的值为（）A3B1C0D4【分析】根据题意，圆x2+y2+2x4y0的圆心C在直线2xy+a0上，求出C的坐标并代入直线2xy+a0，再解关于a的方程，即可得到实数a的值【解答】解：圆x2+y2+2x4y0关于直线2xy+a0对称，圆心C在直线2xy+a0上，求得C的坐标（1，2），可得2（
9、1）2+a0，解之得a4，故选：D【点评】本题给圆C关于已知直线对称，求参数a的值着重考查了圆的标准方程、圆的性质和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题4（5分）为了调查某班级的作业完成情况，将该班级的52名同学随机编号0152，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知05、18、44号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应该是（）A23B27C31D33【分析】根据系统抽样的定义计算出样本间隔进行求解即可【解答】解：用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，则样本间隔为52413，则样本中还有一位同学的编号应该是18+1331，故选：C【点评】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔
10、是解决本题的关键比较基础5（5分）已知是第四象限角，且tan2，则sin2（）ABCD【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sin2的值【解答】解：是第四象限角，且tan2，则sin2，故选：C【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题6（5分）要得到曲线y3sin（2x），只需把函数y3sin2x的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位【分析】由题意利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：把函数y3sin2x的图象向右平移个单位，可得曲线y3sin（2x）的图象，故选：D【点评】本题主要考查函
11、数yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题7（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A1B0CD【分析】模拟运行程序框图，即可得出程序运行后输出的算式，再根据余弦函数的周期性求得S的值【解答】解：模拟运行如图所示的程序框图知，该程序运行后计算并输出Scos+cos+cos+cos+cos+cos2+coos+cos+cos1+1+11故选：A【点评】本题考查了利用程序运算求三角函数和的应用问题，是基础题8（5分）从集合2，3，4，5中随机抽取一个数a，从集合4，6，8中随机抽取一个数b，则向量（a，b）与向量（1，2）平行的概率为（）ABCD【分析】先求出基本事件总数N4312
12、，当向量（a，b）与向量（1，2）平行时，b2a，利用列举法求出满足向量（a，b）与向量（1，2）平行的基本事件有3个，由此能求出向量（a，b）与向量（1，2）平行的概率【解答】解：从集合2，3，4，5中随机抽取一个数a，从集合4，6，8中随机抽取一个数b，基本事件总数N4312，当向量（a，b）与向量（1，2）平行时，解得b2a，满足向量（a，b）与向量（1，2）平行的基本事件（a，b）有：（4，2），（6，3），（8，4），共3个，则向量（a，b）与向量（1，2）平行的概率为p故选：B【点评】本题考查概率的求法，考查列举法、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是
13、基础题9（5分）过原点的直线l与圆（x1）2+（y2）24相交所得的弦长为2，则直线l的斜率为（）A2B1CD【分析】由已知画出图形，可知斜率不存在是满足题意，当直线l的斜率存在时，设直线方程为ykx，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求直线的斜率【解答】解：如图，当直线l的斜率不存在时，直线方程为x0，此时弦长为；当直线l的斜率存在时，设直线方程为ykx，则圆心（1，2）到直线ykx的距离d，由，解得k直线l的斜率为故选：C【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是基础题10（5分）如图圆C内切于扇形AOB，AOB，若在扇形AOB内任取一点，则
14、该点在圆C内的概率为（）ABCD【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件对应的包含的事件对应的是扇形AOB，满足条件的事件是圆，根据题意，构造直角三角形求得扇形的半径与圆的半径的关系，进而根据面积的求法求得扇形OAB的面积与P的面积比【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，设圆C的半径为r，试验发生包含的事件对应的是扇形AOB，满足条件的事件是圆，其面积为C的面积r2，连接OC，延长交扇形于P由于CEr，BOP，OC2r，OP3r，则S扇形AOB；C的面积与扇形OAB的面积比是概率P，故选：C【点评】本题是一个等可能事件的概率，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事
15、件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果连接圆心和切点是常用的辅助线做法，本题的关键是求得扇形半径与圆半径之间的关系11（5分）已知0，函数f（x）sin（x+）在（，）上单调递减，则的取值范围是（）A（0，2B（0，C，D1，【分析】利用正弦函数的单调性的性质求解即可【解答】解：函数f（x）sin（x+）在（，）上单调递减，kZ解得：1+8k当k0时，可得故选：D【点评】本题考查了正弦函数的图象及性质的应用属于基础题12（5分）设|2，|1，0，+，且+1，则向量在上的投影的取值范围（）A（，2B（，2C（，2D（，2【分析】首先判定，进一步利用向量的共线的充要条件
16、求出向量的投影的范围【解答】解：由于：0，则：，由于：|2，|1，则：当，由于+，且+1，则：P、A、B三点共线故：当P与A重合时，投影为2故：向量在上的投影的取值范围为（故选：B【点评】本题考查的知识要点：三点共线的应用，向量数量积的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13（5分）在空间直角坐标系中，点P（2，3，4）到y轴的距离为2【分析】在空间直角坐标系中点（x，y，z）到y轴的距离d【解答】解：在空间直角坐标系中，点（x，y，z）到y轴的距离d点（2，3，4）到y轴的距离d2故答案为：2【点评】本题考查空间中点到y轴的
17、距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题14（5分）已知，为单位向量，且，所成角为，则|2+|为【分析】根据平面向量的数量积求模长即可【解答】解：，为单位向量，且，所成角为，11cos，4+4+41+4+17，|2+|故答案为：【点评】本题考查了平面向量的数量积求模长的应用问题，是基础题15（5分）某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示根据条形图可得这50名学生这一天平均的课外阅读时间为0.9小时【分析】根据样本的条形图可知，将所有人的学习时间进
18、行求和，再除以总人数即可【解答】解：由题意，0.9，故答案为：0.9【点评】本小题主要考查样本的条形图的知识和分析问题以及解决问题的能力，属于基础题16（5分）已知ysin+2cos，且（0，），则当y取得最大值时sin【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数的性质可得最大值，可得的值，从而可得sin【解答】解：函数ysin+2cos，其中tan2当y取得最大值时，可得+2k+，kZ则2k+，kZ那么tan（2k+）2，即tan（）2，tan（0，），sin故答案为：【点评】本题考查三角函数的化简，考查转化思想以及计算能力属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过
19、程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效17（10分）已知平面向量（1，2），（1，k）（1）当k为何值时，向量与2+垂直；（2）当k1时，设向量与的夹角为，求tan及cos2的值【分析】（1）先求出（1，4+k），再由向量与2+垂直，能求出k（2）当k1时，（1，1），cos，由此能求出结果【解答】解：（1）平面向量（1，2），（1，k）（1，4+k），向量与2+垂直，1+8+2k0，解得k（2）当k1时，（1，1），向量与的夹角为，cos，sin，tan3，cos2cos2sin2【点评】本题考查实数值的求法，考查向量的数量积公式等基础知识，考查运
20、算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题18（12分）近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组20，25），第2组25，30），第3组30，35），第4组35，40），第5组40，45，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有70人（1）求该组织的人数（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，然后在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率【分析】（1）根据频数频率样本容量，频率对应矩形面积，构造关于n的
21、方程，解方程可得该组织的人数；（2）先计算出第3，4，5组中每组的人数，选求出这6名志愿者中随机抽取2名志愿者的基本事件总数和第3组至少有一名志愿者被抽中的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案【解答】解：（1）由题意：第2组的人数：7050.07n，得到：n200，故该组织有200人（3分）（2）第3组的人数为0.310030，第4组的人数为0.210020，第5组的人数为0.110010第3，4，5组共有60名志愿者，利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：63； 第4组：62； 第5组：61应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人（6
22、分）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1B2，第5组的1名志愿者为C1则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共有15种其中第3组的3名志愿者A1，A2，A3，至少有一名志愿者被抽中的有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3
23、，B1），（A3，B2），（A3，C1），共有12种，则第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为p （12分）【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键19（12分）某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价，将产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（xi，yi）（i1，2，6），如表所示：试销单价x（元）456789产品销量y（件）90848380q68已知（1）求表格中q的值；（2）已知变量x，y具有线性相关性，试利用最小二乘法原理，求产品销量y关于试销单价x的线性回归方程（参考数据）；（3）用（2）中的回归方程得到的与
24、xi对应的产品销量的估计值记为（i1，2，6）当时，则称（xi，yi）为一个“理想数据”试确定销售单价分别为4，5，6时有哪些是“理想数据”【分析】（1）根据题意计算，列方程求出q的值；（2）计算平均数和回归系数，写出y关于x的回归方程；（3）根据回归方程计算预测值，与实际值比较，判断是否为“理想数据”【解答】解：（1）根据题意，计算（90+84+83+80+q+68）80，解得q75；（2）计算（4+5+6+7+8+9）6.5，4，80（4）6.5106，y关于x的回归方程是4x+106；（3）回归方程为4x+106，4x1+10690，|y1|9090|01，（x1，y1）（4，90）是“
25、理想数据”，4x2+10686，|y2|8684|21，（x2，y2）（5，84）不是“理想数据”，4x3+10682，|y3|8283|11，（x3，y3）（6，83）是“理想数据”“理想数据”为（4，90），（6，83）【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是中档题20（12分）函数f（x）2sin2（+x）cos2x（1）请把函数f（x）的表达式化成f（x）Asin（x+）+b（A0，0，|）的形式，并求f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在x，时的值域【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简即可，根据周期公式求解最小正周期；（2）求解内层函数范围，结合三角函数的性质可得
26、在x，时的值域【解答】解：（1）函数f（x）2sin2（+x）cos2x1cos（）cos2xsin2xcos2x+12sin（2x）+1f（x）的最小正周期T（2）由（1）可知f（x）2sin（2x）+1x，2x，sin（2x）1则2f（x）3故得函数f（x）在x，时的值域为2，3【点评】本题考查的知识点是二倍角和辅助角公式化简能力以及三角函数的性质，求解执着于问题，难度不大，属于基础题21（12分）在平面内，已知点A（1，1），圆C：（x3）2+（y5）24，点P是圆C上的一个动点，记线段PA的中点为Q（1）求点Q的轨迹方程；（2）若直线l：ykx+2与Q的轨迹交于M，N两点，是否存在直线
27、l，使得10（O为坐标原点），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）设出点Q，根据Q是PA中点的坐标，利用中点坐标公式求出P的坐标，根据P在圆上，得到Q轨迹方程；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），将ykx+2代入圆的方程，可得（1+k2）x2（2k+4）x+40，由0，得k的取值范围，利用根与系数的关系可得10的k值【解答】解：（1）设Q（x，y），点P的坐标为（x0，y0），点A（1，1），且Q是线段PA的中点，x02x1，y02y1，P在圆C：（x3）2+（y5）24上运动，（2x4）2+（2y6）24，即（x2）2+（y3）21；点Q的轨迹方程为（x2）2+（y
28、3）21；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），将ykx+2代入方程圆的方程，即（1+k2）x2（2k+4）x+40，（*）由（2k+4）216（1+k2）0，得0k，x1+x2，x1x2，x1x2+y1y2x1x2+（kx1+2）（kx2+2）（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+410，（1+k2）+2k+410，即k2+4k10，解得k（舍），或k2+存在直线l，使得，此时k2+【点评】本题考查了直线与圆相交关系、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、中垂线的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22（12分）已知a1，f（x）sinxcosx+a（sinx+c
29、osx）1（1）求当a1时，f（x）的值域；（2）若函数f（x）在0，内有且只有一个零点，求a的取值范围【分析】（1）利用转化思想，设sinx+cosxt，（），则sinxcosx，利用二次函数的性质可得值域（2）根据函数f（x）在0，内有且只有一个零点，即可得t范围，转化为二次函数的性质求a的取值范围【解答】解：（1）由题意：设sinx+cosxt，（），则sinxcosx，那么f（x）sinxcosx+a（sinx+cosx）1，（），当a1时，f（x）转化为g（t），当t1时，g（t）取得最大值为0；当t时，g（t）取得最小值为故得f（x）的值域为，0；（2）由题意：设sinx+cosxt，在x0，内，则x，0sin（x）10t则sinxcosx，那么f（x）sinxcosx+a（sinx+cosx）1转化为g（t），（0），函数f（x）在0，内有且只有一个零点，即g（t）在0上只有一个零点令g（t）0，即0当t0时，可得g（t）0，显然a无解；当t时，g（t），可得a验证：，可得，即在0上有两个零点当时，要使在0上只有一个零点则g（0）g（）0即g（）0，可得：aa1故得a的取值范围是（，+）【点评】本题考查三角函数的有界性，二次函数的最值，考查转化思想以及计算能力