1、2017-2018学年广东省佛山市顺德区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若角B60，b3，a，则角A（）A45或135B30或150C30D452（5分）某学校有高中学生900人，其中高一有400人，高二300人，高三200人，采用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的学生人数为（）A25、15、5B20、15、10C30、10、5D15、15、153（5分）下列各进位制数中最小的是（）A111111（2）B2
2、10（6）C1000（4）D101（8）4（5分）已知x、y的取值如表：从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为0.95x+a，则a（）A2.35B2.2C3.25D05（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，S84a4，a62，则a8（）A6B4C2D26（5分）从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量这些产品的一项质量指标，其频率分布表如图，若该质量指标的平均数，众数，中位数分别为a，b，c，则由频率分布直方图估计a，b，c的大小关系为（）AbacBcbaCbcaDcab7（5分）下列命题中正确的是（）若ab0，则abb2；若ab，且，则ab0；若ab0，且，则c0；若cab0，则A
3、BCD8（5分）某服装制造商有9m2的棉布料，7m2的羊毛料，做一条裤子需要2m2的棉布料和1m2的羊毛料，做一条裙子需要1m2的棉布料和1m2的羊毛料，一条裤子的纯收益是40元，一条裙子的纯收益是30元，服装制造商获得的最大收益是（）A150元B180元C210元D230元9（5分）下列函数中，最小值是2的是（）Ay4x1+（x）Bylgx+Cy3x+3xDysinx+（0x）10（5分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a3，b4在区间3，8上随机取一个数c，使ABC构成钝角三角形的概率为（）ABCD11（5分）在图中求100个数中的最大数的算法程序框图中那么在和两个空白
4、框中，可以分别填入（）Ai100和baiBi100和baiCi100和baiDi100和bai12（5分）已知数列an的前n项和为Sn，且a11，Snan+11，则bnlog4an，Tn为数列bn的前n项和，则T100（）A4950B99log46+4851C5050D99log46+4950二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13（5分）在正项等比数列an中，a1+a34，a3+a516，则公比q 14（5分）在ABC中，A30，AC2，BC2，则AB 15（5分）设变量x，y满足约束条件，若使目标函数zax+y取得最大值的最优解有无穷多个，则a的取值是 16（5分）读如图用二
5、分法求方程x220的近似根的算法框图则输出的n 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）在一个箱子中装有6木书，其中3本数学书（记为a1，a2，a3），2本物理书（记为b1，b2）和1本化学书（记为c），现从中任取2本，（1）写出所有基本事件；（2）求下列事件的概率；（i）恰有一本数学书；（ii）没有化学书18（12分）记Sn为等差数列an的前n项和，已知S39，a47（1）求数列an的通项公式；（2）设bn，求数列bn的前n项和Tn19（12分）ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列（1）若1，求ABC的面积；
6、（2）若6cosAa2，且b，求角A20（12分）n2（n4）个正数排成n行n列，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，记第i行第j列的数为aij，已知a23，a42，a43（1）求aij；（2）求a11+a22+a33+ann的值21（12分）高中某试验班在期中考试中数学成绩如下：学号123456789101112成绩112118658910810294999410910172学号131415161718192021222324成绩11110092911028111187911186799学号25262728293031323334成绩91103125108731
7、041049798116经计算得xi98，s14.0，10.0，341，其中xi是学号为i同学的成绩，1，2，3，4，34（1）求成绩x与学号i（1，2，34）之间的相关系数r，并回答成绩与学号的相关性强弱（若|r|0.75，1），则相关性很强：若|r|0.3，0.75），则相关性一般；若|r|0.25，则相关性弱）（2）统计学表明：如果某个同学的考试成绩xi2s，则该同学在此门功课的学习上存在困难，我们称之为“学困生”（i）请问该班有几位数学“学困生”？并求在该班随机抽取一名同学，没有抽到数学“学困生”的概率；（ii）如果剔除数学“学困生”的成绩，那么请计算该班同学这次考试成绩的均分和方差附
8、：样本（xi，yi）（i1，2，n）的相关系数：r，652+6728714，142+982980022（12分）已知f（x）ax2+bx+1，且f（x）0的解集为A（1）若A（1，2），求a，b；（2）若ba+1，求A；（3）若a1时，（1，2）A，求b的取值范围2017-2018学年广东省佛山市顺德区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若角B60，b3，a，则角A（）A45或135B30或150C30D45【分析】由正弦定理得，
9、求出sinA，由此能求出角A【解答】解：在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，角B60，b3，a，即，解得sinA，a3b，角A45故选：D【点评】本题考查角的大小的求法，考查正弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2（5分）某学校有高中学生900人，其中高一有400人，高二300人，高三200人，采用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的学生人数为（）A25、15、5B20、15、10C30、10、5D15、15、15【分析】先求出每个个体被抽到的概率，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数【解答】解
10、：每个个体被抽到的概率等于，则高一、高二、高三各年级抽取的学生人数分别为40020，30015，20010，故选：B【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题3（5分）下列各进位制数中最小的是（）A111111（2）B210（6）C1000（4）D101（8）【分析】欲找四个中最小的数，先将它们分别化成十进制数，后再比较它们的大小即可【解答】解：111111（2）25+24+23+22+21+2063；210（6）262+1678；1000（4）14364；101（8）182+165故11111（2）最小，故选：A【点评】
11、本题考查的知识点是算法的概念，由n进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数该数位的权重，即可得到结果属于基础题4（5分）已知x、y的取值如表：从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为0.95x+a，则a（）x0134y2.24.33.86.7A2.35B2.2C3.25D0【分析】根据所给的数据作出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，代入线性回归方程，求出a的值【解答】解：从所给的数据可以得到 2，4.25，这组数据的样本中心点是（2，4.25）4.250.952+a，a2.35故选：A【点评】本题考查回归分析的应用，本题解题的关键是求出样本中心点，根据样本中心点代入求出a的值
12、，本题是一个基础题5（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，S84a4，a62，则a8（）A6B4C2D2【分析】利用等差数列的通项公式、前n项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，S84a4，a62，解得a18，d2，a88+7（2）6故选：A【点评】本题考查等差数列的第8项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题6（5分）从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量这些产品的一项质量指标，其频率分布表如图，若该质量指标的平均数，众数，中位数分别为a，b，c，则由频率分布直方图估计a，b，c的大小关
13、系为（）AbacBcbaCbcaDcab【分析】由频率分布直方图分别求出平均数a，众数b，中位数c，由此能求出结果【解答】解：由频率分布直方图得：平均数a0.0052020+0.034020+0.015602044，众数b40，中位数c43.3，bca故选：C【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题7（5分）下列命题中正确的是（）若ab0，则abb2；若ab，且，则ab0；若ab0，且，则c0；若cab0，则ABCD【分析】利用不等式的基本性质，判断命题的真假即可【解答】解：若ab0，则abb2；所以不正确；若ab，
14、且，则ab0；正确；若ab0，可得：，因为，则c0；所以正确；若cab0，可得0cacb，可得：a（ca）b（cb），不能推出所以不正确；故选：B【点评】本题考查不等式的简单性质的应用，命题的真假的判断，是基本知识的考查8（5分）某服装制造商有9m2的棉布料，7m2的羊毛料，做一条裤子需要2m2的棉布料和1m2的羊毛料，做一条裙子需要1m2的棉布料和1m2的羊毛料，一条裤子的纯收益是40元，一条裙子的纯收益是30元，服装制造商获得的最大收益是（）A150元B180元C210元D230元【分析】设生产裤子x条，裙子y条，则根据条件建立不等式组，设收益为z，建立目标函数z40x+30y，然后利用线
15、性规划进行求最值【解答】解：设生产裤子x条，裙子y条，（x，yN），则根据条件建立不等式组，作出不等式组对应的平面图象如图：设收益为z，则目标函数z40x+30y，则yx+，平移直线yx+，由图象可知当直线yx+经过点A时，直线yx+截距最大，此时z也最大，由，解得A（2，5），代入目标函数z40x+30y得z402+305230（元）故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用条件建立不等式组关系，利用数形结合，利用目标函数的几何意义是解决此类问题的关键9（5分）下列函数中，最小值是2的是（）Ay4x1+（x）Bylgx+Cy3x+3xDysinx+（0x）【分析】根据题意，有基本不等式
16、的性质依次分析4个选项函数的最小值，即可得答案【解答】解：A、y4x1+，x则y2，没有最小值，不符合题意；B、ylgx+，lgx可能取负值，因此最小值小于2，不符合题意；C、y3x+3x3x+，而3x0，则有y2，符合题意，D、ysinx+，令tsinx，0x，则0t1，有y2，ysinx+没有最小值，不符合题意；故选：C【点评】本题考查基本不等式的性质，注意基本不等式的使用条件10（5分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a3，b4在区间3，8上随机取一个数c，使ABC构成钝角三角形的概率为（）ABCD【分析】由已知可得角C为钝角，利用余弦定理求得角C为钝角时c的范围，再
17、由测度比是长度比得答案【解答】解：a3，b4，c3，8，当3c4时，角B为最大角，此时三角形为锐角三角形；当c4时，角C为最大角，由cosC0，可得25c20，即c5或c5当c（5，7）时，ABC构成钝角三角形，则使ABC构成钝角三角形的概率为故选：C【点评】本题考查几何概型，考查三角形的边角关系，是基础题11（5分）在图中求100个数中的最大数的算法程序框图中那么在和两个空白框中，可以分别填入（）Ai100和baiBi100和baiCi100和baiDi100和bai【分析】由于该程序的作用是求100个数中的最大数，因此在程序中要比较数与数的大小，第一个处理框是判断更换最大值b的，第二个判断
18、框一定是判断是否继续循环【解答】解：由于该程序的作用是求100个数中的最大数，因此在程序中要比较数与数的大小，第一个处理框是判断更换最大值b的，即bai第二个判断框一定是判断是否继续循环，即i100，故选：A【点评】本题主要考查了选择结构的程序框图的应用，算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视，程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出，属于基础题12（5分）已知数列an的前n项和为Sn，且a11，Snan+11，则bnlog4an，Tn为数列bn的前n项和，则T100（）A4950B99log46+4851C5050
19、D99log46+4950【分析】由n1求得a26，将n换为n1，作差，运用等比数列的通项公式可得an64n2，n2，再取对数，结合等差数列的求和公式，计算可得所求和【解答】解：a11，Snan+11，a1a21，可得a26，可得n2时，Sn1an1，又Snan+11，两式相减可得anSnSn1an+11an+1，即有an+14an，则an64n2，n2，bnlog4an，T1000+99（log462）+99（2+100）4851+99log46故选：B【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列和等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4
20、个小题，每小题5分，共20分13（5分）在正项等比数列an中，a1+a34，a3+a516，则公比q2【分析】根据等比数列的通项公式可得4q216，即可求出【解答】解：a1+a34，a3+a5a1q2+a3q24q216，q2或q2，正项等比数列an，q2，故答案为：2【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题14（5分）在ABC中，A30，AC2，BC2，则AB2或4【分析】在ABC中，由条件利用余弦定理求得AB的值【解答】解：在ABC中，A30，AC2，BC2，由余弦定理可得BC2AB2+AC22ABACcos30，即4AB2+124AB，求得AB2 或AB4，故答案为：2或4【点评
21、】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题15（5分）设变量x，y满足约束条件，若使目标函数zax+y取得最大值的最优解有无穷多个，则a的取值是1【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用zax+y取得最大值的最优解有无穷多个，得到目标函数的对应的直线和不等式对应的边界的直线的斜率相同，解方程即可得到结论【解答】解：不等式对应的平面区域如图：由zax+y得yax+z，若a0时，直线yax+zz，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件若a0，则直线yax+z截距取得最大值时，z取得最大值，此时满足直线yax+z与yx平行，此时a1，解得a1若a0，则直线yax+z截距取得最大值时，z取得最大值，
22、此时满足直线yax+z与yx+3平行，此时a1，解得a1综上满足条件的a1或a1，故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合zax+y取得最大值的最优解有无穷多个，利用结合数形结合是解决本题的根据16（5分）读如图用二分法求方程x220的近似根的算法框图则输出的n5【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得0.1，a1，b2，n1m1.5，令f（x）x22，则f（1）f（1.5）0，b1.5，n2m1.25，则f（1）f（1.25）0，a1
23、.25，n3m1.375，则f（1.25）f（1.375）0，a1.375，n4m1.4375，则f（1.375）f（1.4375）0，b1.4375，n5此时，|ba|0.0625，退出循环，输出n的值为5故答案为：5【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）在一个箱子中装有6木书，其中3本数学书（记为a1，a2，a3），2本物理书（记为b1，b2）和1本化学书（记为c），现从中任取2本，（1）写出所有基本事件；（2）求下列事件的概率；（i）恰有
24、一本数学书；（ii）没有化学书【分析】（1）不重不漏的列举基本事件即可，（2）分别根据古典概率公式计算即可【解答】解：（1）基本事件为a1a2，a1a3，a1b1，a1b2，a1c，a2a3，a2b1，a2b2，a2c，a3b1，a3b2，a3c，b1b2，b1c，b2c，（2）（i）恰有一本数学书的基本事件为a1b1，a1b2，a1c，a2b1，a2b2，a2c，a3b1，a3b2，a3c共9种，故恰有一本数学书的概率为，（ii）没有化学书的基本事件有a1a2，a1a3，a1b1，a1b2，a2a3，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，b1b2共10种，故没有化学书的概率为【点评】本题考
25、查了古典概率的问题，关键是列举，属于基础题18（12分）记Sn为等差数列an的前n项和，已知S39，a47（1）求数列an的通项公式；（2）设bn，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）等差数列an的公差设为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，可得首项和公差的方程组，解方程即可得到所求通项公式；（2）求得bn（），数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理可得所求和【解答】解：（1）等差数列an的公差设为d，S39，a47，可得3a1+3d9，a1+3d7，解得a11，d2，则ana1+（n1）d1+2（n1）2n1；（2）bn（），可得前n项和Tn（1+）（1）【点评】本题考查等差数列的通项公
26、式和求和公式的运用，数列的求和方法：裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题19（12分）ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列（1）若1，求ABC的面积；（2）若6cosAa2，且b，求角A【分析】（1）由题意求出B，再根据平面向量的数量积和三角形面积公式求面积的值；（2）由正弦定理求得a2sinA，代入6cosAa2求出cosA的值，即可得出A的值【解答】解：ABC中中，角A，B，C成等差数列，2BA+C，又A+B+C，B；（1）由1，得accosBaccos1，ac2；ABC的面积为：SABCacsinB2sin；（2）由正弦定理得，2，a2sinA
27、，6cosAa24sin2A4（1cos2A），整理得2cos2A+3cosA20，解得cosA或cosA2（不合题意，舍去），又A（0，），A【点评】本题考查了平面向量的数量积与解三角形的应用问题，是中档题20（12分）n2（n4）个正数排成n行n列，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，记第i行第j列的数为aij，已知a23，a42，a43（1）求aij；（2）求a11+a22+a33+ann的值【分析】（1）设每列的公比为q，则a43a23q2，q0，解得q可得a12设第i行的公差为di，可得d4a43a42，a41利用a41，解得a11再利用等差数列与等比数
28、列的通项公式即可得出（2）由（1）可得：aii利用错位相减法即可得出【解答】解：（1）设每列的公比为q，则a43a23q2，可得q2，q0，解得qa122设第i行的公差为di，则d4a43a42，a41a41，即，解得a111d1211a1i1+（i1）1iaiji（2）由（1）可得：aiiSna11+a22+a33+ann1+n，+（n1）+n，+nn，可得：Sn4【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21（12分）高中某试验班在期中考试中数学成绩如下：学号123456789101112成绩11211865891081029
29、4999410910172学号131415161718192021222324成绩11110092911028111187911186799学号25262728293031323334成绩91103125108731041049798116经计算得xi98，s14.0，10.0，341，其中xi是学号为i同学的成绩，1，2，3，4，34（1）求成绩x与学号i（1，2，34）之间的相关系数r，并回答成绩与学号的相关性强弱（若|r|0.75，1），则相关性很强：若|r|0.3，0.75），则相关性一般；若|r|0.25，则相关性弱）（2）统计学表明：如果某个同学的考试成绩xi2s，则该同学在此门功
30、课的学习上存在困难，我们称之为“学困生”（i）请问该班有几位数学“学困生”？并求在该班随机抽取一名同学，没有抽到数学“学困生”的概率；（ii）如果剔除数学“学困生”的成绩，那么请计算该班同学这次考试成绩的均分和方差附：样本（xi，yi）（i1，2，n）的相关系数：r，652+6728714，142+9829800【分析】（1）利用r即可得出（2）（i）由xi2s9821470，可得：该班有两位数学“学困生”，利用相互对立事件概率计算公式可得：在该班随机抽取一名同学，没有抽到数学“学困生”的概率（ii）如果剔除数学“学困生”的成绩，那么请计算该班同学这次考试成绩的均分100.14234+3498
31、2即可得出321002（652+672）321002【解答】解：（1）r0.07（2）（i）由xi2s9821470，可得：该班有两位数学“学困生”，在该班随机抽取一名同学，没有抽到数学“学困生”的概率1（ii）如果剔除数学“学困生”的成绩，那么请计算该班同学这次考试成绩的均分10014234+34982321002（652+672）32100214234+34982（652+672）321002349800871432100004486方差【点评】本题考查了相互独立概率计算公式、相关系数、相互对立事件概率计算公式、平均数与方差的计算公式考查了推理能力与计算能力，属于中档题22（12分）已知f
32、（x）ax2+bx+1，且f（x）0的解集为A（1）若A（1，2），求a，b；（2）若ba+1，求A；（3）若a1时，（1，2）A，求b的取值范围【分析】（1）已知一元二次不等式的解集，等于已知一元二次方程的根由根与系数关系可求得amb；（2）先按照a0，a0，a0三种情况讨论，在a0中再按照两根1和的大小分三种情况讨论即可（3）将子集问题转化为不等式恒成立，再转化为最值问题，最后用导数方法判断单调性，利用单调性可求出最值【解答】解：（1）当A（1，2）时，由ax2+bx+10的解集为（1，2），得ax2+bx+10的两根分别为1和2，由根与系数关系得：1+2，12，解得：a，b故a，b（2）
33、当ba+1时，由f（x）ax2+（a+1）x+10 得：（ax+1）（x+1）0，当a0时，得x1；当a0时，得：（x+）（x+1）0，得1x；当a0时，得：（x+）（x+1）0，当，即 a1时，得x或x1；当，即a1时，得x1；当，即 0a1时，得x1或x综上所述：当a0时，A（1，）； 当a0时，A（1，+）； 当0a1时，A（1，+）； 当a1时，A（，1）（1，+） 当a1时，A（，1）（，+）（3）当a1时，（1，2）A 等价于x2+bx+10在（1，2）上恒成立，等价于b（x+在（1，2）上恒成立，令g（x）（x+），x（1，2），则bg（x）max又由g（x）（x+）知：g（x）1+0，g（x）在（1，2）上是减函数，g（x）g（1）2故b2即b的取值范围是2，+）【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，分类讨论思想，恒成立问题，导数判断单调性属难题