1、2018-2019学年广东省梅州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合Ax|x24x+30，Bx|1x3，则（）AABBABCABDAB2（5分）sin45sin75+sin45sin15（）A0BCD13（5分）如果ab0，那么下列不等式成立的是（）ABabb2Cac2bc2Da2abb24（5分）某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图根据折线图，下列结论正确的是（）A月
2、跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B月跑步平均里程逐月增加C月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳5（5分）已知tan，则cos2（）ABCD6（5分）数列an为等比数列，若a11，a78a4，数列的前n项和为Sn，则S5（）ABC7D317（5分）某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则下列结论错误的是（）Ax8B甲得分的方差是736C乙得分的中位数和众数都为26D乙得分的方差小于甲得分的方差8（5分）已知a，b是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命
3、题正确的是（）A若a，ab，则baB若a，a，则C若，则D若a，b，则ab9（5分）如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M、N分别是BD和AE的中点，那么：ADMN：MN平面CDE；MNCE；MN、CE异面其中不正确的序号是（）ABCD10（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1D与BD1所成角的正弦值等于（）ABCD111（5分）已知a0，b0，且a+b+5，则a+b的取值范围是（）A1，4B2，+）C（2，4）D（4，+）12（5分）设定义域为R的奇函数f（x）是增函数，若f（cos22m）+f（2msin2）0对R恒成立，则实数m的取值范围是（）A（
4、1，+）B1，+）C（，+）D，+）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）不等式0的解集是 14（5分）设Sn是等差数列an的前n项和，若a1+a3+a53，则S5 15（5分）从甲、乙、丙、丁四个学生中任选两人到一个单位实习，余下的两人到另一单位实习，则甲、乙两人不在同一单位实习的概率为 16（5分）如图，四棱锥PABCD中，所有棱长均为2，O是底面正方形ABCD中心，E为PC中点，则直线OE与直线PD所成角的余弦值为 三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）单调递增的等差数列an满足a11，且a1，a2+1，2a3+3
5、成等比数列（）求数列an的通项公式；（）设bn，求数列bn的前n项和Sn18（12分）2019年4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，按阅读时间分组：第一组0，5），第二组5，10），第三组10，15），第四组15，20），第五组20，25，绘制了频率分布直方图如下图所示已知第三组的频数是第五组频数的3倍（1）求a的值，并根据频率分布直方图估计该校学生一周课外阅读时间的平均值；（2）现从第三、四、五这3组中用分层抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”经过比赛后，从这6人中随机挑选2人组成该校
6、代表队，求这2人来自不同组别的概率19（12分）在ABC中，已知，其中角A、B、C所对的边分别为a、b、c求（1）求角A的大小；（2）若，ABC的面积为，求sinB+sinC的值20（12分）在“新零售“模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S市A区开设分店，为了确定在该区设分店的个数，该公司对该市开设分店的其他区的数据做了初步处理后得到下列表格，记x表示在各区开设分店的个数，y表示这x个分店的年收入之和x（个）23456y（百万元）2.5344.56（1）该公哥已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；（2）假设该公司在A区获得的总年利润z（单位
7、：百万元）与x，y之间的关系为zy005x21.4，请结合（1）中的线性回归方程，估算该公司在A区开设多少个分店时，才能使A区平均每个分店的年利润最大？参考公式：回直线方程为：，其中21（12分）如图，ABCD是菱形，对角线AC与BD的交点为O，四边形DCEF为梯形，EFDC，FDFB（1）若DC2EF，求证：OE平面ADF；（2）求证：平面AFC平面ABCD；（3）若ABFB2，AF3，BCD60，求直线AF与平面ABCD所成角的余弦值22（12分）已知数列an的前项和，函数f（x）对任意的xR都有f（x）+f（1x）1，数列bn满足bnf（0）+f（）+f（）+f（）+f（1）（1）分别求
8、数列an、bn的通项公式；（2）若数列cn满足cnanbn，Tn是数列cn的前项和，是否存在正实数k，使不等式k（n29n+26）Tn4ncn对于一切的nN*恒成立？若存在请指出k的取值范围，并证明；若不存在请说明理由2018-2019学年广东省梅州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合Ax|x24x+30，Bx|1x3，则（）AABBABCABDAB【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出AB【解答】解：集合Ax|x24x+30x|1x3，Bx|1x3，AB故选：C【点
9、评】本题考查两个集合的关系的判断，考查集合与集合间的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2（5分）sin45sin75+sin45sin15（）A0BCD1【分析】应用诱导公式、两角和的正弦公式化简三角函数式为sin60，从而得出结论【解答】解：sin45sin75+sin45sin15sin45cos15+cos45sin15sin（45+15）sin60，故选：C【点评】本题主要考查应用诱导公式、两角和的正弦公式化简三角函数式，属于基础题3（5分）如果ab0，那么下列不等式成立的是（）ABabb2Cac2bc2Da2abb2【分析】结合已知中ab0，及不等式的基本
10、性质，逐一分析四个答案的正误，可得结论【解答】解：ab0，ab0，即，故A错误；abb2，故B错误；当c0时，ac2bc2，故C错误；a2abb2，故D正确；故选：D【点评】本题是不等式基本性质的综合应用，熟练掌握不等式的基本性质，是解答的关键4（5分）某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图根据折线图，下列结论正确的是（）A月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B月跑步平均里程逐月增加C月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性
11、更小，变化比较平稳【分析】月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程2月、7月、8月和11月减少；月跑步平均里程高峰期大致在9、10月；1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳【解答】解：由2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制的折线图，知：在A中，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数，故A错误；在B中，月跑步平均里程2月、7月、8月和11月减少，故B错误；在C中，月跑步平均里程高峰期大致在9、10月，故C错误；在D中，1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，故
12、D正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题5（5分）已知tan，则cos2（）ABCD【分析】由条件利用二倍角的余弦公式，求得要求式子的值【解答】解：cos2cos2sin2，故选：A【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题6（5分）数列an为等比数列，若a11，a78a4，数列的前n项和为Sn，则S5（）ABC7D31【分析】利用等比数列通项公式求出公比q2，从而an2n1，由此能求出数列的前n项和【解答】解：数列an为等比数列，a11，a78a4，q68q3，解得q2，an2n
13、1，数列的前n项和为Sn，S51+故选：A【点评】本题考查等比数列的前5项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7（5分）某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则下列结论错误的是（）Ax8B甲得分的方差是736C乙得分的中位数和众数都为26D乙得分的方差小于甲得分的方差【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，甲得分的极差为32，30+x632，解得：x8，A正确，对于B，甲的平均数为（6+14+28+34+38）24，计算甲成绩的方差为：s2（624）2
14、+（1424）2+（2824）2+（3424）2+（3824）2，B错误；对于C，乙的数据为：12、25、26、26、31，其中位数、众数都是26，C正确，对于D，乙得分比较集中，则乙得分的方差小于甲得分的方差，D正确；故选：B【点评】本题考查茎叶图的应用，涉及数据极差、平均数、中位数、众数及方差的计算，属于基础题8（5分）已知a，b是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A若a，ab，则baB若a，a，则C若，则D若a，b，则ab【分析】在A中，ba或b；在B中，与相交或平行；在C中，与相交或平行；在D中，由线面垂直的性质定理得ab【解答】解：由a，b是两条不同的直线，是三
15、个不同的平面，知：在A中，若a，ab，则ba或b，故A错误；在B中，若a，a，则与相交或平行，故B错误；在C中，若，则与相交或平行，故C错误；在D中，若a、b，则由线面垂直的性质定理得ab，故D正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题9（5分）如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M、N分别是BD和AE的中点，那么：ADMN：MN平面CDE；MNCE；MN、CE异面其中不正确的序号是（）ABCD【分析】取AD的中点K，连接MK，NK，连接AC，CE，由线面垂直的判定和性质可判断；由三角形的中位线定理，以
16、及线面平行的判定定理可判断【解答】解：取AD的中点K，连接MK，NK，连接AC，CE，正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，M、N分别是BD和AE的中点，可得ADMK，ADNK，AD平面MNK，可得ADMN，故正确；由MN为ACE的中位线，可得MNCE，且MN平面CDE，可得MN平面CDE，故正确，错误故选：D【点评】本题考查空间线线和线面的位置关系，考查转化思想和数形结合思想，属于基础题10（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1D与BD1所成角的正弦值等于（）ABCD1【分析】由线面垂直的判定定理得：A1DAD1，又A1DAB，所以A1D面ABD1，由线面垂直的性质
17、定理得：A1DBD1，得解【解答】解：连接AD1，因为四边形AA1D1D为正方形，所以A1DAD1，又A1DAB，所以A1D面ABD1，所以A1DBD1，即异面直线A1D与BD1所成角的正弦值等于1，故选：D【点评】本题考查了线面垂直的判定定理及性质定理，属中档题11（5分）已知a0，b0，且a+b+5，则a+b的取值范围是（）A1，4B2，+）C（2，4）D（4，+）【分析】a，bR+，由ab，可得又，可得（a+b）5（a+b），化简整理即可得出【解答】解：a，bR+，ab，可得，（a+b）5（a+b），化为：（a+b）25（a+b）+40，解得1a+b4，则a+b的取值范围是1，4故选：A
18、【点评】本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）设定义域为R的奇函数f（x）是增函数，若f（cos22m）+f（2msin2）0对R恒成立，则实数m的取值范围是（）A（1，+）B1，+）C（，+）D，+）【分析】由题意可得f（cos22m）f（2msin2）f（22msin），即为cos22m22msin，可得2m（1sin）cos22恒成立，讨论1sin是否为0，结合换元法和基本不等式，可得所求范围【解答】解：定义域为R的奇函数f（x）是增函数，若f（cos22m）+f（2msin2）0对R恒成立，可得f（cos22m）f（2msin
19、2）f（22msin），即为cos22m22msin，可得2m（1sin）cos22恒成立，sin1时，上式显然成立；由1sin1，可得2m，设g（），t1sin，可得g（）t+2，由0t2，可得t+22+222，可得2m22，即m1，故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和换元法，考查化简运算能力，属于中档题二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）不等式0的解集是x|x1或x3【分析】0等价于（x1）（x+3）0且x+30，然后解一元二次不等式可得解集【解答】解：0，（x1）（x+3）0且x+30，x1或x3，不等式
20、的解集为x|x1或x3故答案为：x|x1或x3【点评】本题考查了分式不等式的解法，关键是将分式不等式转化为其等价形式，属基础题14（5分）设Sn是等差数列an的前n项和，若a1+a3+a53，则S55【分析】由已知结合等差数列的性质求得a31，代入等差数列的前n项和得答案【解答】解：在等差数列an中，由a1+a3+a53，得3a33，a31，则故答案为：5【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，训练了等差数列前n项和的求法，是基础的计算题15（5分）从甲、乙、丙、丁四个学生中任选两人到一个单位实习，余下的两人到另一单位实习，则甲、乙两人不在同一单位实习的概率为【分析】求得从甲、
21、乙、丙、丁四个学生中任选两人的总数和甲、乙两人不在同一单位实习的方法数，由古典概率公式可得所求值【解答】解：从甲、乙、丙、丁四个学生中任选两人的方法数为6种，甲、乙两人不在同一单位实习的方法数为4种，则甲、乙两人不在同一单位实习的概率为故答案为：【点评】本题考查古典概率的求法，考查运算能力，属于基础题16（5分）如图，四棱锥PABCD中，所有棱长均为2，O是底面正方形ABCD中心，E为PC中点，则直线OE与直线PD所成角的余弦值为【分析】以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线OE与直线PD所成角的余弦值【解答】解：四棱锥PABCD中，所有棱长均
22、为2，O是底面正方形ABCD中心，E为PC中点，ACBD，PO平面ABCD，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），C（，0，0），P（0，0，），E（，0，），D（0，0），（，0，），（，），设直线OE与直线PD所成角为，则cos，直线OE与直线PD所成角的余弦值为故答案为：【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）单调递增的等差数列an满足a11，且a1，a2+1，2a3+3成等比数列（）求
23、数列an的通项公式；（）设bn，求数列bn的前n项和Sn【分析】（）设等差数列的公差为d，d0，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得公差d，进而得到所求通项公式；（）求得bn，再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和【解答】解：（）设等差数列的公差为d，d0，可得a2+12+d，2a3+35+4d，由a1，a2+1，2a3+3成等比数列（d+2）24d+5，解得d1或（1舍去），则an1+n1n：（）bn，则前n项和Sn1+1【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题18（12分）2019年4月23日
24、“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，按阅读时间分组：第一组0，5），第二组5，10），第三组10，15），第四组15，20），第五组20，25，绘制了频率分布直方图如下图所示已知第三组的频数是第五组频数的3倍（1）求a的值，并根据频率分布直方图估计该校学生一周课外阅读时间的平均值；（2）现从第三、四、五这3组中用分层抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”经过比赛后，从这6人中随机挑选2人组成该校代表队，求这2人来自不同组别的概率【分析】（1）由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和，第三组的频率
25、，由此能求出a和该样本数据的平均数，从而可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值（2）从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1，设为A，B，C，D，E，F，利用列举法能求出从该6人中选拔2人，这2人来自不同组别的概率【解答】（本大题满分12分）解：（1）由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和为：1（0.01+0.07+0.04）50.4（1分）第三组的频率为（2分）（3分）该样本数据的平均数为：（4分）12.25（5分）所以可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值为12.25小时（6分）（2）从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1，（7分）设为A，B，C，D，E，F，则从该6人中选拔2
26、人的基本事件有15种，分别为：AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF（8分）其中来自不同的组别的基本事件有11种，分别为：（9分）AD，AE，AF，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DF，EF，（11分）这2人来自不同组别的概率为P（12分）【点评】本题考查平均数、概率的求法，考查古典概型、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19（12分）在ABC中，已知，其中角A、B、C所对的边分别为a、b、c求（1）求角A的大小；（2）若，ABC的面积为，求sinB+sinC的值【分析】（1）由正弦定理，得，从而，由此能求出角A（2）由，
27、得bc2，由及余弦定理得，由此能求出sinB+sinC的值【解答】解：（1）在ABC中，由正弦定理，得，sinC0，即，而A（0，），则 （6分）（2）由，得bc2，由及余弦定理得，即，所以（12分）【点评】本题考查角的大小、两角正弦值的和的求法，考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角函数恒等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题20（12分）在“新零售“模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S市A区开设分店，为了确定在该区设分店的个数，该公司对该市开设分店的其他区的数据做了初步处理后得到下列表格，记x表示在各区开设分店的个
28、数，y表示这x个分店的年收入之和x（个）23456y（百万元）2.5344.56（1）该公哥已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；（2）假设该公司在A区获得的总年利润z（单位：百万元）与x，y之间的关系为zy005x21.4，请结合（1）中的线性回归方程，估算该公司在A区开设多少个分店时，才能使A区平均每个分店的年利润最大？参考公式：回直线方程为：，其中【分析】（）求出回归系数，可得y关于x的线性回归方程；（）求出A区平均每个分店的年利润，利用基本不等式，可得结论【解答】解：（）4，4，0.85，a440.850.6，y关于x的线性回归方程y0.85x+0
29、.6（）zy0.05x21.40.05x2+0.85x0.8，A区平均每个分店的年利润t0.05x+0.850.01（5x+）+0.85，x4时，t取得最大值，故该公司应在A区开设4个分店时，才能使A区平均每个分店的年利润最大【点评】本题考查回归方程，考查基本不等式的运用，正确求出回归方程是关键21（12分）如图，ABCD是菱形，对角线AC与BD的交点为O，四边形DCEF为梯形，EFDC，FDFB（1）若DC2EF，求证：OE平面ADF；（2）求证：平面AFC平面ABCD；（3）若ABFB2，AF3，BCD60，求直线AF与平面ABCD所成角的余弦值【分析】（1）取AD的中点G，连接OG，FG
30、从而可得OGEF为平行四边形，即可证明OE平面ADF（2）只需证明BD平面AFC即可证明平面AFC平面ABCD（3）作FHAC于H，则FAH为AF与平面ABCD所成角在AOF中，由余弦定理得cosFAHcos即可【解答】（1）证明：取AD的中点G，连接OG，FG因为O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，所以OGDC，且OGDC又因为EFDC，且DC2EF，所以OGEF，且OGEF，从而OGEF为平行四边形，所以OEFG又FG平面ADF，OE平面ADF，OE平面ADF（2）因为四边形ABCD为菱形，所以OCBD，因为FDFB，O是DB的中点，所以OFBD，又OFOCO，所以BD平面AFC又D
31、B平面ABCD，所以平面AFC平面ABCD （3）作FHAC于H，因为平面AFC平面ABCD，所以FH平面ABCD则FAH为AF与平面ABCD所成角由BCD60及四边形ABCD为菱形，得BCD为正三角形，则QA，BDAB2，FDFB2，所以FBD为正三角形，从而OF，在AOF中，由余弦定理，得cosFAHcos所以AF与平面ABCD所成角的余弦值为【点评】本题考查了空间线面位置关系、线面角的计算，属于中档题22（12分）已知数列an的前项和，函数f（x）对任意的xR都有f（x）+f（1x）1，数列bn满足bnf（0）+f（）+f（）+f（）+f（1）（1）分别求数列an、bn的通项公式；（2）
32、若数列cn满足cnanbn，Tn是数列cn的前项和，是否存在正实数k，使不等式k（n29n+26）Tn4ncn对于一切的nN*恒成立？若存在请指出k的取值范围，并证明；若不存在请说明理由【分析】（1）由，利用公式，能求出数列an的通项公式由f（x）+f（1x）1，bnf（0）+f（）+f（）+f（）+f（1），利用倒序相加求和法能求出bn的通项公式（2）由cnanbn，结合（1）得到，利用错位相减法求出数列cn的前项和Tn，要使得不等式k（n29n+26）Tn4ncn恒成立，只需对于一切的nN*恒成立，由此能求出k的取值范围【解答】解：（1），（1分），n1时满足上式，（2分）f（x）+f（1x）1，（3分）bnf（0）+f（）+f（）+f（）+f（1），+f（1）+f（0），+，得（5分）（2）cnanbn，（6分），2Tn222+323+424+（n+1）2n+1，得（8分）即（9分）要使得不等式k（n29n+26）Tn4ncn恒成立，（n29n+26）Tn0恒成立，对于一切的nN*恒成立，即（11分）令，则当且仅当n5时等号成立，g（n）max2（13分）所以k2为所求（14分）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的正实数是否存在，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件