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2018-2019学年广东省广州市荔湾区高一(下)期末数学试卷(含详细解答)

1、一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1(5分)关于x的不等式0的解集为()A0,2B(0,2C(,0)2,+)D(,0)(2,+)2(5分)在ABC中,a、b、c满足a2+b2+c2ab+bc+ac,则ABC一定是()A等边三角形B直角三角形C锐角三角形D钝角三角形3(5分)设Sn是等差数列an的前n项和,若,则()ABCD4(5分)若直线l1:ax+2y80与直线l2:x+(a+1)y+40平行,则a的值为()A1B1或2C2D1或25(5分)如图,在ABC中,BAC90,AD是BC边上的高,PA平面ABC,则图中直角三角形的个

2、数是()A5B6C8D106(5分)角的终边在直线y2x上,则()AB1C3D17(5分)已知三棱锥OABC,侧棱OA,OB,OC两两互相垂直,且OAOBOC2,则以O为球心且1为半径的球与三棱锥OABC重叠部分的体积是()ABCD8(5分)已知A、B、C是圆O:x2+y24上的三点,+,()A6B6C6D69(5分)如图,将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折成大小等于的二面角B'ACD,M,N分别为AC,B'D的中点,若,则线段MN长度的取值范围为()A,B,C,D1,10(5分)已知圆x2+y2+2x6y+5a0关于直线yx+b成轴对称图形,则ba的取值范围()A(0,

3、8)B(,8)C(,16)D(0,16)11(5分)已知函数f(x)()xlog2x,正实数a,b,c是公差为正数的等差数列,且满足f(a)f(b)f(c)0若实数d是方程f(x)0的一个解,那么下列四个判断:da;db;dc;dc中一定不成立的是()ABCD12(5分)已知实数x,y满足(x2)2+(y5)24,则的最大值为()ABCD二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13(5分)在等比数列an中,已知a1+a2+a31,a2+a3+a42,则a8+a9+a10   14(5分)正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CC1的中点,则AE、BF所成的角

4、的余弦值是   15(5分)已知P为直线l:x+3y120上一点,过P作圆C:(x2)2+y21的切线,则切线长最短时的切线方程为   16(5分)下列说法中:若x,y0,满足x+y2,则2x+2y的最大值为4;若x,则函数y2x+的最小值为3;若x,y0,满足x+y+xy3,则x+y的最小值为2;函数y+的最小值为9正确的有   (把你认为正确的序号全部写上)三、解答题:本大题共6小题,共70分.17(10分)设数列an的前n项和为Sn,若a12且SnSn1+2n(n2,nN*)()求Sn;()若数列bn满足,求数列bn的前n项和Tn18(12分)设锐角三角形A

5、BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2bsinA()求B的大小;()若b6,求a+c的取值范围19(12分)已知四棱锥SABCD的底面ABCD是菱形,ABC,SA底面ABCD,E是SC上的任意一点(1)求证:平面EBD平面SAC;(2)设SAAB2,求点A到平面SBD的距离;(3)在(2)的条件下,若BESC,求BE与平面SAC所成角20(12分)新余到吉安相距120千米,汽车从新余匀速行驶到吉安,速度不超过120km/h,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分两部分组成:可变部分与速度v(km/h)的平方成正比,比例系数为b,固定部分为a元,(1)把全程运输成本y

6、(元)表示为速度v(km/h)的函数;并求出当a50,b时,汽车应以多大速度行驶,才能使得全程运输成本最小;(2)随着汽车的折旧,运输成本会发生一些变化,那么当a,b,此时汽车的速度应调整为多大,才会使得运输成本最小21(12分)已知函数f(x)ax2(a+1)x+1,aR(1)当a0时,求函数y的定义域;(2)若存在m0使关于x的方程f(|x|)m+有四个不同的实根,求实数a的取值范围22(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知以点C(a1,a2)(a0)为圆心的圆过原点O,不过圆心C的直线2x+y+m0(mR)与圆C交于M,N两点,且点F(,)为线段MN的中点()求m的值和圆C的方程;()

7、若Q是直线y2上的动点,直线QA,QB分别切圆C于A,B两点,求证:直线AB恒过定点;()若过点P(0,t)(0t1)的直线L与圆C交于D,E两点,对于每一个确定的t,当CDE的面积最大时,记直线l的斜率的平方为u,试用含t的代数式表示u2018-2019学年广东省实验中学高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1(5分)关于x的不等式0的解集为()A0,2B(0,2C(,0)2,+)D(,0)(2,+)【分析】可将原不等式变成,从而解出该分式不等式即可【解答】解:由原不等式得,;解得0x2;原

8、不等式的解集为(0,2故选:B【点评】考查分式不等式的解法2(5分)在ABC中,a、b、c满足a2+b2+c2ab+bc+ac,则ABC一定是()A等边三角形B直角三角形C锐角三角形D钝角三角形【分析】把已知等式整理成完全平方式,确定abc,进而推断三角形的形状【解答】解:a2+b2+c2ab+bc+ac,等式两边同乘以2,得2a2+2b2+2c22ab+2bc+2ac,整理得(ac)2+(bc)2+(ab)20,abc,故选:A【点评】本题主要考查了解三角形问题解题的关键是利用平方关系,进行配方,确定a,b和c的关系3(5分)设Sn是等差数列an的前n项和,若,则()ABCD【分析】由题意结

9、合等差数列的性质可得S4,S8S4,S12S8,S16S12是以S4为首项,以3S4为公差的等差数列,求得S85S4,S1622S4,则答案可求【解答】解:在等差数列an中,S4,S8S4,S12S8,S16S12成等差数列,又,则S4,S8S4,S12S8,S16S12是以S4为首项,以3S4为公差的等差数列,则S85S4,S1622S4,故选:D【点评】本题考查等差数列的前n项和,考查等差数列的性质,是基础题4(5分)若直线l1:ax+2y80与直线l2:x+(a+1)y+40平行,则a的值为()A1B1或2C2D1或2【分析】通过直线的斜率相等,截距不相等,判断直线平行,求出a的值【解答

10、】解;直线l1:ax+2y80,它的斜率为,斜率存在,两条直线平行则直线l2:x+(a+1)y+40的斜率为所以解得a1,或a2当a2时两条直线重合,舍去,所以a1时两条直线平行故选:A【点评】此题为中档题,要求学生会利用代数的方法研究图象的位置关系,做此题时要注意直线的斜率是否存在,分情况讨论得到所求的范围5(5分)如图,在ABC中,BAC90,AD是BC边上的高,PA平面ABC,则图中直角三角形的个数是()A5B6C8D10【分析】由PA平面ABC,得出PAB、PAD、PAC是直角三角形;由BAC90,得出ABC是直角三角形;由ADBC,得出ABD,ACD是直角三角形;由BC平面PAD,得

11、出PBD,PCD是直角三角形【解答】解:PA平面ABC,PAAB,PAAC,PAB,PAD,PAC都是直角三角形;BAC90,ABC是直角三角形;ADBC,ABD,ACD是直角三角形;由PABC,ADBC,得BC平面PAD,BCPD,PBD,PCD是直角三角形;综上知,直角三角形的个数为8个故选:C【点评】本题考查了空间中垂直关系判断与应用问题,是基础题6(5分)角的终边在直线y2x上,则()AB1C3D1【分析】由已知求得tan,再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解【解答】解:角的终边在直线y2x上,tan2故选:C【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的

12、应用,是基础题7(5分)已知三棱锥OABC,侧棱OA,OB,OC两两互相垂直,且OAOBOC2,则以O为球心且1为半径的球与三棱锥OABC重叠部分的体积是()ABCD【分析】由题意画出图形,可得以O为球心且1为半径的球与三棱锥OABC重叠部分为球的,然后结合球的体积公式求解【解答】解:三棱锥OABC的侧棱OA,OB,OC两两互相垂直,且OAOBOC2,以O为球心且1为半径的球与三棱锥OABC重叠部分为球的,即对应的体积V故选:B【点评】本题考查空间几何体体积的求法,考查空间想象能力与思维能力,是中档题8(5分)已知A、B、C是圆O:x2+y24上的三点,+,()A6B6C6D6【分析】由+两边

13、同时平方,结合已知可求AOB,进而可求OAB,代入向量的数量积的定义即可求解【解答】解:由于A、B、C是圆O:x2+y24上的三点,+,两边同时平方可得,OAOBOC2,cosAOB,AOB120,OAB30,2,|cos3026故选:A【点评】本题主要考查了平面向量的数量积的定义及运算性质的简单应用,属于基础试题9(5分)如图,将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折成大小等于的二面角B'ACD,M,N分别为AC,B'D的中点,若,则线段MN长度的取值范围为()A,B,C,D1,【分析】连结BM,DM,得ACBM,ACDM,从而DMB是二面角BACD的平面角,且BMDM,由此

14、能求出线段MN长度的取值范围【解答】解:连结BM,DM,得ACBM,ACDM,DMB是二面角BACD的平面角,且BMDM,在等腰DMB中,MNBD,且DMN,则MNDMcos,线段MN长度的取值范围为,故选:A【点评】本题考查线段长度的取值范围的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题10(5分)已知圆x2+y2+2x6y+5a0关于直线yx+b成轴对称图形,则ba的取值范围()A(0,8)B(,8)C(,16)D(0,16)【分析】根据圆关于直线成轴对称图形得b4,根据二元二次方程表示圆得a2,再根据指数函数的单调性得4a的取值范围【解答】解:圆x2

15、+y2+2x6y+5a0关于直线yx+b成轴对称图形,圆心(1,3)在直线yx+b上,31+b,解得b4又圆的半径r0,a2,ba4a(0,16)故选:D【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,属中档题11(5分)已知函数f(x)()xlog2x,正实数a,b,c是公差为正数的等差数列,且满足f(a)f(b)f(c)0若实数d是方程f(x)0的一个解,那么下列四个判断:da;db;dc;dc中一定不成立的是()ABCD【分析】根据所给条件即可得出f(x)在(0,+)上单调递减,并且得出abc,f(d)0,再根据f(a)f(b)f(c)0,从而可看出存在两种情况:f(a),f(b)0,f(c)0和

16、f(a),f(b),f(c)0,这样即可得出a,b,c,d的大小关系,从而得出一定不成立的是【解答】解:根据条件知,abc,f(x)在(0,+)上单调递减,且f(a)f(b)f(c)0,f(d)0;当f(a),f(b)0,f(c)0时,f(d)0,则abdc,成立;当f(a),f(b),f(c)0时,f(d)0,则dabc,成立;综上,一定不成立的是故选:D【点评】考查等差数列的定义,指数函数、对数函数的单调性,以及减函数的定义12(5分)已知实数x,y满足(x2)2+(y5)24,则的最大值为()ABCD【分析】当x0或y1时,原式的值为0;当x0,y1时,原式,可令k,即为直线l:kxy+

17、10,可先求过(0,1)与(x,y)的直线l的斜率的范围考虑直线与圆相切的条件,求得相切的斜率,可得k的范围,再由对勾函数的单调性,可得所求最大值【解答】解:当x0或y1时,0;当x0,y1时,可得,可令k,即为直线l:kxy+10,可先求过(0,1)与(x,y)的直线l的斜率的范围由(x,y)落在圆(x2)2+(y5)24上,若l与圆相切,则2,解得k,又l与圆相切的直线还有x0,可得过(0,1)与(x,y)的直线l的斜率的范围为,+),又+2k,由对勾函数的单调性可得k(0,)递减,(,+)递增,k时,+2k取得最小值,即+的最小值为,则的最大值为故选:B【点评】本题考查代数式的最值求法,

18、运用变形和几何意义,结合直线和圆的位置关系,以及函数的单调性是解题的关键,属于中档题二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13(5分)在等比数列an中,已知a1+a2+a31,a2+a3+a42,则a8+a9+a10128【分析】设等比数列an的公比为q,由a1+a2+a31,a2+a3+a42,可得q(a1+a2+a3)2,解得q可得a8+a9+a10q7(a1+a2+a3)【解答】解:设等比数列an的公比为q,a1+a2+a31,a2+a3+a42,q(a1+a2+a3)2,解得q2则a8+a9+a10q7(a1+a2+a3)271128故答案为:128【点评】本题考查了等比数

19、列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题14(5分)正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CC1的中点,则AE、BF所成的角的余弦值是【分析】先作出异面直线AE、BF所成的角,再在AEG中利用余弦定理即可得解【解答】解:取DD1的中点G,连接AG,则AGBF,则EAG为异面直线AE、BF所成的角,设AB2,则AEAG,EG2,在AEG中,cosEAG,故答案为:【点评】本题考查了异面直线所成角的作法及求法,属中档题15(5分)已知P为直线l:x+3y120上一点,过P作圆C:(x2)2+y21的切线,则切线长最短时的切线方程为x3或4x3y30【分析】根据圆的

20、方程求出圆心坐标和半径,结合切线长最短转化为C到直线l的距离最短,求出P的坐标,结合圆的切线性质,进行求解即可【解答】解:圆心C(2,0),半径R1,过P作圆的切线PA,|PA|,要使切线长PA最短,即CP最短,当CP垂直直线l时,CP最短,l的斜率为k,则CP的斜率k3,则此时CP的方程为y3(x2)3x6,由得,即点P的坐标(3,3),当直线方程为x3时,圆心C到直线的距离为1,所以直线x3与圆C相切,满足条件,当过P的切线斜率存在时,设切线方程为y3k(x3),即kxy+33k0,则圆心C到切线的距离d1,即|k3|,解得k,切线方程为xy+330,即4x3y30,综上,切线长最短时,切

21、线方程为x3或4x3y30故答案为:x3或4x3y30【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,结合切线长最短,确定P的位置,结合直线和圆相切的性质是解决本题的关键16(5分)下列说法中:若x,y0,满足x+y2,则2x+2y的最大值为4;若x,则函数y2x+的最小值为3;若x,y0,满足x+y+xy3,则x+y的最小值为2;函数y+的最小值为9正确的有(把你认为正确的序号全部写上)【分析】运用基本不等式,结合指数的运算性质,可判断;由a,b0,a+b2,可判断;由xy,解不等式可判断;由两角的平方关系和乘“1”法,运用基本不等式可判断【解答】解:对于,若x,y0,满足x+y2,则2x+2

22、y2224,当且仅当xy1时,取得最小值4,故错误;对于,若x,即2x10,则函数y2x+(2x1)+12+11,当且仅当x0,取得最大值1,无最小值,故错误;对于,若x,y0,满足x+y+xy3,由xy,可得3(x+y)+,解得x+y2,当且仅当xy1时,取得等号,即x+y的最小值为2,故正确;对于,函数y+(sin2x+cos2x)(+)5+5+29,当且仅当2sin2xcos2x,取得等号,即有函数的最小值为9,故正确故答案为:【点评】本题考查基本不等式的运用:求最值,考查化简变形能力,属于中档题三、解答题:本大题共6小题,共70分.17(10分)设数列an的前n项和为Sn,若a12且S

23、nSn1+2n(n2,nN*)()求Sn;()若数列bn满足,求数列bn的前n项和Tn【分析】()利用数列的递推关系式推出数列是等差数列,然后求解Sn;()数列bn满足,推出数列bn是等比数列然后求解数列的前n项和Tn【解答】(本小题13分)解:()因为SnSn1+2n(n2,nN*),所以anSnSn12n(n2,nN*)又因为a12,所以an2n(nN*)所以(),所以【点评】本题考查数列的递推关系式以及数列求和的应用,考查计算能力18(12分)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2bsinA()求B的大小;()若b6,求a+c的取值范围【分析】()通过正弦定理,结

24、合角的范围,即可求B的大小;()若b6,利用余弦定理,结合基本能不等式求a+c的取值范围【解答】解:()锐角,SinA0又,;(),b6,即:a2+c2ac36即:(a+c)23ac36(a+c)2144a+c12又a+cb6,a+c的取值范围为:6a+c12【点评】本题考查三角形的解法,正弦定理以及余弦定理的应用,基本不等式的应用,是中档题19(12分)已知四棱锥SABCD的底面ABCD是菱形,ABC,SA底面ABCD,E是SC上的任意一点(1)求证:平面EBD平面SAC;(2)设SAAB2,求点A到平面SBD的距离;(3)在(2)的条件下,若BESC,求BE与平面SAC所成角【分析】(1)

25、推导出SABD,从而ACBD,进而BD平面SAC,由此能证明平面EBD平面SAC(2)设ACBDF,连结SF,则SFBD,推导出AC2,BD2,AF1,由此能求出点A到平面SBD的距离(3)由BD平面SAC,得BEF为BE与平面SAC所成角,由此能求出BE与平面SAC所成角的正切值【解答】解:(1)证明:SA平面ABCD,BD平面ABCD,SABD,四边形ABCD是菱形,ACBD,ACASA,BD平面SAC,BD平面EBD,平面EBD平面SAC(2)设ACBDF,连结SF,则SFBD,AB2,四边形ABCD是菱形,ABC,AC2,BD2,AF1,SA2,SF,点A到平面SBD的距离为(3)由(

26、1)得BD平面SAC,BEF为BE与平面SAC所成角,BDSC,BESC,SC平面BED,SCEF,EF,BF,tanBEF,BE与平面SAC所成角为arctan【点评】本题考查面面垂直的证明,考查点到平面的距离的求法,考查线面角的正切值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题20(12分)新余到吉安相距120千米,汽车从新余匀速行驶到吉安,速度不超过120km/h,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分两部分组成:可变部分与速度v(km/h)的平方成正比,比例系数为b,固定部分为a元,(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km

27、/h)的函数;并求出当a50,b时,汽车应以多大速度行驶,才能使得全程运输成本最小;(2)随着汽车的折旧,运输成本会发生一些变化,那么当a,b,此时汽车的速度应调整为多大,才会使得运输成本最小【分析】(1)由题意知,汽车从新余匀速到吉安所用时间为,全程成本为y(bv2+a)120(bv+),v(0,120;代入a50,b,利用基本不等式求解;(2)注意到y120(v+)时,利用基本不等式取不到等号,故转而应用函数的单调性求最值【解答】解:(1)由题意知,汽车从新余匀速到吉安所用时间为,全程成本为y(bv2+a)120(bv+),v(0,120;当a50,b时,y120(v+)240120(当且

28、仅当v100时取等号)所以汽车应以100km/h的速度行驶,能使得全程运输成本最小 (2)当a,b时,y120(v+),由双勾函数的单调性可知v120时,y有最小值所以汽车应以120km/h的速度行驶,才能使得全程运输成本最小【点评】本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力,同时考查了基本不等式的应用,属于中档题21(12分)已知函数f(x)ax2(a+1)x+1,aR(1)当a0时,求函数y的定义域;(2)若存在m0使关于x的方程f(|x|)m+有四个不同的实根,求实数a的取值范围【分析】(1)由题意,f(x)ax2(a+1)x+10,讨论a,求定义域;(2)令tm+2,则原命题可化为a

29、x2(a+1)x+1t0有两个不同的正根,从而解得【解答】解:(1)由题意,f(x)ax2(a+1)x+10,即(ax1)(x1)0,当0a1时,函数y的定义域为x|x或x1,当a1时,函数y的定义域为R,当a1时,函数y的定义域为x|x1或x;(2)令tm+2,则关于x的方程f(|x|)t有四个不同的实根可化为a|x|2(a+1)|x|+1t0有四个不同的实根,即ax2(a+1)x+1t0有两个不同的正根,则,解得a32【点评】本题考查了定义域的求法即二次不等式的解法,同时考查了二次方程的根的位置判断,属于中档题22(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知以点C(a1,a2)(a0)为圆心的

30、圆过原点O,不过圆心C的直线2x+y+m0(mR)与圆C交于M,N两点,且点F(,)为线段MN的中点()求m的值和圆C的方程;()若Q是直线y2上的动点,直线QA,QB分别切圆C于A,B两点,求证:直线AB恒过定点;()若过点P(0,t)(0t1)的直线L与圆C交于D,E两点,对于每一个确定的t,当CDE的面积最大时,记直线l的斜率的平方为u,试用含t的代数式表示u【分析】()由题意,求出kCF,解得a的值,可得圆心坐标和半径,由圆心到直线2x+y+m0的距离可解得m值,则m的值和圆C的方程可求;()设Q(t,2),则求出QC的中点坐标,以QC为直径的圆的方程可求,联立,可得AB所在直线方程,

31、则可证明直线AB恒过定点;()由题意可设直线l的方程为ykx+t,ABC的面积为S,则SsinACB,当sinACB最大时,S取得最大值,要使sinACB,只需点C到直线l的距离等于,即,整理得:k22(t1)210,解得t1,然后分类讨论即可求出答案【解答】()解:由题意,即2a2a10,解得a1(a0)圆心坐标为(0,1),半径为1,由圆心到直线2x+y+m0的距离d,可得m0或m2,点F(,)在直线2x+y+m0上,m2故m2,圆C的方程为x2+(y1)21;()证明:设Q(t,2),则QC的中点坐标为(),以QC为直径的圆的方程为,即x2+y2tx+y20联立,可得AB所在直线方程为:

32、tx3y+20直线AB恒过定点(0,);()解:由题意可设直线l的方程为ykx+t,ABC的面积为S,则S|CA|CB|sinACBsinACB,当sinACB最大时,S取得最大值要使sinACB,只需点C到直线l的距离等于,即,整理得:k22(t1)210,解得t1当t0,1时,sinACB最大值是1,此时k22t24t+1,即u2t24t+1当t(1,1)时,ACB(,)ysinx是(,)上的减函数,当ACB最小时,sinACB最大过C作CDAB于D,则ACDACB,当ACD最大时,ACB最小sinCAD,且CAD(0,),当|CD|最大时,sinCAD取得最大值,即CAD最大|CD|CP|,当CPl时,|CD|取得最大值|CP|当ABC的面积最大时,直线l的斜率k0,u0综上所述,u【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,考查了点到直线的距离公式的应用,考查了分类讨论的数学思想方法,是难题