1、第21章 一元二次方程一选择题（共10小题）1关于x的方程（m+1）x2+2mx30是一元二次方程，则m的取值是（）A任意实数Bm1Cm1Dm12若m是方程x22x10的根，则1+2mm2的值为（）A0B1C1D23方程4x281化成一元二次方程的一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A4，0，81B4，0，81C4，0，81D4，0，814已知xa是方程x23x+10的根，则2a25a2+的值是（）A1B1C3D35用配方法解方程时，应将其变形为（）ABCD6下列一元二次方程中两根之和为4的是（）Ax24x+40Bx2+2x40Cx2+4x50Dx2+4x+1007九章算
2、术勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（）A82+x2（x3）2B82+（x+3）2x2C82+（x3）2x2Dx2+（x3）2828如果长方形的宽增加1cm，长减少1cm，那么其面积增加3cm2已知原长方形的面积为12cm2，则原长方形的长和宽分别为（）A7cm，3cmB6cm，2cmC4cm，3cmD5cm，2.4cm9某超市一月份的营业额是100万元，月平均增加的百分率相同，第一季度的总营业额是364万元，若
3、设月平均增长的百分率是x，那么可列出的方程是（）A100（1+x）2364B100+100（1+x）+100（1+x）2364C100（1+2x）364D100+100（1+x）+100（1+2x）36410若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边的边长是关于x的一元二次方程x212x+k0的两个根，则k的值是（）A27B36C27或36D18二填空题（共10小题）11已知x3是方程x22x+m0的一个根，那么m 12已知xm是方程x22x30的根，则代数式2m24m3的值为 13如果a，b满足a2+2a20，b2+2b20，且ab，则+的值为 14已知实数ab满足等式a2+3a20，b2+3b
4、20，那么求的值是 15若x26x+7（x3）2+n，则n 16当m满足 时，1除以x2+x+m有意义17在中秋晚会上，同学们互送礼物，共送出的礼物有110件，则参加晚会的同学共有 人18关于x的一元二次方程x2+x+10有两个相等的实数根，则m的取值为 19阅读材料：为解方程（x21）25（x21）+40，我们可以将x21视为一个整体，然后设x21y，则（x21）2y2，原方程化为y25y+40解得y11，y24当y1时，x211x22x；当y4时，x214，x25，x原方程的解为x1，x2，x3，x4请利用以上知识解决下列问题：如果（m2+n21）（m2+n2+2）4，则m2+n2 20如
5、果关于x的一元二次方程（k+2）x23x+10有实数根，那么k的取值范围是 三解答题（共7小题）21配方法解方程（1）x2+4x60（2）x22x822解方程（1）x26x2（2）（2x1）29x2023关于x的一元二次方程x2（k+3）x+2k+20有一个根小于1，求k的取值范围24已知关于x的一元二次方程x24mx+2m20（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若x1是该方程的根，求代数式2（m1）23的值25已知关于x的方程x2+2（m2）x+m20有两个实数根x1，x2，（1）求m的取值范围；（2）若x12+x2256，求m的值26如图，等腰直角三角形ABC中，B90，
6、ABBC8cm，动点P从A出发沿AB向B移动，通过点P引PQAC，PRBC，问当AP等于多少时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2？设AP的长为xcm，列出关于x的方程27一商品销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件（1）若每件商品降价2元，则平均每天可售出 件；（2）当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为1600元？参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1关于x的方程（m+1）x2+2mx30是一元二次方程，则m的取值是（）A任意
7、实数Bm1Cm1Dm1【分析】本题根据一元二次方程的定义求解一元二次方程必须满足二次项系数不为0，所以m+10，即可求得m的值【解答】解：根据一元二次方程的定义得：m+10，即m1，故选：C2若m是方程x22x10的根，则1+2mm2的值为（）A0B1C1D2【分析】根据一元二次方程的解的定义，将xm代入已知方程后即可求得所求代数式的值【解答】解：m是方程x22x10的根，m22m10，m2+2m1，1+2mm2110故选：A3方程4x281化成一元二次方程的一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A4，0，81B4，0，81C4，0，81D4，0，81【分析】方程整理后为一
8、般形式，找出二次项系数、一次项系数和常数项即可【解答】解：方程整理得：4x2810，二次项系数为4；一次项系数为0，常数项为81，故选：C4已知xa是方程x23x+10的根，则2a25a2+的值是（）A1B1C3D3【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a23a+10，即a23a1，把a23a1代入原式，化简得a+4，再通分得到原式4，然后再把a23a1代入化简即可【解答】解：a是方程x23x+10的根，a23a+10，a23a1，2a25a2+2（3a1）5a2+6a25a2+a+444341故选：A5用配方法解方程时，应将其变形为（）ABCD【分析】先移项，再配方，即可得出选项【解答】解：
9、，x2x，x2x+（）2+（）2，（x）2，故选：C6下列一元二次方程中两根之和为4的是（）Ax24x+40Bx2+2x40Cx2+4x50Dx2+4x+100【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系x1+x2对以下选项进行一一验证并作出正确的选择【解答】解：A、x1+x24；故本选项错误；B、x1+x21；故本选项错误；C、16+20360，x1+x24；故本选项正确；D、1640240，所以本方程无根；故本选项错误故选：C7九章算术勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽
10、，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（）A82+x2（x3）2B82+（x+3）2x2C82+（x3）2x2Dx2+（x3）282【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可【解答】解：设绳索长为x尺，可列方程为（x3）2+82x2，故选：C8如果长方形的宽增加1cm，长减少1cm，那么其面积增加3cm2已知原长方形的面积为12cm2，则原长方形的长和宽分别为（）A7cm，3cmB6cm，2cmC4cm，3cmD5cm，2.4cm【分析】设长方形的长为xcm，则长方形的宽为cm，根据长方形的面积公式结合“长方形的宽增加1cm，长减少1cm，那么其面积增加3cm2”
11、，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【解答】解：设长方形的长为xcm，则长方形的宽为cm，依题意，得：（x1）（+1）12+3，整理，得：x24x120，解得：x16，x22（不合题意，舍去），2故选：B9某超市一月份的营业额是100万元，月平均增加的百分率相同，第一季度的总营业额是364万元，若设月平均增长的百分率是x，那么可列出的方程是（）A100（1+x）2364B100+100（1+x）+100（1+x）2364C100（1+2x）364D100+100（1+x）+100（1+2x）364【分析】设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元
12、，三月份的营业额为100（1+x）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是364万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解【解答】解：设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为100（1+x）2万元，依题意，得：100+100（1+x）+100（1+x）2364故选：B10若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边的边长是关于x的一元二次方程x212x+k0的两个根，则k的值是（）A27B36C27或36D18【分析】分3为腰长及3为底边长两种情况考虑：当3为腰长时，将x3代入原方程可求出k的值，将k的值代入原方程可求出x的值，由三角形的三边关系可得出
13、k27舍去；当3为底边长时，由根的判别式0，可求出k值综上即可得出结论【解答】解：当3为腰长时，将x3代入原方程得9123+k0，解得：k27，原方程为x212x+270，x13，x29，3+39，长度为3，3，9的三条边不能围成三角形k27舍去；当3为底边长时，（12）24k0，解得：k36故选：B二填空题（共10小题）11已知x3是方程x22x+m0的一个根，那么m3【分析】将x3代入原方程即可求出m的值【解答】解：将x3代入x22x+m0，96+m0，m3，故答案为：312已知xm是方程x22x30的根，则代数式2m24m3的值为3【分析】把xm代入已知方程，可以求得m22m3，然后整体
14、代入所求的代数式求值即可【解答】解：实数m是关于x的方程x22x30的一个根，m22m30，m22m3，2m24m32（m22m）32333故答案为：313如果a，b满足a2+2a20，b2+2b20，且ab，则+的值为4【分析】根据题意可知a、b是一元二次方程x2+2x20的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系可得a+b2，ab2，再将+进行变形，然后代入计算即可【解答】解：a2+2a2，b2+2b2，且ab，a、b是一元二次方程x2+2x20的两个不相等的实数根，a+b2，ab2，+4故答案为414已知实数ab满足等式a2+3a20，b2+3b20，那么求的值是2或6【分析】分类讨论：当
15、ab时，易得原式2；当ab时，可把a、b看作方程x2+3x20的两根，根据根与系数的关系得a+b3，ab2，再把原式变形得到，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：当ab时，原式1+12；当ab时，可把a、b看作方程x2+3x20的两根，则a+b3，ab2，所以原式6故答案为：2或615若x26x+7（x3）2+n，则n2【分析】已知等式左边配方后，利用多项式相等的条件求出n的值即可【解答】解：已知等式整理得：x26x+7（x3）22（x3）2+n，则n2，故答案为：216当m满足m时，1除以x2+x+m有意义【分析】根据题意得到分式，再根据分式有意义的条件得到x2+x+m0，然后利用根的判别
16、式求解【解答】解：要使有意义，则x2+x+m0，所以14m0，解得m故答案为m17在中秋晚会上，同学们互送礼物，共送出的礼物有110件，则参加晚会的同学共有11人【分析】设参加晚会的同学共有x人，则每个同学需送出（x1）件礼品，根据晚会上共送出礼物110件，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【解答】解：设参加晚会的同学共有x人，则每个同学需送出（x1）件礼品，依题意，得：x（x1）110，解得：x111，x210（不合题意，舍去）故答案为：1118关于x的一元二次方程x2+x+10有两个相等的实数根，则m的取值为4【分析】要使方程有两个相等的实数根，即b24ac0，则利用根
17、的判别式即可求得一次项的系数【解答】解：由题意，b24ac（）240得m4故答案为419阅读材料：为解方程（x21）25（x21）+40，我们可以将x21视为一个整体，然后设x21y，则（x21）2y2，原方程化为y25y+40解得y11，y24当y1时，x211x22x；当y4时，x214，x25，x原方程的解为x1，x2，x3，x4请利用以上知识解决下列问题：如果（m2+n21）（m2+n2+2）4，则m2+n22【分析】将m2+n2视为一个整体，然后设m2+n2y，则原方程化为y2+y60求得方程的解，进一步分析探讨得出答案即可【解答】解：（m2+n21）（m2+n2+2）4设m2+n2
18、y，则原方程化为（y1）（y+2）4即y2+y60，（y+3）（y2）0，解得y13，y22，m2+n2不能是负数，m2+n22故答案为220如果关于x的一元二次方程（k+2）x23x+10有实数根，那么k的取值范围是k且k2【分析】因为一元二次方程有实数根，所以0，得关于k的不等式，求解即可【解答】解：关于x的一元二次方程（k+2）x23x+10有实数根，0且k+20即（3）24（k+2）10且k+20整理，得4k1且k+20k且k2故答案为：k且k2三解答题（共7小题）21配方法解方程（1）x2+4x60（2）x22x8【分析】（1）根据配方法即可求出答案（2）根据配方法即可求出答案【解答
19、】解：（1）x2+4x60，x2+4x+410，（x+2）210，x2；（2）x22x8，x22x+19，（x1）29，x4或2；22解方程（1）x26x2（2）（2x1）29x20【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得【解答】解：（1）x26x2，x26x+92+9，即（x3）27，则x3，x13+，x23；（2）（2x1）29x20，（2x1+3x）（2x13x）0，即（5x1）（x1）0，则5x10或x10，解得x10.2，x2123关于x的一元二次方程x2（k+3）x+2k+20有一个根小于1，求k的取值范围【分析】根据一元二次方程根的判别式公式，求出判别式，得
20、到该方程有实数根，把原方程等号左边因式分解后，根据有一个根小于1，得到关于k的一元一次不等式，解之即可【解答】解：（k+3）24（2k+2）k22k+1（k1）20，即该方程有实数根，x2（k+3）x+2k+2（x2）（xk1）0，x12，x2k+1，方程有一根小于1，k+11，解得：k0，k的取值范围为k024已知关于x的一元二次方程x24mx+2m20（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若x1是该方程的根，求代数式2（m1）23的值【分析】（1）进行判别式的值得到8m2，从而可判断0，于是得到结论；（2）利用一元二次方程根的定义得到2m24m1，再利用完全平方公式得到2（
21、m1）232m24m+23，然后利用整体代入的方法计算【解答】（1）证明：（4m）242m28m20，所以不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）解：把x1代入方程得14m+2m20，则2m24m1，所以2（m1）232m24m+231+23225已知关于x的方程x2+2（m2）x+m20有两个实数根x1，x2，（1）求m的取值范围；（2）若x12+x2256，求m的值【分析】（1）由方程有实根，根据根的判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围；（2）利用根与系数的关系可分别表示出x1+x2与x1x2的值，利用条件可得到关于m的方程，可求得m的值【解答】解：（1）关于x的一元二次方程
22、x2+2（m2）x+m20有两个实数根，0，即2（m2）24m20，解得m1；（2）方程的两个实数根为x1，x2，x1+x22（m2），x1x2m2，x12+x22（x1+x2）22x1x24（m2）22m22m216m+16，x12+x2256，2m216m+1656，解得m2或m10，m1，m226如图，等腰直角三角形ABC中，B90，ABBC8cm，动点P从A出发沿AB向B移动，通过点P引PQAC，PRBC，问当AP等于多少时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2？设AP的长为xcm，列出关于x的方程【分析】设AP的长为xcm，PQCR的面积等于16cm2，根据等腰三角形的性质和平行四
23、边形的面积公式可列方程求解【解答】解：设AP的长为xcm时，PQCR的面积等于16cm2，依题意有x（8x）1627一商品销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件（1）若每件商品降价2元，则平均每天可售出24件；（2）当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为1600元？【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价2元，则平均每天可多售出224（件），即平均每天销售数量为20+424（件）；（2）利用商品平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种商品利润列出方程解答即可【解答】解：（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价2元，则平均每天可多售出224（件），即平均每天销售数量为20+424（件）故答案为：24（2）设每件商品降价x元时，该商品每天的销售利润为1600元，由题意得：（50x）（20+2x）1600整理得：x240x+3000（x10）（x30）0x110，x230每件盈利不少于25元x230应舍去答：每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1600元