1、2019-2020学年北京师大附属实验中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1抛物线的顶点坐标是ABCD2已知，则下列各式错误的是ABCD3在一个不透明的口袋中装有7个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，6，7从中随机摸出一个小球，其标号是偶数的概率为ABCD4如图，为的直径，点在上，若，则的度数为ABCD5点、在二次函数的图象上，与的大小关系是ABCD无法判断6已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为ABCD7如图，是正六边形的外接圆，点在上不与，重合），则的度数为AB或CD或8已知有且仅有一
2、个正实数满足关于的方程，则不可能为AB1C3D5二、填空题（本题共16分，每小题2分）.9若抛物线开口向下，且与轴交于点，写出一个满足条件的抛物线的解析式：10已知，且，若，则11图1中的三翼式旋转门在圆形的空间内旋转，旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，图2是旋转门的俯视图，显示了某一时刻旋转翼的位置，根据图2中的数据，可知的长是 12将抛物线经过适当的几何变换得到抛物线，请写出一种满足条件的变换方法13如图，四边形内接于，则四边形的外角14某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图该事件最有可能是 （填写一个你认为正确的序号）掷一个质地均匀的正
3、六面体骰子，向上一面的点数是2；掷一枚硬币，正面朝上；暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球15排水管的截面为如图所示的，半径为，已知现在水面位于圆心下方，且水面宽，如果水面上涨后，水面宽为，那么水面上涨了16如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间则下列结论：；，其中，正确的是（填上所有满足题意的序号）三、解答题（本题共68分，第17、20-24题，每小题5分，第18、19、25、26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分）17如图，在中，交于点，交于点，（1）求证：；（2）若点是的中点，且，求的半径18已知二次函数的解析式是（
4、1）用配方法将该二次函数化成的形式，并写出顶点坐标；（2）在图中画出该二次函数的图象（不需要列表），并写出该图象与轴的交点；（3）当时，直接写出的取值范围19如图，已知为的直径，是的切线，点是上异于点的一点，且（1）求证：是的切线；（2）若，求的度数及的长20下表是二次函数图象上部分点的横坐标和纵坐标01234 58300 8（1）观察表格，直接写出 ；（2）其中，、，在函数的图象上，且，则 （用“”或“”填空）；（3）求这个二次函数的表达式21甲、乙两人进行摸牌游戏现有十张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字从中选出一些牌，将这些牌背面朝上，洗匀后放在桌子上甲从中随机抽取一张牌，记录数字后
5、放回洗匀，乙再随机抽取一张若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；其余情况，乙获胜（1）若选出三张分别标有数字2、3、5的牌，这个游戏公平吗？请利用树状图或列表法来解释说明（2）乙说：“若我在2、3、5三张牌外再选一张牌，共四张牌进行游戏，则我可以让自己获胜的可能性比甲大”，请判断乙的说法是否正确，若正确，请写出乙可以再选哪些牌让自己获胜的可能性比甲大；若不正确，请说明理由22如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，拱桥的跨度为，桥洞与水面的最大距离是，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面的景观灯，求两盏景观灯之间的水平距离（提示：请建立平面直角坐标系后，再作答）23已知点、，现没有直尺
6、，只有一把生锈的圆规，仅能做出半径为1的圆，能否在平面内找到一点，使得是等边三角形？小天经过探究完成了以下的作图步骤：第一步：分别以点、为圆心，1为半径作圆，两圆交于点；第二步：以为圆心，1为半径作圆交第一步中的两圆于点、；第三步：分别以、为圆心，1为半径作圆，两圆交于点、，（1）请将图补充完整，并作出（2）以下说法中，点在线段的垂直平分线上；和都是等边三角形；点在线段的垂直平分线上；是等边三角形，正确的有（填上所有正确的序号）24函数的图象如图1所示，根据图象回答问题：（1）当满足时，；（2）在解决上述问题的基础上，探究解决新问题：函数的自变量的取值范围是；下表是函数的几组与的对应值0134
7、5.4774.4722.4491.414001.4142.4494.4725.477如图2，在平面直角坐标系中，描出了上表中各对对应值为坐标的点的大概位置，请你根据描出的点，画出该函数的图象：利用图象，直接写出关于的方程的所有近似实数解（结果精确到25如图，在中，端点为的射线，点绕射线上的某点旋转一周所形成的图形为，点在图形上（1）利用尺规作图确定点的位置；（2）判断直线与图形的公共点个数，并说明理由；（3）若，求直线被图形所截得的线段的长26抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴于点，已知点的坐标为，（1）直接写出（用含的代数式表示）；（2）求点的坐标；（3）设抛物线的顶点为，将该抛物线平
8、移后得到抛物线，抛物线的顶点满足，并且抛物线过点，设抛物线与直线的另一个交点为，判断线段与的数量关系（不需证明），并直接写出点的坐标；求出抛物线与轴的交点纵坐标的取值范围27（7分）如图，在中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，（1）依题意补全图形；（2）判断与的数量关系与位置关系并加以证明；（3）若，与相交于点，直接写出点到直线的距离的取值范围28（7分）对于给定的图形和点，若点可通过一次向上或向右平移个单位至图形上某点，则称点为图形的“可达点”，特别地，当点在图形上时，点为图形的“可达点”（1）如图1，在平面直角坐标系中，点，在点、中，不是直线的“可达点”的是；若点是直线的“可达点”且点
9、不在直线上，写出一条满足要求的直线的表达式：；若点、中有且仅有一点是直线的“可达点”，则的取值范围是（2）如图2，在平面直角坐标系中，的半径为1，直线当时，若直线上一点，满足是的“可达点”，直接写出的取值范围；若直线上所有的的“可达点”构成一条长度不为0的线段，直接写出的取值范围2019-2020学年北京师大附属实验中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1抛物线的顶点坐标是ABCD【解答】解：抛物线的顶点坐标是故选：2已知，则下列各式错误的是ABCD【解答】解：、变成等积式是：，不符合题意；、变成等积式
10、是：，不符合题意；、变成等积式是：，符合题意；、变成等积式是：，不符合题意故选：3在一个不透明的口袋中装有7个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，6，7从中随机摸出一个小球，其标号是偶数的概率为ABCD【解答】解：在1，2，3，4，5，6，7中，偶数有2，4，6，共3个，则标号是偶数的概率为；故选：4如图，为的直径，点在上，若，则的度数为ABCD【解答】解：为的直径，故选：5点、在二次函数的图象上，与的大小关系是ABCD无法判断【解答】解：当时，；当时，；，故选：6已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为ABCD【解答】解：底面半径是，则底面周长，圆锥的侧面积故选：7
11、如图，是正六边形的外接圆，点在上不与，重合），则的度数为AB或CD或【解答】解：连接，如图所示：六边形是正六边形，当点不在上时，当点在上时，故选：8已知有且仅有一个正实数满足关于的方程，则不可能为AB1C3D5【解答】解：如图，二次函数与轴的两个交点坐标是，又因为，则该抛物线与轴的交点坐标是，顶点坐标是所以当抛物线与直线的交点横坐标是正数时，的取值范围是或观察选项，只有选项符合题意故选：二、填空题（本题共16分，每小题2分）.9若抛物线开口向下，且与轴交于点，写出一个满足条件的抛物线的解析式：答案不唯一，例如【解答】解：抛物线解析式为（答案不唯一）故答案为：（答案不唯一）10已知，且，若，则6
12、【解答】解：，故答案为611图1中的三翼式旋转门在圆形的空间内旋转，旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，图2是旋转门的俯视图，显示了某一时刻旋转翼的位置，根据图2中的数据，可知的长是【解答】解：根据题意，可得，即的长是故答案为：12将抛物线经过适当的几何变换得到抛物线，请写出一种满足条件的变换方法向右平移2个单位，向下平移4个单位（方法不唯一）【解答】解：的顶点坐标为，的顶点坐标为，将抛物线向右平移2个单位，再向上平移4个单位，可得到抛物线，故答案为：向右平移2个单位，向下平移4个单位13如图，四边形内接于，则四边形的外角70【解答】解：，故答案为7014某小组做“用频率估计概率”的试验时
13、，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图该事件最有可能是（填写一个你认为正确的序号）掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2；掷一枚硬币，正面朝上；暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球【解答】解：由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33，即左右，中向上一面的点数是2的概率为，不符合题意；中掷一枚硬币，正面朝上的概率为，不符合题意；中从中任取一球是红球的概率为，符合题意，故答案为：15排水管的截面为如图所示的，半径为，已知现在水面位于圆心下方，且水面宽，如果水面上涨后，水面宽为，那么水面上涨了1或7【解答】解：过点作，连接
14、，如图所示：，在中，于，连接，同理，当与在圆心的两侧时，故水面上涨了或，故答案为：1或716如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间则下列结论：；，其中，正确的是（填上所有满足题意的序号）【解答】解：抛物线开口向下，对称轴直线，抛物线交的正半轴，所以错误；，所以错误；抛物线与轴的一个交点在点和之间，而抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点在点和之间当时，即，所以正确；抛物线的顶点坐标为，所以正确；故答案为三、解答题（本题共68分，第17、20-24题，每小题5分，第18、19、25、26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分）17如图，在中，交于点，交于点，（
15、1）求证：；（2）若点是的中点，且，求的半径【解答】（1）证明：，（三线合一）（2）解：在中，18已知二次函数的解析式是（1）用配方法将该二次函数化成的形式，并写出顶点坐标；（2）在图中画出该二次函数的图象（不需要列表），并写出该图象与轴的交点；（3）当时，直接写出的取值范围【解答】解：（1），所以抛物线的顶点坐标为；（2）当时，解得，抛物线与轴的交点坐标为，如图，（3）当时，的取值范围为19如图，已知为的直径，是的切线，点是上异于点的一点，且（1）求证：是的切线；（2）若，求的度数及的长【解答】（1）证明：是的切线，是的切线；（2）解：连接，是等边三角形，为的直径，20下表是二次函数图象上部
16、分点的横坐标和纵坐标01234 58300 8（1）观察表格，直接写出3；（2）其中，、，在函数的图象上，且，则 （用“”或“”填空）；（3）求这个二次函数的表达式【解答】解：（1）观察表格，可知故答案为：3；（2），、，在函数的图象上，且，故答案为：；（3）顶点是，设二次函数顶点式解析式为，由图可知，函数图象经过点，解得二次函数的解析式为，即21甲、乙两人进行摸牌游戏现有十张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字从中选出一些牌，将这些牌背面朝上，洗匀后放在桌子上甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；其余情况，乙获胜（1）若选出三张分
17、别标有数字2、3、5的牌，这个游戏公平吗？请利用树状图或列表法来解释说明（2）乙说：“若我在2、3、5三张牌外再选一张牌，共四张牌进行游戏，则我可以让自己获胜的可能性比甲大”，请判断乙的说法是否正确，若正确，请写出乙可以再选哪些牌让自己获胜的可能性比甲大；若不正确，请说明理由【解答】解：（1）所有可能出现的结果如图：从图中看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取的数字和为2的倍数的有5种，所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率是，则不这个游戏公平；（2）当选择的牌是奇数时，当选择的牌是偶数时，因此，乙不可以让自己获胜的可能性比甲大22如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物
18、线形状，拱桥的跨度为，桥洞与水面的最大距离是，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面的景观灯，求两盏景观灯之间的水平距离（提示：请建立平面直角坐标系后，再作答）【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知点、，设抛物线解析式为，将点代入，得：，解得：，则抛物线解析式为，当时，解得：，则两盏景观灯之间的水平距离23已知点、，现没有直尺，只有一把生锈的圆规，仅能做出半径为1的圆，能否在平面内找到一点，使得是等边三角形？小天经过探究完成了以下的作图步骤：第一步：分别以点、为圆心，1为半径作圆，两圆交于点；第二步：以为圆心，1为半径作圆交第一步中的两圆于点、；第三步：分别以、为圆心，1为半径作圆，两圆交于
19、点、，（1）请将图补充完整，并作出（2）以下说法中，点在线段的垂直平分线上；和都是等边三角形；点在线段的垂直平分线上；是等边三角形，正确的有（填上所有正确的序号）【解答】解：（1）如图，连结，则是等边三角形；（2）分别以点、为圆心，1为半径作圆，两圆交于点，点在线段的垂直平分线上，故正确；分别以点、为圆心，1为半径作圆，两圆交于点；以为圆心，1为半径作圆交第一步中的两圆于点、；，和都是等边三角形，故正确，由作图可知，而，点不在线段的垂直平分线上，故错误；由知点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，同理，是等边三角形，故正确故答案为：24函数的图象如图1所示，根据图象回答问题：（1）当满
20、足或时，；（2）在解决上述问题的基础上，探究解决新问题：函数的自变量的取值范围是；下表是函数的几组与的对应值01345.4774.4722.4491.414001.4142.4494.4725.477如图2，在平面直角坐标系中，描出了上表中各对对应值为坐标的点的大概位置，请你根据描出的点，画出该函数的图象：利用图象，直接写出关于的方程的所有近似实数解（结果精确到【解答】解：（1）观察图象可知：，即图象在轴的上方的部分，所以或故答案为或（2）根据（1）的结论可知：自变量的取值范围是或如图即为画出的函数图象根据所画的图象可知：所有近似实数解为和故答案为和25如图，在中，端点为的射线，点绕射线上的某
21、点旋转一周所形成的图形为，点在图形上（1）利用尺规作图确定点的位置；（2）判断直线与图形的公共点个数，并说明理由；（3）若，求直线被图形所截得的线段的长【解答】解：（1）如图，点即为所求（2）直线与图形的公共点个数为1个理由：直线，直线是的切线，直线与图形的公共点个数为1个（3）设直线交于，连接，作于，26抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴于点，已知点的坐标为，（1）直接写出（用含的代数式表示）；（2）求点的坐标；（3）设抛物线的顶点为，将该抛物线平移后得到抛物线，抛物线的顶点满足，并且抛物线过点，设抛物线与直线的另一个交点为，判断线段与的数量关系（不需证明），并直接写出点的坐标；求出抛
22、物线与轴的交点纵坐标的取值范围【解答】解：（1）点的坐标为，将点的坐标代入抛物线表达式并整理得：，故答案为：；（2）抛物线的表达式为：令，则或，故点；（3）从图象可以看出：，即；则点是、的中点，由中点公式得：点；平移后的图象过点，点，将点、的坐标代入抛物线表达式：得：，解得：，抛物线与轴的交点纵坐标的取值范围为：27（7分）如图，在中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，（1）依题意补全图形；（2）判断与的数量关系与位置关系并加以证明；（3）若，与相交于点，直接写出点到直线的距离的取值范围【解答】解：（1）补全图形如图1所示，（2）如图1，由旋转知，在中，即：，；（3）由（2）知，点在以为直径
23、的圆上，如图2，点在上（不包括点，包括点，点到直径的距离为2，即：点到的最大距离为2，当时，即：，由旋转知，点在左侧，由（2）知，过点作于，当时，即：，由旋转知，此时，点在右侧，过点作于，点到直线的距离的取值范围为28（7分）对于给定的图形和点，若点可通过一次向上或向右平移个单位至图形上某点，则称点为图形的“可达点”，特别地，当点在图形上时，点为图形的“可达点”（1）如图1，在平面直角坐标系中，点，在点、中，不是直线的“可达点”的是；若点是直线的“可达点”且点不在直线上，写出一条满足要求的直线的表达式：；若点、中有且仅有一点是直线的“可达点”，则的取值范围是（2）如图2，在平面直角坐标系中，的
24、半径为1，直线当时，若直线上一点，满足是的“可达点”，直接写出的取值范围；若直线上所有的的“可达点”构成一条长度不为0的线段，直接写出的取值范围【解答】解：（1）如图中，由题意，点，点是直线的“可达点”，点不是直线的“可达点“，故答案为如图中，点是直线的“可达点”且点不在直线上（答案不唯一，直线在点的上方即可）故答案为如图中，当直线经过点时，当直线经过点时，观察图象可知：当点、中有且仅有一点是直线的“可达点”， 的取值范围是故答案为（2）如图中，过点和点作轴的平行线分别交直线于，过点和点作轴的平行线分别交直线于，观察图象可知：是的“可达点”， 的取值范围或故答案为或如图中，当与重合，坐标为时，当直线与相切时，设切点为，交轴于由题意在中，观察图象可知满足条件的的值为