1、2018-2019学年广东省中山市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求1（5分）下列表示正确的是（）A0NBNC3ZDQ2（5分）我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（）（注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸；台体的体积公式V）A2寸B3寸C4寸D5寸3（5分）下列大小关系正确的是（）A0.4330.4log40.3B0.43log40.330.4Clog40.30.4330
2、.4Dlog40.330.40.434（5分）已知f（x），则f（f（ln2）（）A2B7Clog713D65（5分）函数f（x）ln（x2+1）的图象大致是（）ABCD6（5分）给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是（）A和B和C和D和7（5分）若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y70和l2：x+y50上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的
3、最小值为（）A2B3C3D48（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2（，0（x1x2，x1x2），有0，且f（2）0，则不等式xf（x）0的解集为（）A（，2）（0，2）B（，2）（2，+）C（2，0）（2，+）D（2，0）（0，2）二、选择题：本题共2小题，每小题7分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得7分，有选错的得0分，部分选对的得3分9（7分）如图正方体ABCDA1B1C1D1，棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上的动点，过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（）当0CQ时，S为四边形；当CQ时，S为等腰梯形；当CQ时，
4、S与C1D1交点R满足C1R1；当CQ1时，S为六边形；当CQ1时，S的面积为ABCD10（7分）函数的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”下列命题：“囧函数”的值域为R；“囧函数”在（0，+）上单调递增；“囧函数”的图象关于y轴对称；“囧函数”有两个零点；“囧函数”的图象与直线ykx+m（k0）至少有一个交点正确命题的个数为（）A1B2C3D4三、填空题：本大题共5小题，每小题5分11（5分）两条直线2x+y+20与ax+4y20互相垂直，则a 12（5分）若P（2，8）在幂函数f（x）的图象上，则f（3） 13（5分）函数f（x）2x33x2+1的零点为 &n
5、bsp; 14（5分）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧棱长，则异面直线A1B1与BD1的夹角大小等于 15（5分）已知圆柱的底面半径为，高为2，若该圆柱的两个底面的圆周都在一个球面上，则这个球的表面积为 四、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（10分）已知函数f（x）1g（93x）的定义域为A，不等式x23x40的解集为B（1）设集合Cx|a1x2a+6，且BC，求实数a的取值范围；（2）定义MNx|xM且xN，求A（AB）17（10分）在ABC中，已知A（5，2），B（7，3），且AC边的中点M在y
6、轴上，BC边的中点N在x轴上，求：（1）顶点C的坐标； （2）直线MN的方程18（10分）通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式为：MlgAlgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是30，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？（以下数据供参考：lg20.3010，lg30.4770）19（11分）已知函数f（x）
7、对任意实数x，y满足f（x）+f（y）f（x+y）+3，f（3）6，当x0时，f（x）3（1）判断f（x）在R上的单调性，并证明你的结论（2）是否存在实数a使f （a2a5）4成立？若存在求出实数a；若不存在，则说明理由20（15分）如图所示四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD中，ABCD，BCAD，PAABBC2，AD4（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）求证：CD平面PAC；（3）在棱PC上是否存在点M（异于点C），使得BM平面PAD，若存在，求的值；若不存在，说明理由21（15分）已知函数f（x）x2+（m2）x+2m，xR（1）若函数y|f（x）|在1，0上是减函数，
8、求实数m的取值范围；（2）是否存在整数a，b，使得af（x）b的解集恰好是a，b，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由2018-2019学年广东省中山市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求1（5分）下列表示正确的是（）A0NBNC3ZDQ【分析】利用元素与集合的关系直接求解【解答】解：在A中，0是自然数，故0N，故A正确；在B中，故B错误；在C中，3Z，故C错误；在D中，Q，故D错误故选：A【点评】本题考查命题真假的判断，考查元素与集合的关系等基础知识，是基础题2（5分）我国古代数学名著数书九章中有“天池
9、盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（）（注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸；台体的体积公式V）A2寸B3寸C4寸D5寸【分析】由题意求得盆中水的上地面半径，代入圆台体积公式求得水的体积，除以盆口面积得答案【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸积水深9寸，水面半径为（14+6）10寸，则盆中水的体积为9（62+102+610）588（立方寸）平地降雨量等于3（寸）故选：B【点评】本题考查柱、锥、台体的体积求法，正确理解题意是关
10、键，属基础题3（5分）下列大小关系正确的是（）A0.4330.4log40.3B0.43log40.330.4Clog40.30.4330.4Dlog40.330.40.43【分析】结合函数y0.4x，y3x，ylog4x的单调性判断各函数值与0和1的大小，从而比较大小【解答】解：00.430.401，30.4301，log40.3log0.410log40.30.4330.4故选：C【点评】本题是指数函数与对数函数的单调性的简单应用，在比较指数（对数）式的大小时，若是同底的，一般直接借助于指数（对数）函数的单调性，若不同底数，也不同指（真）数，一般与1（0）比较大小4（5分）已知f（x），则
11、f（f（ln2）（）A2B7Clog713D6【分析】推导出f（ln2）3eln26，从而f（f（ln2）f（6），由此能求出结果【解答】解：f（x），f（ln2）3eln26，f（f（ln2）f（6）log7（86+1）2故选：A【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5（5分）函数f（x）ln（x2+1）的图象大致是（）ABCD【分析】x2+11，又ylnx在（0，+）单调递增，yln（x2+1）ln10，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案【解答】解：x2+11，又ylnx在（0，+）单调递增，yln（x2+1）ln10，函数的图象应
12、在x轴的上方，又f（0）ln（0+1）ln10，图象过原点，综上只有A符合故选：A【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题6（5分）给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是（）A和B和C和D和【分析】从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果【解答】解：若一个平
13、面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线不正确若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直正确故选：D【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，是基础题7（5分）若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y70和l2：x+y50上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为（）A2B3C3D4【分析】根据题意可推断出M点的轨迹为平行于直线
14、l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l进而根据两直线方程求得M的轨迹方程，进而利用点到直线的距离求得原点到直线的距离为线段AB的中点M到原点的距离的最小值为，求得答案【解答】解：由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l，故其方程为x+y60，M到原点的距离的最小值为d3故选：C【点评】本题主要考查了两点间的距离公式的应用考查了数形结合的思想的应用，基本的运算能力8（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2（，0（x1x2，x1x2），有0，且f（2）0，则不等式xf（x）0的解集为（）A（，2）（0，2）B（，2）（2，+）C（2，0）（2，+
15、）D（2，0）（0，2）【分析】根据条件判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性之间的性质将不等式进行转化进行求解即可【解答】解：偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2（，0（x1x2），当x1x2，有0，当x0函数f（x）为减函数，即当x0时，f（x）为增函数，f（2）0，f（2）f（2）0，作出函数f（x）的图象如图：xf（x）0等价为或，即0x2或x2，即不等式的解集为（，2）（0，2），故选：A【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键二、选择题：本题共2小题，每小题7分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
16、求全部选对的得7分，有选错的得0分，部分选对的得3分9（7分）如图正方体ABCDA1B1C1D1，棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上的动点，过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（）当0CQ时，S为四边形；当CQ时，S为等腰梯形；当CQ时，S与C1D1交点R满足C1R1；当CQ1时，S为六边形；当CQ1时，S的面积为ABCD【分析】由已知情况根据CQ的不同取值，分别作出图形，利用数形结合思想能求出结果【解答】解：当CQ时，S为等腰梯形，正确，图如下：当CQ1时，S是菱形，面积为，正确，图如下：当CQ时，画图如下：C1R，正确当时，如图是五边形，不正确；当0CQ时
17、，如下图，是四边形，故正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用10（7分）函数的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”下列命题：“囧函数”的值域为R；“囧函数”在（0，+）上单调递增；“囧函数”的图象关于y轴对称；“囧函数”有两个零点；“囧函数”的图象与直线ykx+m（k0）至少有一个交点正确命题的个数为（）A1B2C3D4【分析】不放设令ab1，得到特殊的函数，先判断函数为偶函数，利用特殊值法，研究函数的值域，单调性，和零点问题，利用数形结合的方法进行判断【解答】解：（1）当ab1时，画出f（x）的图象，如图所示：结合图象可得，y0，
18、值域肯定不为R，故错误且“囧函数”在（0，+）上没有单调性，故错误由f（x），可得f（x）f（x），故f（x）是偶函数，它的图象关于y轴对称，故正确如图f（x）0，故函数f（x）没有零点，故错误如图可知函数f（x）的图象，x1换为xa，在四个象限都有图象，此时与直线ykx+b（k0）的图象至少有一个交点，故正确，故选：B【点评】此题考查“囧函数”的新定义，关键要读懂题意，只要画出其图象就很容易求解了，解题过程中用到了数形结合的方法，是一道好题三、填空题：本大题共5小题，每小题5分11（5分）两条直线2x+y+20与ax+4y20互相垂直，则a2【分析】先分别求出两条直线的斜率，再利用两条直线垂
19、直的充要条件是斜率乘积等于1，即可求出答案【解答】解：直线2x+y+20的斜率k12，直线ax+4y20的斜率，且两直线2x+y+20与ax+4y20互相垂直，k1k21，解得a2故答案为2【点评】理解在两条直线的斜率都存在的条件下，两条直线垂直的充要条件是斜率乘积等于1是解题的关键12（5分）若P（2，8）在幂函数f（x）的图象上，则f（3）27【分析】利用待定系数法求出幂函数f（x）的解析式，再计算f（3）的值【解答】解：设幂函数yf（x）xa，aR，函数图象过点P（2，8），则2a8，a3，幂函数f（x）x3，f（3）3327故答案为：27【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础
20、题13（5分）函数f（x）2x33x2+1的零点为1和【分析】根据题意，由函数的解析式可得若f（x）0，则2x33x2+10，解可得x的值，即可得答案【解答】解：根据题意，f（x）2x33x2+1，若f（x）0，则2x33x2+10，解可得：x1或，即函数f（x）的零点为1和，故答案为：1和【点评】本题考查函数零点的计算，关键是掌握函数零点的定义，属于基础题14（5分）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧棱长，则异面直线A1B1与BD1的夹角大小等于【分析】根据异面直线所成角的定义，证明已知角为异面直线所成的角，再解三角形求角即可【解答】解：连接BC1，A1B1C
21、1D1，BD1C1为异面直线A1B1与BD1所成的角，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，C1D1平面BCC1B1，C1D1BC1， 在RtBC1D1中，BC1，tanBD1C1，BD1C1故答案是【点评】本题考查异面直线所成的角异面直线所成的角的求法是：1、作角（作平行线）；2、证角（符合定义）；3、求角（解三角形）15（5分）已知圆柱的底面半径为，高为2，若该圆柱的两个底面的圆周都在一个球面上，则这个球的表面积为16【分析】直接利用圆柱的底面直径，高、球体的直径2R构成直角三角形（其中2R为斜边），利用勾股定理求出R的值，然后利用球体的表面积公式可得出答案【解答】解：
22、设球的半径为R，则，R2，因此，这个球的表面积为4R242216故答案为：16【点评】本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出合适的模型计算出球体的半径，考查计算能力，属于中等题四、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（10分）已知函数f（x）1g（93x）的定义域为A，不等式x23x40的解集为B（1）设集合Cx|a1x2a+6，且BC，求实数a的取值范围；（2）定义MNx|xM且xN，求A（AB）【分析】（1）由二次不等式的解法得：x23x40，得B（1，4），又集合Cx|a1x2a+6，且BC，由集合间的包含关系，有，解得：1a0，（2）由函数的定义
23、域及对即时定义的理解，解不等式令93x0，得A（，2），由定义MNx|xM且xN可知：A（AB）（1，2），得解【解答】解：（1）解不等式x23x40，得：1x4，即B（1，4），又集合Cx|a1x2a+6，且BC，则有，解得：1a0，故答案为：1，0（2）令93x0，解得：x2，即A（，2），由定义MNx|xM且xN可知：即AB（，1，即A（AB）（1，2），故答案为：（1，2）【点评】本题考查了二次不等式的解法、函数的定义域、即时定义的理解及集合间的包含关系，属中档题17（10分）在ABC中，已知A（5，2），B（7，3），且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：（1）顶点C
24、的坐标； （2）直线MN的方程【分析】（1）根据中点坐标公式，即可求顶点C的坐标；（2）由点M、N的坐标，利用截距式方程解答【解答】解：（1）设C（x0，y0），则AC中点M，BC中点N（，）M在y轴上，0，x05N在x轴上，0，y03即C（5，3）（2）M（0，），N（1，0），直线MN的方程为+1，即5x2y50【点评】考查了待定系数法求直线方程，中点坐标公式的应用，考查学生的计算能力18（10分）通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式为：MlgAlgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）（1）假
25、设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是30，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？（以下数据供参考：lg20.3010，lg30.4770）【分析】（1）把最大振幅和标准振幅直接代入公式MlgAlgA0求解；（2）利用对数式和指数式的互化由MlgAlgA0得，把M8和M5分别代入公式作比后即可得到答案【解答】解：（1）lg30000lg3+lg1044.5因此，这次地震的震级为里氏4.5级（2）由MlgAlgA0可得，即，当M8时，地震的最大振幅为；
26、当M5时，地震的最大振幅为；所以，两次地震的最大振幅之比是：答：8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，训练了对数式和指数式的互化，解答的关键是对题意的理解，是中档题19（11分）已知函数f（x）对任意实数x，y满足f（x）+f（y）f（x+y）+3，f（3）6，当x0时，f（x）3（1）判断f（x）在R上的单调性，并证明你的结论（2）是否存在实数a使f （a2a5）4成立？若存在求出实数a；若不存在，则说明理由【分析】（1）令y0，则x+yx，根据已知中函数f（x）对任意实数x，y满足f（x）+f（y）f（x+y）+3，当x0时，f（x）3易
27、证得f（x+y）f（x），由增函数的定义，即可得到f（x）在R上单调递增；（2）由已知中函数f（x）对任意实数x，y满足f（x）+f（y）f（x+y）+3，f（3）6，利用“凑”的思想，我们可得f（1）4，结合（1）中函数f（x）在R上单调递增，我们可将f （a2a5）4转化为一个关于a的一元二次不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围【解答】解：（1）令y0，则x+yx当x0时，f（x）3f（y）3又函数f（x）对任意实数x，y满足f（x）+f（y）f（x+y）+3，当x0时，f（x）3f（x）+f（y）f（x+y）+3f（x）+3即f（x+y）f（x）故f（x）在R上单调递增；（2）令x1
28、，y1，则f（1）+f（1）f（2）+3，令x2，y1，则f（2）+f（1）3f（1）3f（3）+3，又f（3）6，f（1）4由（1）中f（x）在R上单调递增则f （a2a5）4成立若f （a2a5）f（1），即a2a51解得：2a3故解集为a|2a3【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性的判断与证明，其中抽象函数“凑”的思想是解题的关键，如（1）中令y0，凑出x+yx，（2）中凑出f（1）420（15分）如图所示四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD中，ABCD，BCAD，PAABBC2，AD4（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）求证：CD平面PAC；（3）在
29、棱PC上是否存在点M（异于点C），使得BM平面PAD，若存在，求的值；若不存在，说明理由【分析】（1）利用四边形ABCD是直角梯形，求出SABCD，通过PAABCD底面ABCD，然后求解VPABCD（2）证明PACD，ACCD，通过PAACA，证明CDPAC（3）用反证法证明，假设存在点M（异于点C）使得BM平面PAD证明平面PBC平面PAD与平面PBC与平面PAD相交，得出矛盾【解答】解：（1）显然四边形ABCD是直角梯形，SABCD（BC+AD）AB（2+4）26又PAABCD底面ABCDVPABCDPA624（2）PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD在直角梯形ABCD中，AC2，
30、CD2，AC2+CD2AD2，即ACCD又PAACA，CDPAC（3）不存在，下面用反证法进行证明假设存在点M（异于点C）使得BM平面PADBCAD，且BC平面PAD，AD平面PAD，BC平面PAD又BCBMB，平面PBC平面PAD而平面PBC与平面PAD相交，得出矛盾【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力21（15分）已知函数f（x）x2+（m2）x+2m，xR（1）若函数y|f（x）|在1，0上是减函数，求实数m的取值范围；（2）是否存在整数a，b，使得af（x）b的解集恰好是a，b，若存在，求出a，b的值；
31、若不存在，说明理由【分析】（1）根据题意，令f（x）x2+（m2）x+2m0，求出（m2）24（m2）（m2）（m6）；进而分2种情况讨论m的取值范围，分析f（x）0的根的情况，进而分析y|f（x）|在1，0上的单调性，综合即可得答案；（2）假设存在整数a、b，使af（x）b的解集恰好是a，b，分3种情况讨论：若函数yf（x）在a，b上单调递增，则f（a）a，f（b）b且，若函数yf（x）在a，b上单调递减，则f（a）b，f（b）a且，若函数yf（x）在a，b上不单调，则，f（a）f（b）a，且，求出m、a、b的值，综合即可得答案【解答】解：（1）根据题意，令f（x）x2+（m2）x+2m0，
32、则（m2）24（m2）（m2）（m6）；分2种情况讨论：，当0，即2m6时，f（x）x2+（m2）x+2m0恒成立，所以|f（x）|x2（m2）x+m2因为y|f（x）|在1，0上是减函数，所以，解得m2，所以2m6，由0，解得m2或m6，当m6时，y|f（x）|的图象对称轴，且方程f（x）0的两根均为正，此时y|f（x）|在1，0为减函数，所以m6符合条件当m2时，y|f（x）|的图象对称轴，且方程f（x）0的根一正一负，要使y|f（x）|在1，0单调递减，则，解得m0综上可得，实数m的取值范围为（，02，+）（2）假设存在整数a、b，使af（x）b的解集恰好是a，b，分3种情况讨论：若函数
33、yf（x）在a，b上单调递增，则f（a）a，f（b）b且，即作差得到m2a+b+1，代回得到abab1，即（a1）（b1）2，由于a、b均为整数，故a1，b0，m2或a2，b3，m8，经检验均不满足要求；若函数yf（x）在a，b上单调递减，则f（a）b，f（b）a且，即作差得到m2a+b1，代回得到：ab2a2b1，即（a2）（b2）3，由于a、b均为整数，故a1，b1，m1或a3，b5，m9，经检验均不满足要求；若函数yf（x）在a，b上不单调，则，f（a）f（b）a，且，即作差得到m2a+b，代回得到ab2ab0，即（a1）（b2）2，由于a，b均为整数，故a2，b4，m8或a1，b1，m2，经检验均满足要求；综上：符合要求的整数a、b是或【点评】本题考查二次函数的性质和应用，涉及分段函数的解析式，属于综合题