1、2018-2019学年广东省佛山市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知A2，4，5，B3，5，7，则AB（）A5B2，4，5C3，5，7D2，3，4，5，72（5分）sin（）（）ABCD3（5分）下列函数是奇函数且在区间（0，1）上是增函数的是（）f（x）x3；f（x）2|x|；f（x）x+sinx；f（x）xABCD4（5分）方程ex+8x80的根所在的区间为（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）5（5分）函数ysin（x+）+cos（）的最大值为（）A2BCD16（5分）已知函
2、数f（x）的最小值为1则实数m的取值范围是（）A（0，+）B0，+）C（，+）D，+）7（5分）已知函数f（x）2sin（2x+）的部分图象如图所示，则的值可以（）ABCD8（5分）函数yxln|x|的大致图象为（）ABCD9（5分）若a，b，c，则（）AabcBcbaCcabDbac10（5分）为了得到函数g（x）cos2x的图象，可以将f（x）sin（2x+）的图象（）A向左平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向右平移个单位长度11（5分）某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开
3、始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.080.033，lg20.301，lg30.477）A2020B2021C2022D202312（5分）已知函数f（x）sin（x+）（0），有f（0）+f（）0，且f（x）在（0，）有且只有5个零点，则（）ABCD二、填空题：本大题共4小题每小题5分满分20分13（5分）函数y+log2（4x）的定义域为 14（5分）函数yax（a0且a1）的反函数过点（9，2），则a 15（5分）已知tan（）2，则tan（2+） 16（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）x2，若对于任意的xt，t+2，不等式f（x+t）f（x）恒成立
4、，则实数t的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题共70分解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知sin，（）（1）求cos和tan（+）的值（2）求sin（）和cos（）18（12分）已知函数f（x）ex+aex，aR（1）若f（x）是R上的偶函数，求a的值（2）判断g（x）ln（ex+1）x的奇偶性，并证明19（12分）（1）写出以下各式的值：sin260+sin2（30）+sin60sin（30） ；sin2150+sin2（120）+sin150sin（120） ；sin215+sin215+sin15sinl5 （2）结合（1）的结果，分析式子的共同特点，写出能
5、反映一般规律的等式，并证明你的结论20（12分）如图是半径为lm的水车截面图，在它的边缘（圆周）上有一定点P，按逆时针方向以角速度rad/s（每秒绕圆心转动rad）作圆周运动，已知点P的初始位置为P0，且xOP0，设点P的纵坐标y是转动时间t（单位：s）的函数记为yf （t）（1）求f（0），f（）的值，并写出函数yf （t）的解析式；（2）选用恰当的方法作出函数f （t），0t6的简图；（3）试比较f（），f（），f（）的大小（直接给出大小关系，不用说明理由）21（12分）已知函数f（x）ex，g（x）2，x0，其中e为自然对数的底数，e2.718（1）试判断g（x）的单调性，并用定义证明；
6、（2）求证：方程f（x）g（x）没有实数根22（12分）设f（x）（x+1）（x+4），x4或x1，g（x）（x+1）（x+4），4x1（1）从以下两个命题中任选一个进行证明：当k9时函数yf（x）kx恰有一个零点；当k1时函数yg（x）kx恰有一个零点；（2）如图3所示当k9时（如k20），ykx与f（x）的图象“好像”只有一个交点，但实际上这两个函数有两个交点，请证明：当k9时，ykx与f（x）两个交点（3）若方程|（x+1）（x+4）|k|x|恰有4个实数根，请结合（1）（2）的研究，指出实数k的取值范围（不用证明）2018-2019学年广东省佛山市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解
7、析一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知A2，4，5，B3，5，7，则AB（）A5B2，4，5C3，5，7D2，3，4，5，7【分析】进行并集的运算即可【解答】解：A2，4，5，B3，5，7；AB2，3，4，5，7故选：D【点评】考查列举法的定义，以及并集的运算2（5分）sin（）（）ABCD【分析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求解即可【解答】解：sin（）sin（2+）sin故选：B【点评】本题考查三角函数化简求值，是基本知识的考查3（5分）下列函数是奇函数且在区间（0，1）上是增函数的是（）f（x）x3；
8、f（x）2|x|；f（x）x+sinx；f（x）xABCD【分析】根据题意，依次分析4个函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析4个函数，对于f（x）x3，为奇函数，且在（0，1）上为减函数，不符合题意；对于f（x）2|x|；为偶函数，不符合题意，对于f（x）x+sinx，有f（x）（x）+sin（x）（x+sinx）f（x），为奇函数，且f（x）1+cosx0，为增函数，符合题意，对于f（x）x，有f（x）（x）（）（x）f（x），为奇函数，且f（x）1+0，为增函数，符合题意；则是奇函数且在区间（0，1）上是增函数，符合题意；故选：D【点评】本题考查函数的单调性与
9、奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题4（5分）方程ex+8x80的根所在的区间为（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）【分析】令函数f（x）ex+8x8，则方程ex+8x80的根即为函数f（x）的零点再根据函数零点的判定定理可得函数f（x）零点所在区间【解答】解：令函数f（x）ex+8x8，则方程ex+8x80的根即为函数f（x）的零点，再由f（0）1870，且f（1）e0，可得函数f（x）在（0，1）上有零点故选：C【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题5（5分）函数ysin（x+）+cos（）的最大值为（）A2BCD1【分析】由两角
10、和差的正余弦公式得：ysin（x+）+cos（）2sin（x+），由三角函数的有界性得：2sin（x+）2，故函数的最大值为2，得解【解答】解：ysin（x+）+cos（）2sin（x+），因为1sin（x+）1，所以2sin（x+）2，故函数的最大值为2，故选：A【点评】本题考查了两角和差的正余弦公式及三角函数的有界性，属简单题6（5分）已知函数f（x）的最小值为1则实数m的取值范围是（）A（0，+）B0，+）C（，+）D，+）【分析】利用分段函数的表达式转化求解函数的最小值，求解m的范围即可【解答】解：函数f（x）的最小值为1可知：x时，4x31，解得x，因为y4x3是增函数，所以只需yx
11、2+2x+m1，x恒成立即可yx2+2x+m（x+1）2+m1m1，所以m11，可得m0故选：B【点评】本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，考查发现问题解决问题的能力7（5分）已知函数f（x）2sin（2x+）的部分图象如图所示，则的值可以（）ABCD【分析】由函数图象经过点（，0），代入解析式得的值【解答】解：由函数图象经过点（，0），且此点为五点作图中第3个点，故代入解析式得2+2k+，故2k+，kZ故选：A【点评】本题给出正弦型三角函数的图象信息，确定其解析式，属于简单题8（5分）函数yxln|x|的大致图象为（）ABCD【分析】利用函数的奇偶性，排除选项，利用函数的导数，判断函数
12、的单调性，推出结果即可【解答】解：函数yxln|x|是奇函数，排除选项B，当x0时，函数yxlnx的导数为：ylnx+1，可得函数的极值点x并且x（0，），y0，函数是减函数，x，y0，函数是增函数，所以函数的图象是C故选：C【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的单调性的应用，考查数形结合以及计算能力9（5分）若a，b，c，则（）AabcBcbaCcabDbac【分析】对a，b，c通分即可得出，从而得出a，b，c的大小关系【解答】解：；cba故选：B【点评】考查对数的运算性质，分数指数幂的运算，对数函数的单调性10（5分）为了得到函数g（x）cos2x的图象，可以将f（x）sin（2x+）的
13、图象（）A向左平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向右平移个单位长度【分析】由条件根据函数yAsin（x+）的图象变换规律，可得结论【解答】解：由于：ycos2xsin（2x+），故：将函数ysin（2x+）图象上所有的点向左平移个单位，可得：ysin2（x+）+sin（2x+）cos2x 的图象故选：A【点评】本题主要考查诱导公式、函数yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题11（5分）某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.08
14、0.033，lg20.301，lg30.477）A2020B2021C2022D2023【分析】设该企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是第n年，则150（1+8%）n2018200，进而得出【解答】解：该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份，则150（1+8%）n2018200，则n2018+2018+2021.8，取n2022故选：C【点评】本题考查了对数的运算性质、对数函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12（5分）已知函数f（x）sin（x+）（0），有f（0）+f（）0，且f（x）在（0，）有且只有5个零点，则（）ABCD【分析】由题意可
15、得f（x）的图象关于点（，0）对称，可得+k，再根据f（x）在（0，）有且只有5个零点，则可得5+6，结合所给的选项，求得的值【解答】解：函数f（x）sin（x+）（0），f（0）+f（）0，即 f（0）f（）故f（x）的图象关于点（，0）对称，+k，即2k，kZf（x）在（0，）有且只有5个零点，则 5+6，求得综上，结合所给的选项可得，故选：A【点评】本题主要考查三家函数的图象的对称性和零点，属于中档题二、填空题：本大题共4小题每小题5分满分20分13（5分）函数y+log2（4x）的定义域为1，4）【分析】可看出，要使得原函数有意义，则需满足，解出x的范围即可【解答】解：要使原函数有意义
16、，则：；1x4；原函数的定义域为：1，4）故答案为：1，4）【点评】考查函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域14（5分）函数yax（a0且a1）的反函数过点（9，2），则a3【分析】由函数yax（a0，且a1）的反函数的图象过点（9，2），可得：yax图象过点（2，9），即可得出【解答】解：由函数yax（a0，且a1）的反函数的图象过点（9，2），可得：yax图象过点（2，9），a29，又a0，a3故答案为：3【点评】本题考查了互为反函数的性质，属于基础题15（5分）已知tan（）2，则tan（2+）【分析】由题意利用二倍角的正切公式求得tan（2+）的值，再利用两角和的正切公式求得tan
17、（2+）tan（2+） 的值【解答】解：已知tan（）2，tan（2+），则tan（2+）tan（2+），故答案为：【点评】本题主要考查二倍角的正切公式，两角和的正切公式的应用，属于基础题16（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）x2，若对于任意的xt，t+2，不等式f（x+t）f（x）恒成立，则实数t的取值范围是2，+）【分析】由当x0时，f（x）x2，函数是奇函数，可得当x0时，f（x）x2，从而f（x）在R上是单调递增函数，且满足f（x）f（x），再根据不等式f（x+t）f（x）f（x）在t，t+2恒成立，可得x+tx在t，t+2恒成立，即可得出答案【解答】解：当x
18、0时，f（x）x2，函数是奇函数当x0时，f（x）x2f（x），f（x）在R上是单调递增函数，且满足f（x）f（x），不等式f（x+t）f（x）f（x）在t，t+2恒成立，x+tx在t，t+2恒成立，即：x2t在t，t+2恒成立，t+22t，解得：t2，故答案为：2，+）【点评】本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性三、解答题：本大题共6小题共70分解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知sin，（）（1）求cos和tan（+）的值（2）求sin（）和cos（）【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得cos的值，再利用诱导公式
19、求得tan（+）的值（2）利用两角和差的三角公式求得sin（）和cos（）的值【解答】解：（1）sin，（），cos，tan（+）tan（2）sin（）sin+cos；cos（）coscos+sinsin+【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，两角和差的三角公式的应用，属于基础题18（12分）已知函数f（x）ex+aex，aR（1）若f（x）是R上的偶函数，求a的值（2）判断g（x）ln（ex+1）x的奇偶性，并证明【分析】（1）根据f（x）是R上的偶函数，即可得出f（x）f（x），即得出ex+aexex+aex从而求出a1；（2）可看出g（x）为偶函数，根据偶函数的定义证明即
20、可【解答】解：（1）f（x）是R上的偶函数；f（x）f（x）；ex+aexex+aex；（a1）（exex）0；a1；（2）g（x）是偶函数，证明如下：g（x）的定义域为R，且g（x）；g（x）是偶函数【点评】考查偶函数的定义及判断方法，以及对数的运算性质19（12分）（1）写出以下各式的值：sin260+sin2（30）+sin60sin（30）；sin2150+sin2（120）+sin150sin（120）；sin215+sin215+sin15sinl5（2）结合（1）的结果，分析式子的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结论【分析】（1）利用特殊角的三角函数进行计算（2）当
21、+30，sin2+sin2+sinsin，借助于和（差）角的三角函数公式进行证明即可【解答】解：（1）sin260+sin2（30）+sin60sin（30），sin2150+sin2（120）+sin150sin（120），sin215+sin215+sin15sinl5，（2）当+30，sin2+sin2+sinsin，证明：+30，则30，sin2+sin2+sinsinsin2+sin2（30）+sinsin（30），sin2+（cossin）2+sin（cossin），sin2+cos2cossin+cos2+sincossin2，sin2+cos2，故答案为：，【点评】本题考查归纳
22、推理，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（12分）如图是半径为lm的水车截面图，在它的边缘（圆周）上有一定点P，按逆时针方向以角速度rad/s（每秒绕圆心转动rad）作圆周运动，已知点P的初始位置为P0，且xOP0，设点P的纵坐标y是转动时间t（单位：s）的函数记为yf （t）（1）求f（0），f（）的值，并写出函数yf （t）的解析式；（2）选用恰当的方法作出函数f （t），0t6的简图；（3）试比较f（），f（），f（）的大小（直接给出大小关系，不用说明理由）【分析】（1）由题意分别计算f（0）和f（）的值，写出yf （t）的解析式；（2）根据题意列表、描点、连线
23、，作出函数f （t）在0t6的简图即可；（3）由函数的图象与性质得出f（）、f（）与f（）的大小【解答】解：（1）由题意，f（0）sin，f（）sin（+）cos，函数yf （t）sin（t+），t0；（2）根据题意列表如下； t0146t+21y 10101在直角坐标系中描点、连线，作出函数f （t）在0t6的简图如图所示；（3）由函数的图象与性质知f（）f（）f（）【点评】本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了函数图象与性质的应用问题，是中档题21（12分）已知函数f（x）ex，g（x）2，x0，其中e为自然对数的底数，e2.718（1）试判断g（x）的单调性，并用定义证明；（2）求证：
24、方程f（x）g（x）没有实数根【分析】（1）根据函数的单调性的定义证明即可；（2）根据函数的单调性求出g（x）f（x），从而证明结论【解答】解：（1）g（x）在（0，+）递增，设a，b（0，+）且ab，则g（a）g（b）（2）（2），0ab，ab0，a+10，b+10，故g（a）g（b）0，即g（a）g（b），故g（x）在（0，+）递增；（2）证明：当x0时，f（x）的值域是（1，+），由g（x）1，解得：x1，当x（0，1）时，g（x）g（1）1，故g（x）f（x），当x1，+）时，0，g（x）22，又f（x）f（1）e，故g（x）f（x），综上，当x0时，g（x）f（x），故方程f（x）g
25、（x）没有实数根【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，转化思想，是一道常规题22（12分）设f（x）（x+1）（x+4），x4或x1，g（x）（x+1）（x+4），4x1（1）从以下两个命题中任选一个进行证明：当k9时函数yf（x）kx恰有一个零点；当k1时函数yg（x）kx恰有一个零点；（2）如图3所示当k9时（如k20），ykx与f（x）的图象“好像”只有一个交点，但实际上这两个函数有两个交点，请证明：当k9时，ykx与f（x）两个交点（3）若方程|（x+1）（x+4）|k|x|恰有4个实数根，请结合（1）（2）的研究，指出实数k的取值范围（不用证明）【分析】（1）由函
26、数的零点及方程的根的关系得：当k9时，令f（x）0，解得：x2，即函数yf（x）kx恰有一个零点，且此零点为2，再用判别式判断函数的零点个数（2）由二次方程区间根的问题得：（95）2160，由韦达定理得：x1+x2k50，x1x240，所以x10，x20，即x1，x2（，4）（1，+），所以当k9时，ykx与f（x）两个交点（3）结合（1）（2）的研究，实数k的取值范围为：（1，0）（9，+），得解【解答】解：（1）当k9时，f（x）kx（x+1）（x+4）9x（x2）2，令f（x）0，解得：x2，即函数yf（x）kx恰有一个零点，且此零点为2，选证明，证明：当k1时，g（x）（x+1）（x+4）+x（x+2）2，令g（x）0，解得：x2，所以函数yg（x）kx恰有一个零点，且此零点为2，（2）f（x）kxx2+（5k）x+40，所以（k5）216，又k9，所以（95）2160，所以方程x2+（5k）x+40，有两个不等实数根，记为x1，x2，由韦达定理得：x1+x2k50，x1x240，所以x10，x20，即x1，x2（，4）（1，+），所以当k9时，ykx与f（x）两个交点（3）结合（1）（2）的研究，实数k的取值范围为：（1，0）（9，+），故答案为：（1，0）（9，+）【点评】本题考查了函数的零点及方程的根的关系、二次方程区间根的问题，属中档题