1、2017-2018学年广东省惠州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1（5分）下列命题中正确的是（）ABCD2（5分）直线2x+3y50不经过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）下列叙述中，错误的一项为（）A棱柱中两个互相平行的平面一定是棱住的底面B棱柱的各个侧面都是平行四边形C棱柱的两底面是全等的多边形D棱柱的面中，至少有两个面相互平行4（5分）在ABC中，已知a2b2+c2+bc，则A（）ABCD或5（5分）已知数列an为等差数列，a1+a2+a33，a5+a6+a79，则a10（）
2、A4B5C6D76（5分）ABC是边长为1的等边三角形，已知向量，满足，则下列结论错误的是（）ABCD7（5分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是（）AC1，M，O三点共线BC1，M，O，C四点共面CC1，O，A1，M四点共面DD1，D，O，M四点共面8（5分）公比不为1等比数列an的前n项和为Sn，且3a1，a2，a3成等差数列，若a11，则S4（）A20B0C7D409（5分）圆心在y轴上，且过点（3，1）的圆与x轴相切，则该圆的方程是（）Ax2+y2+10y0Bx2+y210y0Cx2+y2+10x0Dx2+y21
3、0x010（5分）在锐角ABC中，若C2B，则的范围（）ABC（0，2）D11（5分）在平行四边形ABCD中，E、F分别是边CD和BC的中点，若+，其中、R，则+（）A1BCD12（5分）若直线l同时平分一个三角形的周长和面积，则称直线l为该三角形的“平分线”，已知ABC三边之长分别为3，4，5，则ABC的“平分线”的条数为（）A0B1C2D3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）向量，若，则x 14（5分）已知ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 15（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 16（5分）已知等差数列an，等比数列
4、bn的公比为q（n，qN*），设an，bn的前n项和分别为Sn，Tn若T2n+1，则an 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）已知（1）若，求的坐标；（2）若与的夹角为120，求18（12分）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D、E、F分别是BC、AC1、BB1的中点（1）求证：平面AC1D平面BCC1B1；（2）求证：EF平面A1B1C119（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA+asinB0（1）求角A的大小；（2）已知，ABC的面积为1，求边a20（12分）已知数列an的首项，（1）证明：
5、数列是等比数列；（2）求数列的前n项和为Sn21（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点已知AB2，AD2，PA2求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小22（12分）已知圆O：x2+y24内一点P（0，1），过点P的直线l交圆O于A，B两点，且满足（为参数）（1）若，求直线l的方程；（2）若2，求直线l的方程；（3）求实数的取值范围2017-2018学年广东省惠州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1（5分）
6、下列命题中正确的是（）ABCD【分析】根据向量的加减的几何意义和向量的数量积运算即可判断【解答】解：，0，故选：D【点评】本题考查了向量的加减的几何意义和向量的数量积运算，属于基础题2（5分）直线2x+3y50不经过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案【解答】解：由2x+3y50可得yx+0，0由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第三象限，故选：C【点评】本题考查直线的斜率和截距的几何意义，属基础题3（5分）下列叙述中，错误的一项为（）A棱柱中两个互相平行的平面一定是棱住的底面B棱柱的各个侧面都是平行四边形C棱柱的两
7、底面是全等的多边形D棱柱的面中，至少有两个面相互平行【分析】利用棱柱的定义和性质直接求解【解答】解：在A中，棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱住的底面，例如正六棱柱的相对侧面互相平行，故A错误；在B中，由棱柱的定义知棱柱的各个侧面都是平行四边形，故B正确；在C中，由棱柱的定义知棱柱的两底面是互相平行且全等的多边形，故C正确；在D中，棱柱的定义是，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，相邻的公共边互相平行，有这些面围成的几何体是棱柱，由此得到D正确故选：A【点评】本题考查命题真假的判断，考查棱柱的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题4（5分）在ABC中，已知a2b
8、2+c2+bc，则A（）ABCD或【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知等式代入计算求出cosA的值，即可确定出A的度数【解答】解：在ABC中，a2b2+bc+c2，即b2+c2a2bc，cosA，则A，故选：C【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键5（5分）已知数列an为等差数列，a1+a2+a33，a5+a6+a79，则a10（）A4B5C6D7【分析】依题意得：a1+a2+a33a23，从而a21；同样的方法得到a63，最后根据a2+a62a4得到a42，所以d，则a10a6+4d【解答】解：数列an为等差数列，a1+a2+a33a23，a
9、5+a6+a73a69，a21，a63，a2+a62a4，a4（a2+a6）2，2da6a41，则d，a10a6+4d3+25故选：B【点评】本题给出一个特殊的等差数列，在已知连续3项和的情况下，运用等差中项求未知项，着重考查了等差数列的性质，属于基础题6（5分）ABC是边长为1的等边三角形，已知向量，满足，则下列结论错误的是（）ABCD【分析】可作图，取BC边的中点D，并连接AD，从而可以得出，从而有，这样即可求出和的值，从而便可找出错误的结论【解答】解：A如图，设边BC的中点为D，则：，；，该选项正确；B，该选项正确；C.；，该选项错误；DADBC，由前面，即，该选项正确故选：C【点评】考
10、查向量加法的平行四边形法则，向量的数乘运算，以及数量积的计算公式，余弦函数的定义，向量数乘的几何意义，向量垂直的概念7（5分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是（）AC1，M，O三点共线BC1，M，O，C四点共面CC1，O，A1，M四点共面DD1，D，O，M四点共面【分析】连结A1C1，AC，则ACBDO，A1C平面C1BDM，三点C1、M、O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，从而C1，M，O三点共线，由此能求出结果【解答】解：连结A1C1，AC，则ACBDO，A1C平面C1BDM，三点C1、M、O在平面C1BD
11、与平面ACC1A1的交线上，C1，M，O三点共线，选项A、B、C均正确，选项D错误故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用8（5分）公比不为1等比数列an的前n项和为Sn，且3a1，a2，a3成等差数列，若a11，则S4（）A20B0C7D40【分析】利用3a1，a2，a3成等差数列，确定数列的公比，从而可求S4【解答】解：设数列的公比为q（q1），则3a1，a2，a3成等差数列，3a1+a32a2，a11，3+q2+2q0，q1，q3S413+92720故选：A【点评】本题考查等差数列与等比数列的结合，考查学生的计算
12、能力，属于基础题9（5分）圆心在y轴上，且过点（3，1）的圆与x轴相切，则该圆的方程是（）Ax2+y2+10y0Bx2+y210y0Cx2+y2+10x0Dx2+y210x0【分析】设出圆的圆心与半径，利用已知条件，求出圆的圆心与半径，即可写出圆的方程【解答】解：圆心在y轴上且过点（3，1）的圆与x轴相切，设圆的圆心（0，r），半径为r则：r解得r5所求圆的方程为：x2+（y5）225即x2+y210y0故选：B【点评】本题考查圆的方程的求法，求出圆的圆心与半径是解题的关键10（5分）在锐角ABC中，若C2B，则的范围（）ABC（0，2）D【分析】由正弦定理得，再根据ABC是锐角三角形，求出B
13、，cosB的取值范围即可【解答】解：由正弦定理得，ABC是锐角三角形，三个内角均为锐角，即有 ，0CB3B解得，又余弦函数在此范围内是减函数故cosB故选：A【点评】本题考查了二倍角公式、正弦定理的应用、三角函数的性质易错点是B角的范围确定不准确11（5分）在平行四边形ABCD中，E、F分别是边CD和BC的中点，若+，其中、R，则+（）A1BCD【分析】利用向量的平行四边形法则、向量共面定理即可得出【解答】解：如图所示，E、F分别是边CD和BC的中点，与+比较可得则+故选：C【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、向量共面定理，属于基础题12（5分）若直线l同时平分一个三角形的周长和面积，则称
14、直线l为该三角形的“平分线”，已知ABC三边之长分别为3，4，5，则ABC的“平分线”的条数为（）A0B1C2D3【分析】根据勾股定理的逆定理知此三角形是直角三角形应分情况讨论：（1）若直线过ABC的某个顶点；（2）若直线交ABC的某两条边【解答】解：ABC三边之长分别为3，4，5，ABC为直角三角形，设AB3，AC4，BC5（1）若直线过ABC的某个顶点如图，假设直线过点A如果直线平分ABC的面积，则有BNNC，此时，ACAB，周长相等不可能同理直线过B、C也不存在；（2）若直线交AB、BC于点M、N如图，设BNx，则三角形的周长为3+4+512，MN平分三角形的周长，BN+BM6，即BM6
15、x，作MDBC，由RtMBDRtABC，可得MD，根据SMBNMDBNSABC，即2x212x+150，得x得BN3+，BM3，即这样的直线存在，且只有一条，（3）若直线经过两直角边，则此时不满足条件综上，同时平分这个三角形周长和面积的直线有1条故选：B【点评】本题主要考查直线的性质，正确理解ABC的“平分线”的定义是解决本题的关键，综合性较强，难度较大，不太容易理解二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）向量，若，则x4【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可【解答】解：，x220，得x4，故答案为：4【点评】本题主要考查向量共线的坐标公式的应用，利用向量平行
16、的坐标公式是解决本题的关键14（5分）已知ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于【分析】可设ABC的三边分别为a3，b5，c7，运用余弦定理可得cosC，由同角的平方关系可得sinC，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为，代入计算即可得到所求值【解答】解：可设ABC的三边分别为a3，b5，c7，由余弦定理可得，cosC，可得sinC，可得该三角形的外接圆半径为故答案为：【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题15（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【分析】由三视图可知：上面是一个四棱锥，下面是一个
17、圆柱其中：四棱锥的棱长为2，底面是一个对角线为2的正方形；圆柱的底面直径为2，高为2利用体积计算公式即可得出【解答】解：由三视图可知：上面是一个四棱锥，下面是一个圆柱其中：四棱锥的棱长为2，底面是一个对角线为2的正方形；圆柱的底面直径为2，高为2该几何体的体积V+122故答案为：【点评】本题考查了四棱锥与圆柱的三视图及其体积计算公式，属于基础题16（5分）已知等差数列an，等比数列bn的公比为q（n，qN*），设an，bn的前n项和分别为Sn，Tn若T2n+1，则an2n1【分析】n1时，T2+1Sq，n2时，T4+1Sq2，由于T4b1+b2+b3+b4b1+b2+q2（b1+b2）（1+q
18、2）（b1+b2）（1+q2） T2，可得Sq21（1+q2）（Sq1），根据等差数列的求和公式即可得出【解答】解：n1时，T2+1Sq，n2时，T4+1Sq2，T4b1+b2+b3+b4b1+b2+q2（b1+b2）（1+q2）（b1+b2）（1+q2） T2，Sq21（1+q2）（Sq1）q2a1+d1（1+q2）（qa1+），解得：a11，d2，an2n1，故答案为：2n1【点评】本题考查了等差数列的通项公式与性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）已知（1）若，求的坐标；（2）若与的
19、夹角为120，求【分析】（1）利用向量共线定理、数量积运算性质即可得出（2）利用数量积运算性质即可的【解答】解：（1），与共线的单位向量为，或（2），【点评】本题考查了向量共线定理、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D、E、F分别是BC、AC1、BB1的中点（1）求证：平面AC1D平面BCC1B1；（2）求证：EF平面A1B1C1【分析】（1）根据三棱柱ABCA1B1C1为正三棱柱底面ABC为正三角形，D是BC的中点，可得ADBC，结合正三棱柱的几何特征，我们可得CC1AD，由线面垂直的判定定理可得AD平面BCC1B1；再
20、由面面垂直的判定定理，即可得到答案（2）取A1C1的中点G，连接EG、B1G，根据三角形中位线定理可得EG平行且等于AA1平行且等于B1F，进而得到EFB1G，再由线面平行的判定定理，即可得到答案【解答】证明：（1）在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点，ADBC又CC1AD，AD平面BCC1B1；又AD平面AC1D平面AC1D平面BCC1B1；（2）取A1C1的中点G，连接EG、B1G，E、F分别是AC1、BB1的中点，EG平行且等于AA1平行且等于B1F四边形EFB1G为平行四边形，EFB1G又B1G平面A1B1C1，EF平面A1B1C1【点评】本题考查的知识点是平面与平面垂直的判
21、定，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间中直线与平面平行和垂直的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解答本题的关键19（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA+asinB0（1）求角A的大小；（2）已知，ABC的面积为1，求边a【分析】（1）利用余弦定理以及正弦定理，转化求解即可（2）方法1：通过三角形的面积以及余弦定理，转化求解即可方法2：利用三角形的面积以及知，求出b，c，然后利用余弦定理求解a即可【解答】（本小题满分12分）（1）解：bcosA+asinB0由正弦定理得：sinBcosA+sinAsinB0（2分）0B，sinB0，cosA+sinA0（
22、3分），tanA1（4分）又0A（5分）（6分）（2）方法1：解：，SABC1，即：（8分）又由余弦定理得：（11分）故：（12分）方法2：，SABC1，即：（8分）又由解得：（9分）由余弦定理得：a2b2+c22bccosA10（11分）故：（12分）【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形底面积的求法，考查计算能力20（12分）已知数列an的首项，（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前n项和为Sn【分析】（1）把已知数列递推式两边取倒数，可得，又，得，可得数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）求出数列得通项公式，得到，进一步得到数列的通项公式，然后利用数列的分组求和及错位
23、相减法求解【解答】（1）证明：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）解：由（1）得，即，设，则，由得：，又数列的前n项和【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和与数列的分组求和，是中档题21（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点已知AB2，AD2，PA2求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小【分析】（1）推导出PACD，ADCD，从而CD平面PAD，进而CDPD由此能求出PCD的面积（2）取PB的中点F，连接EF，AF，则EFBC，AEF（或其补角）是异面直线BC与
24、AE所成的角由此能求出异面直线BC与AE所成的角的大小【解答】解：（1）PA底面ABCD，PACD，又ADCD，CD平面PAD，CDPDPD2，CD2，PCD的面积为S2（2）取PB的中点F，连接EF，AF，则EFBC，AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角在AEF中，由EF，AF，AE2，知AEF是等腰直角三角形，AFE90，AEF45，异面直线BC与AE所成的角的大小是45【点评】本题考查三角形面积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题22（12分）已知圆O：x2
25、+y24内一点P（0，1），过点P的直线l交圆O于A，B两点，且满足（为参数）（1）若，求直线l的方程；（2）若2，求直线l的方程；（3）求实数的取值范围【分析】（I）当直线l的斜率不存在时，求得|AB|4，不满足条件故可设所求直线l的方程为ykx+1代入圆的方程整理，利用弦长公式可求得直线方程（II）当直线l的斜率不存在时，不满足条件，故可设所求直线l的方程为ykx+1代入圆的方程，整理得（1+k2）x2+2kx30，（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2为方程（*）的两根，由可得x12x2 ，则有，由此解得k的值，可得直线l的方程（III）当直线l的斜率不存在时，由条件求
26、得的值当直线l的斜率存在时可设所求直线l的方程为ykx+1，代入圆的方程，整理得（1+k2）x2+2kx30（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2为方程（*）的两根，由可得x1x2，则有，化简可得，而，再由求出的范围综合可得实数的取值范围【解答】解：（I）当直线l的斜率不存在时，|AB|4，不满足条件故可设所求直线l的方程为ykx+1，即 kxy+10由弦长|AB|，圆O：x2+y24的半径等于2，可得弦心距d，即圆心（0，0）到kxy+10的距离等于，即，求得k1，故要求的直线l的方程为yx+1或yx+1（II）当直线l的斜率不存在时，或，不满足条件，故可设所求直线l的方程
27、为ykx+1代入圆的方程，整理得（1+k2）x2+2kx30，（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2为方程（*）的两根，由可得x12x2 ，则有（1）2（2）得，解得，所以直线l的方程为（III）当直线l的斜率不存在时，或，3或或，当直线l的斜率存在时可设所求直线l的方程为ykx+1，代入圆的方程，整理得（1+k2）x2+2kx30，（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2为方程（*）的两根，由可得x1x2 ，则有，（3）2（4）得，而，由，可解得，所以实数的取值范围为【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，直线和圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题