1、“数学周报杯”全国初中数学竞赛试卷一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分）1（6分）已知实数x，y满足；，y4+y23，则+y4的值为（）A7BCD52（6分）把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数yx2+mx+n的图象与x轴有两个不同交点的概率是（）ABCD3（6分）有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确定的不同直线最少有（）A6条B8条C10条D12条4（6分）已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且ABa1，以AB为一边在圆O内作正ABC，点D为圆O上不同于点A的
2、一点，且DBABa，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（）AB1CDa5（6分）将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）A2种B3种C4种D5种二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6（6分）对于实数u，v，定义一种运算“*”为：u*vuv+v若关于x的方程x*（a*x）有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是 7（6分）小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每
3、隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟8（6分）如图，在ABC中，AB7，AC11，点M是BC的中点，AD是BAC的平分线，MFAD，则FC的长为 9（6分）ABC中，AB7，BC8，CA9，过ABC的内切圆圆心，作DEBC，分别与AB，A C相交于点D，E，则DE的长为 10（6分）关于x，y的方程x2+y2208（xy）的所有正整数解为 三、解答题（共4小题，满分60分）11（15分）在直角坐标系xOy中，一次函数ykx+b（k0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3（1）用b表示k；（2）求OAB面积的最小值12（15分）是
4、否存在质数pq，使得关于x的一元二次方程px2qx+pO有有理数根？13（15分）是否存在一个三角形的三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一内角2倍的ABC？证明你的结论14（15分）从1，2，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值 “数学周报杯”全国初中数学竞赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分）1（6分）已知实数x，y满足；，y4+y23，则+y4的值为（）A7BCD5【解答】解：因为x20，y20，设m，y2n，则已知可化为4m22m30，n2+n30解得，m，y2n，所以4（）2+
5、（）27故选：A2（6分）把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数yx2+mx+n的图象与x轴有两个不同交点的概率是（）ABCD【解答】解：掷骰子有6636种情况根据题意有：4nm20，因此满足的点有：n1，m3，4，5，6，n2，m3，4，5，6，n3，m4，5，6，n4，m5，6，n5，m5，6，n6，m5，6，共有17种，故概率为：1736故选：C3（6分）有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确定的不同直线最少有（）A6条B8条C10条D12条【解答】解：如图，大圆周
6、上有4个不同的点A，B，C，D，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E，F中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，则它与A，B，C，D的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D的两两连线从而这6个点可以确定的直线不少于8条当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条故选：B4（6分）已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且ABa1，以AB为一边在圆O内作正ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DBABa，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（）AB1CDa【解答】解：ABC是等边三角形，ABBCACBDa，CABACB
7、60；ABBD，AEDAOB；BCABBD，DBCD；四边形EABD内接于O，EAB+D180，即EAC+60+D180；又ECA+60+BCD180，ECAEAC，即EAC是等腰三角形；在等腰EAC和等腰OAB中，AECAOB，ACAB，EACOAB；AEOA1故选：B5（6分）将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）A2种B3种C4种D5种【解答】解：法一：设a1，a2，a3，a4，a5是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列首先，对于a1，a2，a3，a4，不能有连续的两个都是偶数，否则
8、，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾又如果ai（1i3）是偶数，ai+1是奇数，则ai+2是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数所以a1，a2，a3，a4，a5只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5；2，3，5，4，1；2，5，1，4，3；4，3，1，2，5；4，5，3，2，1法二：第一位是2，后面两位奇数任意：21345、23145、21543、25143、23541、25341第一位是4，后面两位奇数不能是1、5或5、1：41325、43125、43521、45321排除：23145、21543、25341、41
9、325、43521还剩：21345、25143、23541、43125、45321所以共有5种排法故选：D二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6（6分）对于实数u，v，定义一种运算“*”为：u*vuv+v若关于x的方程x*（a*x）有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是a0，或a1【解答】解：由，得，依题意有解得，a0，或a1故答案为：a0，或a17（6分）小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是4分钟【解答】解：设车的速
10、度是a，人的速度是b，每隔t分发一班车二辆车之间的距离是：at车从背后超过是一个追及问题，人与车之间的距离也是：at那么：at6（ab）车从前面来是相遇问题，那么：at3（a+b），得：a3b所以：at4at4即车是每隔4分钟发一班8（6分）如图，在ABC中，AB7，AC11，点M是BC的中点，AD是BAC的平分线，MFAD，则FC的长为9【解答】解：如图，设点N是AC的中点，连接MN，则MNAB，NMCB，MNAB，又MFAD，FMCADCB+BAD，即FMN+NMCB+BAD，FMNBADDACMFN，所以因此+9故答案为99（6分）ABC中，AB7，BC8，CA9，过ABC的内切圆圆心，
11、作DEBC，分别与AB，A C相交于点D，E，则DE的长为【解答】解：如图，设ABC的三边长为a，b，c，内切圆I的半径为r，BC边上的高为ha，则，所以因为ADEABC，所以它们对应线段成比例，因此，所以，故故答案为10（6分）关于x，y的方程x2+y2208（xy）的所有正整数解为【解答】解：方法1：x2+y2208（xy）x2208x+1042+y2+208y+104221042（x104）2+（y+104）221042这是一个以（104，104）为圆心，104为半径的圆，可用参数方程表示为：sin，cosx104sin+104104（sin+1），y104cos104104（cos1）
12、x、y都是正整数，那么104（sin+1）和104（cos1）同时为正整数sin，cos，且sin和cos值的分母是104的约数，分子是的整数倍（1）分母为2：（A）2+（B）21A2+B22A1，B1，（舍去）（2）分母为4：（A）2+（B）21A2+B28A2，B2，（舍去）（3）分母为8：（A）2+（B）21A2+B232A4，B4，（舍去）（4）分母为13：（A）2+（B）21A2+B2，（舍去）（5）分母为26：（A）2+（B）21A2+B2338A7，B17，或者A17，B7，（舍去）所以x160，y32或者x48，y32符合（6）分母为52：（A）2+（B）21A2+B21352
13、A14，B34，或者A26，B26，（舍去）或者A34，B14，（舍去）所以x160，y32或者x48，y32符合方法2：x2+y2208（xy）x2208x+1042+y2+208y+104221042（x104）2+（y+104）22104221042是偶数，（x104），（y+104）有相同的奇偶性x，y具有相同的奇偶性x2+y2208（xy）x，y均为偶数令x2a，y2b，则（a52）2+（b+52）22522，a2+b2104（ab）同理，令a2c，b2d，则（c26）2+（d+26）22262，c2+d252（cd）令c2s，d2t，则（s13）2+（t+13）22132，（s，t
14、为正整数）可得正整数解只有（s13）272，（t+13）2172即s20或6，t4故x8s160或48，y8t32三、解答题（共4小题，满分60分）11（15分）在直角坐标系xOy中，一次函数ykx+b（k0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3（1）用b表示k；（2）求OAB面积的最小值【解答】解：（1）令x0，得yb，b0；令y0，得所以A，B两点的坐标分别为，于是，OAB的面积为由题意，有，解得，b2；（2）由（1）知，当且仅当时，有，即当，k1时，不等式中的等号成立所以，OAB面积的最小值为12（15分）是否存在质数pq，使得关于
15、x的一元二次方程px2qx+pO有有理数根？【解答】解：设方程有有理数根，则判别式为平方数令q24p2n2，规定其中n是一个非负整数则（qn）（q+n）4p2（5分）由于1qnq+n，且qn与q+n同奇偶，故同为偶数，因此，有如下几种可能情形：、消去n，解得（10分）对于第1，3种情形，p2，从而q5；对于第2，5种情形，p2，从而q4（不合题意，舍去）；对于第4种情形，q是合数（不合题意，舍去）又当p2，q5时，方程为2x25x+20，它的根为，它们都是有理数综上所述，存在满足题设的质数（15分）13（15分）是否存在一个三角形的三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一内角2倍的AB
16、C？证明你的结论【解答】解：存在满足条件的三角形当ABC 的三边长分别为 a6，b4，c5时，A2B如图，当A2B时，延长BA至点D，使ADACb，连接CD，则ACD为等腰三角形BAC为ACD的一个外角，BAC2D由已知BAC2B，则BDCBD为等腰三角形又D为ACD与CBD 的一个公共角，ACDCBD于是，即，a2b（b+c）624（4+5），此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形说明：满足条件的三角形不是唯一的，若A2B，得a2b（b+c），有以下三种情形：（1）当acb时，设an+1，cn，bn1（n为大于1的正整数）代入a2b（b+c），得（n+1）2（n1）（2n1）解得n5a
17、6，b4，c5（2）当cab时，设cn+1，an，bn1（n为大于1的正整数）代入a2b（b+c），得n22n（n1）解得n2a2，b1，c3，此时不能构成三角形（3）当abc时，设an+1，bn，cn1（n为大于1的正整数）代入a2b（b+c），得（n+1）2n（2n1）即n23n10，此方程无整数解所以，三边长恰为三个连续的整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4、5、6构成的三角形满足条件14（15分）从1，2，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值【解答】解：当n4时，数1，3，5，8中没
18、有若干个数的和能被10整除（5分）当n5时，设a1，a2，a5是1，2，9中的5个不同的数若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则a1，a2，a5中不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6于是a1，a2，a5中必定有一个数是5若a1，a2，a5中含1，则不含9于是不含4（4+1+510），故含6；于是不含3（3+6+110），故含7；于是不含2（2+1+710），故含8但是5+7+820是10的倍数，矛盾若a1，a2，a5中含9，则不含1于是不含6（6+9+520），故含4；于是不含7（7+4+920），故含3；于是不含8（8+9+310），故含2但是5+3+210是10的倍数，矛盾综上所述，n的最小值为5（15分）