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“数学周报杯”全国初中数学竞赛试卷(含详细解答)

1、“数学周报杯”全国初中数学竞赛试卷一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分)1(6分)已知实数x,y满足;,y4+y23,则+y4的值为()A7BCD52(6分)把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次,若两个正面朝上的编号分别为m,n,则二次函数yx2+mx+n的图象与x轴有两个不同交点的概率是()ABCD3(6分)有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,则这6个点可确定的不同直线最少有()A6条B8条C10条D12条4(6分)已知AB是半径为1的圆O的一条弦,且ABa1,以AB为一边在圆O内作正ABC,点D为圆O上不同于点A的

2、一点,且DBABa,DC的延长线交圆O于点E,则AE的长为()AB1CDa5(6分)将1,2,3,4,5这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有()A2种B3种C4种D5种二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)6(6分)对于实数u,v,定义一种运算“*”为:u*vuv+v若关于x的方程x*(a*x)有两个不同的实数根,则满足条件的实数a的取值范围是 7(6分)小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每

3、隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是 分钟8(6分)如图,在ABC中,AB7,AC11,点M是BC的中点,AD是BAC的平分线,MFAD,则FC的长为 9(6分)ABC中,AB7,BC8,CA9,过ABC的内切圆圆心,作DEBC,分别与AB,A C相交于点D,E,则DE的长为 10(6分)关于x,y的方程x2+y2208(xy)的所有正整数解为 三、解答题(共4小题,满分60分)11(15分)在直角坐标系xOy中,一次函数ykx+b(k0)的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,且使得OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3(1)用b表示k;(2)求OAB面积的最小值12(15分)是

4、否存在质数pq,使得关于x的一元二次方程px2qx+pO有有理数根?13(15分)是否存在一个三角形的三边长恰是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一内角2倍的ABC?证明你的结论14(15分)从1,2,9中任取n个数,其中一定可以找到若干个数(至少一个,也可以是全部),它们的和能被10整除,求n的最小值 “数学周报杯”全国初中数学竞赛试卷参考答案与试题解析一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分)1(6分)已知实数x,y满足;,y4+y23,则+y4的值为()A7BCD5【解答】解:因为x20,y20,设m,y2n,则已知可化为4m22m30,n2+n30解得,m,y2n,所以4()2+

5、()27故选:A2(6分)把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次,若两个正面朝上的编号分别为m,n,则二次函数yx2+mx+n的图象与x轴有两个不同交点的概率是()ABCD【解答】解:掷骰子有6636种情况根据题意有:4nm20,因此满足的点有:n1,m3,4,5,6,n2,m3,4,5,6,n3,m4,5,6,n4,m5,6,n5,m5,6,n6,m5,6,共有17种,故概率为:1736故选:C3(6分)有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,则这6个点可确定的不同直线最少有()A6条B8条C10条D12条【解答】解:如图,大圆周

6、上有4个不同的点A,B,C,D,两两连线可以确定6条不同的直线;小圆周上的两个点E,F中,至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与BD的交点,则它与A,B,C,D的连线中,至少有两条不同于A,B,C,D的两两连线从而这6个点可以确定的直线不少于8条当这6个点如图所示放置时,恰好可以确定8条直线所以,满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条故选:B4(6分)已知AB是半径为1的圆O的一条弦,且ABa1,以AB为一边在圆O内作正ABC,点D为圆O上不同于点A的一点,且DBABa,DC的延长线交圆O于点E,则AE的长为()AB1CDa【解答】解:ABC是等边三角形,ABBCACBDa,CABACB

7、60;ABBD,AEDAOB;BCABBD,DBCD;四边形EABD内接于O,EAB+D180,即EAC+60+D180;又ECA+60+BCD180,ECAEAC,即EAC是等腰三角形;在等腰EAC和等腰OAB中,AECAOB,ACAB,EACOAB;AEOA1故选:B5(6分)将1,2,3,4,5这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有()A2种B3种C4种D5种【解答】解:法一:设a1,a2,a3,a4,a5是1,2,3,4,5的一个满足要求的排列首先,对于a1,a2,a3,a4,不能有连续的两个都是偶数,否则

8、,这两个之后都是偶数,与已知条件矛盾又如果ai(1i3)是偶数,ai+1是奇数,则ai+2是奇数,这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数,除非接的这个奇数是最后一个数所以a1,a2,a3,a4,a5只能是:偶,奇,奇,偶,奇,有如下5种情形满足条件:2,1,3,4,5;2,3,5,4,1;2,5,1,4,3;4,3,1,2,5;4,5,3,2,1法二:第一位是2,后面两位奇数任意:21345、23145、21543、25143、23541、25341第一位是4,后面两位奇数不能是1、5或5、1:41325、43125、43521、45321排除:23145、21543、25341、41

9、325、43521还剩:21345、25143、23541、43125、45321所以共有5种排法故选:D二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)6(6分)对于实数u,v,定义一种运算“*”为:u*vuv+v若关于x的方程x*(a*x)有两个不同的实数根,则满足条件的实数a的取值范围是a0,或a1【解答】解:由,得,依题意有解得,a0,或a1故答案为:a0,或a17(6分)小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是4分钟【解答】解:设车的速

10、度是a,人的速度是b,每隔t分发一班车二辆车之间的距离是:at车从背后超过是一个追及问题,人与车之间的距离也是:at那么:at6(ab)车从前面来是相遇问题,那么:at3(a+b),得:a3b所以:at4at4即车是每隔4分钟发一班8(6分)如图,在ABC中,AB7,AC11,点M是BC的中点,AD是BAC的平分线,MFAD,则FC的长为9【解答】解:如图,设点N是AC的中点,连接MN,则MNAB,NMCB,MNAB,又MFAD,FMCADCB+BAD,即FMN+NMCB+BAD,FMNBADDACMFN,所以因此+9故答案为99(6分)ABC中,AB7,BC8,CA9,过ABC的内切圆圆心,

11、作DEBC,分别与AB,A C相交于点D,E,则DE的长为【解答】解:如图,设ABC的三边长为a,b,c,内切圆I的半径为r,BC边上的高为ha,则,所以因为ADEABC,所以它们对应线段成比例,因此,所以,故故答案为10(6分)关于x,y的方程x2+y2208(xy)的所有正整数解为【解答】解:方法1:x2+y2208(xy)x2208x+1042+y2+208y+104221042(x104)2+(y+104)221042这是一个以(104,104)为圆心,104为半径的圆,可用参数方程表示为:sin,cosx104sin+104104(sin+1),y104cos104104(cos1)

12、x、y都是正整数,那么104(sin+1)和104(cos1)同时为正整数sin,cos,且sin和cos值的分母是104的约数,分子是的整数倍(1)分母为2:(A)2+(B)21A2+B22A1,B1,(舍去)(2)分母为4:(A)2+(B)21A2+B28A2,B2,(舍去)(3)分母为8:(A)2+(B)21A2+B232A4,B4,(舍去)(4)分母为13:(A)2+(B)21A2+B2,(舍去)(5)分母为26:(A)2+(B)21A2+B2338A7,B17,或者A17,B7,(舍去)所以x160,y32或者x48,y32符合(6)分母为52:(A)2+(B)21A2+B21352

13、A14,B34,或者A26,B26,(舍去)或者A34,B14,(舍去)所以x160,y32或者x48,y32符合方法2:x2+y2208(xy)x2208x+1042+y2+208y+104221042(x104)2+(y+104)22104221042是偶数,(x104),(y+104)有相同的奇偶性x,y具有相同的奇偶性x2+y2208(xy)x,y均为偶数令x2a,y2b,则(a52)2+(b+52)22522,a2+b2104(ab)同理,令a2c,b2d,则(c26)2+(d+26)22262,c2+d252(cd)令c2s,d2t,则(s13)2+(t+13)22132,(s,t

14、为正整数)可得正整数解只有(s13)272,(t+13)2172即s20或6,t4故x8s160或48,y8t32三、解答题(共4小题,满分60分)11(15分)在直角坐标系xOy中,一次函数ykx+b(k0)的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,且使得OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3(1)用b表示k;(2)求OAB面积的最小值【解答】解:(1)令x0,得yb,b0;令y0,得所以A,B两点的坐标分别为,于是,OAB的面积为由题意,有,解得,b2;(2)由(1)知,当且仅当时,有,即当,k1时,不等式中的等号成立所以,OAB面积的最小值为12(15分)是否存在质数pq,使得关于

15、x的一元二次方程px2qx+pO有有理数根?【解答】解:设方程有有理数根,则判别式为平方数令q24p2n2,规定其中n是一个非负整数则(qn)(q+n)4p2(5分)由于1qnq+n,且qn与q+n同奇偶,故同为偶数,因此,有如下几种可能情形:、消去n,解得(10分)对于第1,3种情形,p2,从而q5;对于第2,5种情形,p2,从而q4(不合题意,舍去);对于第4种情形,q是合数(不合题意,舍去)又当p2,q5时,方程为2x25x+20,它的根为,它们都是有理数综上所述,存在满足题设的质数(15分)13(15分)是否存在一个三角形的三边长恰是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一内角2倍的AB

16、C?证明你的结论【解答】解:存在满足条件的三角形当ABC 的三边长分别为 a6,b4,c5时,A2B如图,当A2B时,延长BA至点D,使ADACb,连接CD,则ACD为等腰三角形BAC为ACD的一个外角,BAC2D由已知BAC2B,则BDCBD为等腰三角形又D为ACD与CBD 的一个公共角,ACDCBD于是,即,a2b(b+c)624(4+5),此三角形满足题设条件,故存在满足条件的三角形说明:满足条件的三角形不是唯一的,若A2B,得a2b(b+c),有以下三种情形:(1)当acb时,设an+1,cn,bn1(n为大于1的正整数)代入a2b(b+c),得(n+1)2(n1)(2n1)解得n5a

17、6,b4,c5(2)当cab时,设cn+1,an,bn1(n为大于1的正整数)代入a2b(b+c),得n22n(n1)解得n2a2,b1,c3,此时不能构成三角形(3)当abc时,设an+1,bn,cn1(n为大于1的正整数)代入a2b(b+c),得(n+1)2n(2n1)即n23n10,此方程无整数解所以,三边长恰为三个连续的整数,且其中一个内角等于另一个内角2倍的三角形存在,而且只有三边长分别为4、5、6构成的三角形满足条件14(15分)从1,2,9中任取n个数,其中一定可以找到若干个数(至少一个,也可以是全部),它们的和能被10整除,求n的最小值【解答】解:当n4时,数1,3,5,8中没

18、有若干个数的和能被10整除(5分)当n5时,设a1,a2,a5是1,2,9中的5个不同的数若其中任意若干个数,它们的和都不能被10整除,则a1,a2,a5中不可能同时出现1和9;2和8;3和7;4和6于是a1,a2,a5中必定有一个数是5若a1,a2,a5中含1,则不含9于是不含4(4+1+510),故含6;于是不含3(3+6+110),故含7;于是不含2(2+1+710),故含8但是5+7+820是10的倍数,矛盾若a1,a2,a5中含9,则不含1于是不含6(6+9+520),故含4;于是不含7(7+4+920),故含3;于是不含8(8+9+310),故含2但是5+3+210是10的倍数,矛盾综上所述,n的最小值为5(15分)