1、11.3二项式定理考情考向分析以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点；本节内容在高考中以解答题的形式进行考查，难度中档1二项式定理二项式定理(ab)nCanCan1b1CanrbrCbn(nN*)二项展开式的通项公式Tr1Canrbr，它表示第r1项二项式系数二项展开式中各项的系数C(r0,1,2，n)2二项式系数的性质(1)C1，C1.CCC.(2)CC.(3)当n是偶数时，项的二项式系数最大；当n是奇数时，与项的二项式系数相等且最大(4)(ab)n展开式的二项式系数和：CCCC2n.概念方法微思考1(ab)n与(ba)n的
2、展开式有何区别与联系？提示(ab)n的展开式与(ba)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同2二项展开式形式上有什么特点？提示二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.3二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？提示不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“
3、”或“”)(1)Canrbr是二项展开式的第r项()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项()(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()(4)(ab)n的展开式第r1项的系数为Canrbr.()(5)(x1)n的展开式二项式系数和为2n.()题组二教材改编2P32练习T2(x2y)7的展开式中，第4项的二项式系数为_答案35解析第4项的二项式系数为C35.3P32练习T5在(2)4的展开式中，x的系数为_答案24解析由题意可知Tr1C()4r(2)r，令1解得r2，所以展开式中x的系数为C(2)224.4P35练习T4已知C2C22C23C2nC729，则CCC
4、C_.答案63解析逆用二项式定理得C2C22C23C2nC(12)n3n729，即3n36，所以n6，所以CCCC26C64163.题组三易错自纠5(xy)n的二项展开式中，第m项的系数是_答案(1)m1C解析(xy)n二项展开式第m项的通项公式为TmC(y)m1xnm1，所以系数为C(1)m1.6已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列a1，a2，a3，ak(1k11，kN*)是一个单调递增数列，则k的最大值是_答案6解析由二项式定理知，anC(n1,2,3，11)又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a6C，则k的最大值为6.7(xy)4的展开式中，x3y3项的
5、系数为_答案6解析二项展开式的通项是Tr1C(x)4r(y)r，令423，解得r2，故展开式中x3y3的系数为(1)2C6.题型一二项展开式命题点1求指定项(或系数)例1(1)8的展开式中常数项为_答案解析展开式的通项为Tr1C()8rrCrx4r，令4r0，则r4，8的展开式中常数项为T5C.(2)在(x24)5的展开式中，含x6的项为_答案160x6解析因为(x24)5的展开式的第r1项的通项公式为Tr1C(x2)5r(4)r(4)rCx102r，令102r6，得r2，所以含x6的项为T3(4)2Cx6160x6.(3)(x2xy)4的展开式中，x3y2的系数是_答案12解析方法一(x2x
6、y)4(x2x)y4，其展开式的第r1项的通项公式为Tr1C(x2x)4ryr，因为要求x3y2的系数，所以r2，所以T3C(x2x)42y26(x2x)2y2.因为(x2x)2的展开式中x3的系数为2，所以x3y2的系数是6212.方法二(x2xy)4表示4个因式x2xy的乘积，在这4个因式中，有2个因式选y，其余的2个因式中有一个选x，剩下的一个选x2，即可得到含x3y2的项，故x3y2的系数是CCC12.命题点2求参数例2(1)(2018江苏省无锡市江阴四校期中)8的展开式中x2的系数为70，则a_.答案1解析8的展开式的通项公式为Tr1，令82，求得r4，故x2的系数为Ca470，则a
7、1.(2)(2018苏州调研)若(x2a)10的展开式中x6的系数为30，则a_.答案2解析由题意得10的展开式的通项公式是Tr1Cx10rrCx102r，10的展开式中含x4(当r3时)，x6(当r2时)项的系数分别为C，C，因此由题意得CaC12045a30，由此解得a2.思维升华求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k1，代回通项公式即可跟踪训练1(1)(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为_(用数字填写答案)答案40解析因为x3y3x(x2y3)，其系数为C2240，x3y3y(x3y2)，
8、其系数为C2380.所以x3y3的系数为804040.(2)(xa)10的展开式中，x7项的系数为15，则a_.(用数字填写答案)答案解析通项为Tr1Cx10rar，令10r7，得r3，x7项的系数为Ca315，a3，a.题型二二项式系数的和与各项的系数和问题例3(1)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.答案3解析设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，令x1，得16(a1)a0a1a2a3a4a5，令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)，即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1a3a58(a1)，所以8
9、(a1)32，解得a3.(2)(2018苏州质检)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数m的值为_答案1或3解析令x0，则(2m)9a0a1a2a9，令x2，则m9a0a1a2a3a9，又(a0a2a8)2(a1a3a9)2(a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39，(2m)9m939，m(2m)3，m3或m1.(3)(2018南通模拟)若n的展开式中含x的项为第6项，设(13x)na0a1xa2x2anxn，则a1a2an的值为_答案255解析n展开式的第r1项为Tr1C(x2)nrrC(1)rx2n3r，当r
10、5时，2n3r1，n8.对(13x)8a0a1xa2x2a8x8，令x1，得a0a1a828256.又当x0时，a01，a1a2a8255.思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(axb)n，(ax2bxc)m (a，b，cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法(2)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.跟踪训练2已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.解令x1，则
11、a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0C1，a1a2a3a72.(2)()2，得a1a3a5a71094.(3)()2，得a0a2a4a61093.(4)方法一(12x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1093(1094)2187.方法二|a0|a1|a2|a7|即为(12x)7展开式中各项的系数和，令x1，|a0|a1|a2|a7|372187.题型三二项式定理的应用例4(1)设aZ且0a13，若512012a能被13整除，则a_
12、.答案12解析512012a(521)2012aC522012C522011C52(1)2011C(1)2012a，C522012C522011C52(1)2011能被13整除且512012a能被13整除，C(1)2012a1a也能被13整除，a的值为12.(2)设复数x(i是虚数单位)，则CxCx2Cx3Cx2019_.答案1i解析x1i，CxCx2Cx3Cx2019(1x)20191i20191i1.思维升华 (1)逆用二项式定理的关键根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解(2)利用二项式定理解决整除问题的思路观察除式与被除式间的关系；
13、将被除式拆成二项式；结合二项式定理得出结论跟踪训练3(1)(2018宿迁模拟)190C902C903C(1)k90kC9010C除以88的余数是_答案1解析190C902C903C(1)k90kC9010C(190)108910(881)108810C889C881，前10项均能被88整除，余数是1.(2)若(12x)2018a0a1xa2x2a2018x2018，则_.答案1解析当x0时，左边1，右边a0，a01.当x时，左边0，右边a0，01，即1.1在6的展开式中，常数项为_答案240解析6的展开式的通项公式为Tr1C(x2)6rr(2)rCx123r，令123r0，得r4，故常数项为T
14、5(2)4C240.2(2018苏州联考)5的展开式中x3项的系数为_答案80解析5的展开式的通项公式为Tr1C(2x)5rr(1)r25rCx52r，令52r3，得r1.于是展开式中x3项的系数为(1)251C80.3(xy)(2xy)6的展开式中x4y3的系数为_答案80解析(2xy)6的展开式的通项公式为Tr1C(2x)6r(y)r，当r2时，T3240x4y2，当r3时，T4160x3y3，故x4y3的系数为24016080.4(13x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则x4的二项式系数为_答案35解析Tr1C(3x)r3rCxr，由已知得35C36C，即C3C，n7，x4的二项式系
15、数为C35.5(4x2x)6(xR)展开式中的常数项是_答案15解析设展开式中的常数项是第r1项，则Tr1C(4x)6r(2x)rC(1)r212x2rx2rxC(1)r212x3rx，12x3rx0恒成立，r4，T5C(1)415.6若在(x1)4(ax1)的展开式中，x4项的系数为15，则a的值为_答案4解析(x1)4(ax1)(x44x36x24x1)(ax1)，x4项的系数为4a115，a4.7若二项式7的展开式中的各项系数之和为1，则含x2项的系数为_答案560解析取x1，得二项式7的展开式中的各项系数之和为(1a)7，即(1a)71，解得a2.二项式7的展开式的通项为Tr1C(x2
16、)7rrC(2)rx143r.令143r2，得r4.因此，二项式7的展开式中含x2项的系数为C(2)4560.8若(13x)2018a0a1xa2018x2018，xR，则a13a232a201832018的值为_答案820181解析由已知，令x0，得a01，令x3，得a0a13a232a2 01832 018(19)2 01882 018，所以a13a232a2 01832 01882 018a082 0181.9若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_.(用数字作答)答案10解析f(x)x5(1x1)5，它的
17、通项为Tr1C(1x)5r(1)r，T3C(1x)3(1)210(1x)3，a310.10若6的展开式中x3项的系数为20，则log2alog2b_.答案0解析6的展开式的通项为Tr1Ca6rbrx123r，令123r3，则r3，6的展开式中x3项的系数为Ca3b320，ab1，log2alog2blog2(ab)log210.11(2018徐州模拟)若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，则a2a4a12_.(用数字作答)答案364解析令x1，得a0a1a2a1236，令x1，得a0a1a2a121，a0a2a4a12.令x0，得a01，a2a4a121364.12设f(x，n)(1
18、x)n，nN*.(1)求f(x,6)的展开式中系数最大的项；(2)当nN*时，化简C4n1C4n2C4n3C40C41；(3)求证：C2C3CnCn2n1.(1)解展开式中系数最大的项是第四项为Cx320x3.(2)解C4n1C4n2C4n3C40C41(C4nC4n1C4n2C4C)(41)n.(3)证明因为rCnC，所以C2C3CnCn(CCCC)n2n1.13在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)_.答案120解析因为f(m，n)CC，所以f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)CCCCCCCC120
19、.14已知n(nN*)的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p，q，则p64q的最小值为_答案16解析显然p2n.令x1，得q.所以p64q2n216，当且仅当2n，即n3时取等号，此时p64q的最小值为16.15.5的展开式中常数项是_答案1683解析5表示五个相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，第一种是从五个中分别抽取2x,2x，3，则此时的常数项为CC22(3)360，第二种情况是从五个中都抽取3，则此时的常数项为(3)5243，第三种情况是从五个中分别抽取2x，3，3，3，则此时的常数项为CC21(3)31 080，则展开式中常数项为3602431 0801 683.16若n展开式中前三项的系数和为163，求：(1)展开式中所有x的有理项；(2)展开式中系数最大的项解易求得展开式前三项的系数为1,2C，4C.由题意得12C4C163，可得n9.(1)设展开式中的有理项为Tr1，由Tr1C()9rr，又0r9，r2,6.故有理项为T3144x3，T75376.(2)设展开式中Tr1项的系数最大，则r，又rN，r6，故展开式中系数最大的项为T75376.11