1、11.5二项分布及其应用考情考向分析以理解独立重复试验、二项分布的概念为主，重点考查二项分布概率模型的应用识别概率模型是解决概率问题的关键在高考中，常以解答题的形式考查，难度为中档1条件概率及其性质(1)条件概率的定义对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率(2)条件概率的求法求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概率公式，即P(B|A).2相互独立事件(1)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A，B相互独立(2)若A与B相互独立，则P(AB)P(A)P(B)(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立
2、(4)若P(AB)P(A)P(B)，则A，B相互独立3二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为XB(n，p)概念方法微思考1条件概率中P(B|A)与P(A|B)是一回事吗？提示不一样，P(B|A)是在A发生的条件下B发生的概率，P(A|B)是在B发生的条件下A发生的概率2“事件相互独立”与“事件互斥”有何不同？提示两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥题组一思考辨析1判断下
3、列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)条件概率一定不等于它的非条件概率()(2)相互独立事件就是互斥事件()(3)对于任意两个事件，公式P(AB)P(A)P(B)都成立()(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(ab)n二项展开式的通项公式，其中ap，b1p.()题组二教材改编2P58例3天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为_答案0.38解析设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为AB，P(AB)P(A)P(B)P(A)P()P()P(B)0.20.70.8
4、0.30.38.3P63练习T1投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为_答案0.648解析该同学通过测试的概率PC0.620.40.630.4320.2160.648.题组三易错自纠4两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为和，两个零件能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件恰好有一个一等品的概率为_答案解析因为两人加工成一等品的概率分别为和，且相互独立，所以两个零件恰好有一个一等品的概率为P.5从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取
5、到的2个数均为偶数”，则P(B|A)_.答案解析P(A)，P(AB)，P(B|A).6一射手对同一目标进行4次射击，且射击结果之间互不影响已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率为_答案解析设此射手未命中目标的概率为p，则1p4，所以p，故1p.题型一条件概率例1某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求续保人本年度
6、的保费高于基本保费的概率；(2)若续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值解(1)设A表示事件“续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)0.20.20.10.050.55.(2)设B表示事件“续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)0.10.050.15.又P(AB)P(B)，故P(B|A).因此所求概率为.(3)平均保费E(A)0.85a0.30.15a1.25a0.21.5a0.21.75a0.12a0.051.23a
7、，因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.思维升华 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)，这是通用的求条件概率的方法(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A).跟踪训练1已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次取到的是螺口灯泡的条件下，第2次取到的是卡口灯泡的概率为_答案解析方法一设事件A为“第1次取到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次取到的是卡口灯泡”，则
8、P(A)，P(AB)，则所求概率为P(B|A).方法二第1次取到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次取到卡口灯泡的概率为.题型二相互独立事件的概率例2某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的概率分布解记E甲组研发新产品成功，F乙组研发新产品成功，由题设知P(E)，P()，P(F)，P()，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立(1
9、)记H至少有一种新产品研发成功，则，于是P()P()P()，故所求的概率为P(H)1P()1.(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0,100,120,220，因为P(X0)P()，P(X100)P(F)，P(X120)P(E)，P(X220)P(EF)，故所求的概率分布为X0100120220P思维升华求相互独立事件同时发生的概率(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算跟踪训练2为了纪念2017在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办“环保我参与”有
10、奖问答比赛活动某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题已知甲家庭回答正确的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确的概率解(1)记“甲回答正确”、“乙回答正确”、“丙回答正确”分别为事件A，B，C，则P(A)，且有即所以P(B)，P(C).(2)有0个家庭回答正确的概率为P0P()P()P()P()，有1个家庭回答正确的概率为P1P(ABC)，所以不少于2个家庭回答正确的概率为P1P0P11.题型三独立重复试验与二项分布
11、命题点1根据独立重复试验求概率例3某市电视台举办纪念红军长征胜利知识回答活动，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动.公园甲乙丙丁获得签名人数45603015然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品(1)求此活动中各公园幸运之星的人数；(2)若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为，求恰好2位幸运之星获得纪念品的概率；(3)若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外2个问题答不对，记小李答对的问题数为X，求X的概率分布解(1)甲、乙、丙、丁四个公园幸
12、运之星的人数分别为103，104，102，101.(2)根据题意，乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为C4，所以乙公园中恰好2位幸运之星获得纪念品的概率为C22.(3)由题意，知X的所有可能取值为2,3,4，服从超几何分布，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以X的概率分布为X234P命题点2根据独立重复试验求二项分布例4一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得200分)设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音
13、乐相互独立(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的概率分布；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？解(1)X可能的取值为10,20,100，200.根据题意，得P(X10)C12，P(X20)C21，P(X100)C30，P(X200)C03.所以X的概率分布为X1020100200P(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i1,2,3)，则P(A1)P(A2)P(A3)P(X200).所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1P(A1A2A3)131.因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是.思维升华独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略(1)在求n次独立重复
14、试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率跟踪训练3为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100 km/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100 km/h的有25人(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100km/h的人中随机抽取2人
15、，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100km/h且为男性驾驶员的车辆为X，求X的概率分布解(1)平均车速不超过100km/h的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C，记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为CC，所以所求的概率P(A).(2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100km/h且为男性驾驶员的概率为，故XB.所以P(X0)C03，P(X1)C2，P(X2)C2，P(X3)C30.所以X的概率分布
16、为X0123P1在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为_答案解析方法一(应用条件概率公式求解)设事件A为“第一次取到不合格品”，事件B为“第二次取到不合格品”，则所求的概率为P(B|A)，因为P(AB)，P(A)，所以P(B|A).方法二(缩小样本空间求解)第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，还有99件产品，其中有4件不合格品，因此第二次取到不合格品的概率为.2某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天
17、的空气质量为优良的概率是_答案0.8解析已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P0.8.3某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则p_.答案解析由题意得(1p)p，p.4一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，服用这种新药的有甲、乙、丙3位病人，且各人之间互不影响，有下列结论：3位病人都被治愈的概率为0.93；3人中的甲被治愈的概率为0.9；3人中恰有2人被治愈的概率是20.920.1；3人中恰好有2
18、人未被治愈的概率是30.90.12；3人中恰好有2人被治愈，且甲被治愈的概率是0.920.1.其中正确结论的序号是_答案5在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是_答案解析由题意得Cp(1p)3Cp2(1p)2，又0p1，所以p1.6甲射击命中目标的概率是，乙射击命中目标的概率是，丙射击命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为_答案解析设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，“丙命中目标”为事件C，则击中目标表示事件A，B，C中至少有一个发生又P()P()P()P()1P(A)1P(
19、B)1P(C).故目标被击中的概率P1P().7如图所示的电路有a，b，c三个开关，每个开关闭合或断开的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为_答案解析灯泡甲亮满足的条件是a，c两个开关都闭合，b开关必须断开，否则短路设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则甲灯亮应为事件AC，且A，B，C之间彼此独立，且P(A)P(B)P(C)，由独立事件概率公式知P(AC)P(A)P()P(C).8(2018江苏省兴化市第一中学月考)某篮球运动员投中篮球的概率为，则该运动员“投篮3次至多投中1次”的概率是_(结果用分数表示)答案解析“投篮3次至多投中1次”包括只投中一次，和全部
20、没有投中，故“投篮3次至多投中1次”的概率是C2C3.9排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，甲在每局比赛获胜的概率都为，前2局中乙队以20领先，则最后乙队获胜的概率是_答案解析乙队30获胜的概率为，乙队31获胜的概率为，乙队32获胜的概率为2.最后乙队获胜的概率为P.10甲、乙、丙三人参加一个掷硬币的游戏，每一局三人各掷硬币一次，当有一人掷得的结果与其他二人不同时，此人就出局且游戏终止，否则就进入下一局，并按相同的规则继续进行游戏，规定进行到第十局时，无论结果如何都终止游戏已知每次掷硬币中正面向上与反面向上的概率都是，则下列结论正确的是_(填序号)第一局甲就出局的概率是；第一局有人出局的概率
21、是；第三局才有人出局的概率是；若直到第九局才有人出局，则甲出局的概率是；该游戏在终止前，至少玩了六局的概率大于.答案解析第一局甲就出局的概率是，错误；第一局有人出局的概率是1，错误；第三局才有人出局的概率为，正确；若直到第九局才有人出局，则由于甲、乙、丙三人出局的概率相等，所以甲出局的概率是，正确；该游戏在终止前，至少玩了六局的概率为，错误故正确结论是.11挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5,0.6,0.75，能通过文考关的概率分别是0.
22、6,0.5,0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率；(2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X的概率分布解(1)设A，B，C分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率PP(A)P(B)P(C)0.5(10.6)(10.75)(10.5)0.6(10.75)(10.5)(10.6)0.750.275.(2)甲被录取的概率为P甲0.50.60.3，同理P乙0.60.50.3，P丙0.750.40.3.甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可看成是独立重复试验，即XB(3,0.3)，X的可能取值为
23、0,1,2,3，其中P(Xk)C(0.3)k(10.3)3k.故P(X0)C0.30(10.3)30.343，P(X1)C0.3(10.3)20.441，P(X2)C0.32(10.3)0.189，P(X3)C0.330.027，故X的概率分布为X0123P0.3430.4410.1890.02712张先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线(如图)，L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.(1)若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；(2)若走L2路线，求遇到红灯次数X
24、的概率分布解(1)设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则P(A)C3C2.所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为.(2)依题意，X的可能取值为0,1,2.P(X0)，P(X1)，P(X2).所以随机变量X的概率分布为X012P13如图，在网格状小地图中，一机器人从点A(0,0)出发，每秒向上或向右移动1格到达相应点已知每次向上移动1格的概率是，向右移动1格的概率是，则该机器人6秒后到达点B(4,2)的概率为_答案解析由题意，可得6秒内向右移动4次，向上移动2次，则所求概率为C42.14甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击
25、中目标相互之间也没有影响(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率是多少？解(1)记“甲连续射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A1，则事件A1的对立事件为“甲连续射击4次，全部击中目标”由题意知，射击4次相当于做4次独立重复试验故P()C4.所以P(A1)1P()1.所以甲连续射击4次，至少有一次未击中目标的概率为.(2)记“甲射击4次，恰好有2次击中目标”为事件A2，“乙射击4次，恰好有3次击中目标”为事件B2，则P(A2)C22
26、，P(B2)C31.由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)P(A2)P(B2).所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.(3)记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中”为事件Di(i1,2,3,4,5)，则A3D5D43(212D1D21)，且P(Di).由于各事件相互独立，故P(A3)P(D5)P(D4)P()P(D1D2).所以乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为.15设随机变量XB(2，p)，随机变量YB(3，p)，若P(X1)，则P(Y1)_.答案解析XB(2，p)，P(X1)1P(X0)1C(1p)2，解得p.又YB(3，p)，
27、P(Y1)1P(Y0)1C(1p)3.16某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；(2)求中奖人数X的概率分布解(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A，B，C，且相互独立，那么A，相互独立又P(A)P(B)P(C)，P(A)P(A)P()P()2.即甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为.(2)X的可能取值为0,1,2,3，且XB，P(Xk)Ck3k(k0,1,2,3)则P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以中奖人数X的概率分布为X0123P16