1、第十一章 计数原理、随机变量及其概率分布考试内容等级要求加法原理与乘法原理B排列与组合B二项式定理B离散型随机变量及其分布列A超几何分布A条件概率及相互独立事件An次独立重复试验的模型及二项分布B离散型随机变量的均值与方差B11.1分类计数原理与分步计数原理考情考向分析以理解和应用两个基本原理为主，常以实际问题为载体，加强分类讨论思想，注重分析问题、解决问题能力的考查，常与排列、组合知识交汇；两个计数原理在高考中单独命题较少，一般是与排列组合结合进行考查；两个计数原理的考查一般以解答题的形式出现，难度为中档1分类计数原理如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式
2、中有m2种不同的方法，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法2分步计数原理如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法3分类和分步的区别，关键是看事件能否一步完成，事件一步完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步分类要用分类计数原理将种数相加；分步要用分步计数原理，将种数相乘概念方法微思考1在解题过程中如何判定是用分类计数原理还是分步计数原理？提示如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类计数原理；如果每类办法中
3、的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步计数原理2两种原理解题策略有哪些？提示分清要完成的事情是什么；分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；有无特殊条件的限制；检验是否有重复或遗漏题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()(2)在分类计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事()(3)在分步计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成()(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i1
4、,2,3，n)，那么完成这件事共有m1m2m3mn种方法()(5)在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()题组二教材改编2P9T8已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是_答案6解析分两步：第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是326.3P29习题T9将3个不同的小球放入编号分别为1,2,3,4,5,6的盒子内，6号盒子中至少有1个球的放法种数是_答案91解析本题应分为6号盒子中有1个球，2个
5、球，3个球三类来解答，可列式为C(AA)CAC91(种)题组三易错自纠4从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为_答案18解析分两类情况讨论：第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有32212(个)奇数；第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3216(个)奇数根据分类计数原理知，共有12618(个)奇数5如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有_个答案12解析当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4
6、时共有4种情况当有三个1时：2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141，有9种，当有三个2,3,4时：2221,3331,4441，有3种，根据分类计数原理可知，共有12种结果6已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为_答案12解析将4个门编号为1,2,3,4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2,3,4号门进入，同样各有3种走法，共有3412(种)不同的走法7.现用4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有_种答案48解析需要先给C块着色，有4种方法；
7、再给A块着色，有3种方法；再给B块着色，有2种方法；最后给D块着色，有2种方法，由分步计数原理知，共有432248(种)着色方法题型一分类计数原理1满足a，b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为_答案13解析方程ax22xb0有实数解的情况应分类讨论当a0时，方程为一元一次方程2xb0，不论b取何值，方程一定有解此时b的取值有4个，故此时有4个有序数对当a0时，需要44ab0，即ab1.显然有3个有序数对不满足题意，分别为(1,2)，(2,1)，(2,2)a0时，(a，b)共有3412(个)实数对，故a0时满足条件的实数对有1239(个)，所以答案应
8、为4913.2如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为_答案240解析若a22，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个若a23，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有236(个)若a24，满足条件的“凸数”有3412(个)，若a29，满足条件的“凸数”有8972(个)所以所有凸数有26122030425672240(个)3定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数若m4，则不同的
9、“规范01数列”共有_个答案14解析第一位为0，最后一位为1，中间3个0,3个1,3个1在一起时为000111,001110；只有2个1相邻时，共有A个，其中110100,110010,110001,101100不符合题意；三个1都不在一起时有C个，共28414(个)思维升华分类标准是运用分类计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词，关键元素，关键位置(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏题型二分步计数原理例1(1)如图，小明从街道的E处出
10、发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为_答案18解析从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6318(条)(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有_种不同的报名方法答案120解析每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有654120(种)引申探究1本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每
11、项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？解每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有36729(种)2本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？解每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有63216(种)思维升华 (1)利用分步计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事(2)分步必
12、须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成跟踪训练1一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不同(除交汇点O外)的游览线路有_种(用数字作答)答案48解析根据题意，从点P处进入后，参观第一个景点时，有6个路口可以选择，从中任选一个，有6种选法；参观完第一个景点，参观第二个景点时，有4个路口可以选择，从中任选一个，有4种选法；参观完第二个景点，参观第三个景点时，有2个路口可以选择，从中任取一个，有2种选法由分步计数原理知，共有64248(种)不同的游览线路题型三两个计数原理的综合应用命题点1与数字有关的
13、问题例2用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个(用数字作答)答案1080解析当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为CCA960.当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A120.故符合题意的四位数一共有9601201080(个)命题点2涂色、种植问题例3如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为_答案96解析按区域1与3是否同色分类：区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A种方
14、法区域1与3同色时，共有4A24(种)方法区域1与3不同色：第一步涂区域1与3有A种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有1种方法，第四步涂区域5有3种方法共有A21372(种)方法故由分类计数原理可知，不同的涂色种数为247296.命题点3与几何有关的问题例4(1)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是_答案36解析第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有21224(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“
15、正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个所以正方体中“正交线面对”共有241236(个)(2)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是_答案48解析长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6636，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6212，故符合条件的“平行线面组”的个数是361248.思维升华利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类(3)弄清分步、分类的标准是什么(4)利用两个计数原
16、理求解跟踪训练2(1)建造一个花坛，花坛分为4个部分(如图)现要栽种4种不同颜色的花(不一定4种颜色都栽种)，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_种(用数字作答)1234答案108解析先栽第一块地，有4种情况，然后栽第二块地，有3种情况，第三块地有3种情况，第四块地有3种情况，则共有4333108(种)不同的栽种方法(2)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有_个答案120解析由题意，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3A72(个)；若万位是4，则有2A48(个)，故比40000大的偶数共有7248120(个)1集合A
17、1,2,3,4,5，B3,4,5,6,7,8,9，从集合A，B中各取一个数，能组成的没有重复数字的两位数的个数为_答案58解析根据分步计数原理和分类计数原理得(CCCCCCC)A58.2(2018苏州质检)三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有_种答案6解析分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)，同理，甲先传给丙时，满足条件的也有3种传递方式由分类计数原理可知，共有336(种)传递方式3十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则行车路线共有_种答案12解析根据题意，车的行驶路线起点有4种，行驶方向有3种，所以行
18、车路线共有4312(种)4若自然数n使得作竖式加法n(n1)(n2)各位数均不产生进位现象，则称n为“开心数”例如：32是“开心数”因为323334不产生进位现象；23不是“开心数”，因为232425产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为_答案12解析根据题意知个位数n需要满足n(n1)(n2)10，即n2.3，个位数可取0,1,2三个数，十位数k需要满足3k10，k3.3，十位数可以取0,1,2,3四个数，故小于100的“开心数”共有3412(个)5从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，则所有不同对数值的个数为_答案17解析当所取两个数中含有1时，1只
19、能作真数，对数值为0，当所取两个数中不含有1时，可得到A20(个)对数，但log23log49，log32log94，log24log39，log42log93.综上可知，共有201417(个)不同的对数值6设a，b，c1,2,3,4,5,6，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有_个答案27解析先考虑等边的情况，abc1,2，6，有六个，再考虑等腰的情况，若ab1，cab2，此时c1与等边重复，若ab2，cab4，则c1,3，有两个，若ab3，cab6，则c1,2,4,5，有四个，若ab4，cab8，则c1,2,3,5,6，有五个，若ab5，cab10，
20、则c1,2,3,4,6，有五个，若ab6，cab12，则c1,2,3,4,5，有五个，故一共有27个72017年1月27日，哈尔滨地铁3号线一期开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街每人只能去一个地方，哈西站一定要有人去，则不同的游览方案为_种答案65解析根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则4人一共有333381(种)情况，若哈西站没人去，即四位同学选择了城乡路和哈尔滨大街每人有2种选择方法，则4人一共有222216(种)情况，故哈西站一定要有人去有811665(种)情况，即哈西站一定
21、有人去的游览方案有65种8用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有_种答案4320解析分步进行：1区域有6种不同的涂色方法，2区域有5种不同的涂色方法，3区域有4种不同的涂色方法，4区域有3种不同的涂色方法，6区域有4种不同的涂色方法，5区域有3种不同的涂色方法根据分步计数原理可知，共有6543344320(种)不同的涂色方法9.如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为_答案96解析若A，D颜色相同，先涂E有4种涂法，再涂A，D有3种涂法，再涂B有2种涂法，C只有1种涂法，共有
22、43224(种)；若A，D颜色不同，先涂E有4种涂法，再涂A有3种涂法，再涂D有2种涂法，当B和D相同时，C有2种涂法，当B和D不同时，C只有1种涂法，共有432(21)72(种)，根据分类计数原理可得，共有247296(种)不同的涂色方法10设集合A1,0,1，B0,1,2,3，定义A*B(x，y)|xAB，yAB，则A*B中元素的个数为_(用数字作答)答案10解析易知AB0,1，AB1,0,1,2,3，x有2种取法，y有5种取法由分步计数原理，知A*B中的元素有2510(个)11联合国国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个
23、国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有_种答案25解析根据题意，可分为：三个国家粮食和药品都有，有1种方法；一个国家粮食，两个国家药品，有3种方法；一个国家药品，两个国家粮食，有3种方法；两个国家粮食，三个国家药品，有3种方法；两个国家药品，三个国家粮食，有3种方法；两个国家粮食，两个国家药品，有326(种)方法；三个国家粮食，一个国家药品，有3种方法；三个国家药品，一个国家粮食，有3种方法，故方法总数是25.12将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为_答案240解析将数字“124467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数，若末位数字为2，因为含有2个4
24、，所以有60(种)情况；若末位数字为6，同理有60(种)情况；若末位数字为4，因为有2个相同数字4，所以共有54321120(种)情况综上，共有6060120240(种)情况13.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓则不同的固定螺栓方式的种数是_答案60解析根据题意，第一个可以从6个螺栓里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，若第一个选1号螺栓，第二个可以选3,4,5号螺栓，依次选下去，共可以得到10种方法，所以总共有10660(种)方法，故答案是60.14某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包
25、游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元的，1个8元的，1个10元的(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有_种答案36解析若甲、乙抢到的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包，则被剩下的3人中的2人抢走，有AA12(种)情况；若甲、乙抢到的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包，则被剩下的3人中的2人抢走，有AA12(种)情况；若甲、乙抢到的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包，则被剩下的3人中的2人抢走有AC6(种)情况；若甲、乙抢到的是2个6元的，剩下2个红包，则被剩下的3人中的2人抢走，有A6(种)情况根据分类计数原理可知，共有36种
26、情况15回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等显然2位回文数有9个：11,22,33，99,3位回文数有90个：101,111,121，191,202，999.则(1)5位回文数有_个；(2)2n(nN*)位回文数有_个答案(1)900(2)910n1解析(1)5位回文数相当于填5个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，第2位和第4位一样，有10种填法，中间一位有10种填法，共有91010900(种)填法，即5位回文数有900个(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格结合分步计数原理，知有910n1种填法16用6种不同的颜色给三棱柱ABCD
27、EF六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有_种(用数字作答)答案8520解析分两步来进行，先涂A，B，C，再涂D，E，F.第一类：若6种颜色都用上，此时方法共有A720(种)；第二类：若6种颜色只用5种，首先选出5种颜色，方法有C种；先涂A，B，C，方法有A种，再涂D，E，F中的两个点，方法有A种，最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有CAA24320(种)；第三类：若6种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有C种；先涂A，B，C，方法有A种，再涂D，E，F中的一个点，方法有3种，最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有CA333240(种)；第四类：若6种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有C种；先涂A，B，C，方法有A种，再涂D，E，F，方法有2种，故此时方法共有CA2240(种)综上可得，不同涂色方案共有720432032402408520(种)12