1、第2课时不等式的证明考情考向分析本节主要考查不等式的证明方法及柯西不等式的简单应用，以解答题的形式出现，属于低档题1不等式证明的方法(1)比较法作差比较法知道abab0，ababb，只要证明ab0即可，这种方法称为作差比较法作商比较法由ab01且a0，b0，因此当a0，b0时，要证明ab，只要证明1即可，这种方法称为作商比较法(2)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法(3)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得
2、出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法(4)反证法和放缩法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法(5)数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：证明当nn0时命题成立；假设当nk (k
3、N*，且kn0)时命题成立，证明nk1时命题也成立在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立这种证明方法称为数学归纳法2几个常用的不等式(1)柯西不等式柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2(当且仅当adbc时，等号成立)柯西不等式的向量形式：设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立柯西不等式的三角形不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3R，则.柯西不等式的一般形式：设n为大于1的自然数，ai，bi(i1,2，n)为实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，等号当且
4、仅当时成立(当ai0时，约定bi0，i1,2，n)(2)算术几何平均不等式若a1，a2，an为正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，假设为“a，b，c全不为0”()(2)若1，则x2yxy.()(3)若a，b为正实数，ab1，则4.()(4)若实数x，y适合不等式xy1，xy2，则x0，y0.()题组二教材改编2P12例1不等式：x233x；a2b22(ab1)；2，其中恒成立的是_(填序号)答案解析由得x233x20，所以x233x恒成立；对于，因为a2b22(ab1)(a1)2(
5、b1)20，所以不等式成立；对于，因为当ab0时，20，所以b1，xa，yb，则x与y的大小关系是_答案xy解析xyaab.由ab1，得ab1，ab0，所以0，即xy0，所以xy.4P37习题T1设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，则的最小值为_答案解析根据柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得255(m2n2)，m2n25，的最小值为.题组三易错自纠5已知a，b，c是正实数，且abc1，则的最小值为_答案9解析把abc1代入到中，得332229，当且仅当abc时，等号成立6(2019徐州模拟)已知正数a，b，c满足2a3b6c2，求的最小值解由于a，b，c0，所以2(
6、)227，当且仅当，即abc321且a，b，c0时，等号成立7已知实数a，b，c满足a0，b0，c0，且abc1.证明：(1)(1a)(1b)(1c)8；(2).证明(1)a0，b0，c0,1a2，1b2，1c2，(1a)(1b)(1c)88，当且仅当abc1时，等号成立(2)bcacab，a0，b0，c0，abbc22，abac22，bcac22，abacbc，即.题型一用综合法与分析法证明不等式例1(1)(2018南京、盐城模拟)设ab，求证：a46a2b2b44ab(a2b2)证明a46a2b2b44ab(a2b2)(a2b2)24ab(a2b2)4a2b2(a2b22ab)2(ab)4
7、.因为ab，所以(ab)40，所以a46a2b2b44ab(a2b2)(2)设a，b，c0且abbcca1，求证：abc.证明因为a，b，c0，所以要证abc，只需证明(abc)23.即证a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明a2b2c22(abbcca)3(abbcca)，即证a2b2c2abbcca.而abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)，所以原不等式成立思维升华用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合
8、法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，相互渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野跟踪训练1已知a0，b0，a3b32，证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a4b42a2b2)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.题型二用放缩法证明不等式例2若a，bR，求证：.证明方法一当|ab|0时，不等式显然成立当|ab|0时，由0|ab|a|b|，可得，所以.方法二令f(x)
9、(x0)，易知f(x)在0，)上为增函数，又|ab|a|b|，f(|ab|)f(|a|b|)即.思维升华(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧常见的放缩变换有：变换分式的分子和分母，如，.上面不等式中kN*，k1；利用函数的单调性；真分数性质：“若0a0，则”(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度跟踪训练2设n是正整数，求证：n(k1,2，n)，得.当k1时，；当k2时，；当kn时，0)，且xyz的最大值为，求a的值解(1)由题意，知g(x4)m2|x411|m2|x7|.若2f(x)g(x4)恒成立，则2|x3|m2|x7|，即m2(|x3|x7|)而由绝
10、对值三角不等式可得2(|x3|x7|)2|(x3)(x7)|20，当且仅当(x3)(x7)0时等号成立m20，故m的最大值t为20.(2)实数x，y，z满足2x23y26z2a(a0)，由柯西不等式可得(x)2(y)2(z)22，即a1(xyz)2，当且仅当2x3y6z时等号成立，xyz.又xyz的最大值是1，1，a1.思维升华(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(aaa)(111)2n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件跟踪
11、训练3(1)已知函数f(x)|x1|x3|，求x的取值范围，使f(x)为常函数；(2)若x，y，zR，x2y2z21，求mxyz的最大值解(1)f(x)|x1|x3|则当x3,1时，f(x)为常函数(2)由柯西不等式，得(x2y2z2)()2()2()2(xyz)2，当且仅当时等号成立所以|xyz|3，因此m的最大值为3.1(2018常镇模拟)已知a，b，c为正数，且abc3，求的最大值解由柯西不等式可得()2(121212)()2()2()2312，6，当且仅当时取等号的最大值是6.2已知xy1，求2x23y2的最小值解由柯西不等式可知，(2x23y2)2(xy)21，2x23y2，当且仅当
12、2x3y，即x，y时，等号成立2x23y2的最小值为.3(2018江苏)若x，y，z为实数，且x2y2z6，求x2y2z2的最小值证明由柯西不等式，得(x2y2z2)(122222)(x2y2z)2.因为x2y2z6，所以x2y2z24，当且仅当时，不等式取等号，此时x，y，z，所以x2y2z2的最小值为4.4设a，b，c，d均为正数，且abcd，证明：(1)若abcd，则；(2)是|ab|cd，得()2()2.因此.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd，由(1)得，即必要性成立；若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd，于是(ab)2(
13、ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|是|ab|cd|的充要条件5(1)关于x的不等式|x3|x4|a的解集不是空集，求a的取值范围；(2)设x，y，zR，且1，求xyz的取值范围解(1)|x3|x4|(x3)(x4)|1，且|x3|x4|1，即a的取值范围是(1，)(2)由柯西不等式，得42()2222(xyz)2，即251(xyz)2，当且仅当时等号成立5|xyz|，5xyz5.xyz的取值范围是5,56设a，b，c为正实数且abc1.(1)求证：2abbcca；(2)求证：2.证明(1)因为1(abc)2a2b2c22ab2bc2ca4ab2bc2cac2，所以2abbc
14、ca(4ab2bc2cac2).(2)因为，所以abc2a2b2c2，当且仅当abc时取等号7(2018江苏省盐城中学模拟)已知ab0，且ma.(1)试利用基本不等式，求m的最小值t；(2)若实数x，y，z满足x24y2z2t，求证：|x2yz|3.(1)解由三个数的基本不等式得m(ab)b33(当且仅当abb，即b1，a2时取“”)，故有t3.(2)证明x24y2z23，由柯西不等式得x2(2y)2z2(121212)(x2yz)2(当且仅当时取“”)，整理得(x2yz)29，即|x2yz|3.8已知函数f(x)2|x2|3|x3|，若函数f(x)的最小值为m，正实数a，b满足4a25bm，
15、求的最小值，并求出此时a，b的值解依题意，f(x)当x3时，函数f(x)有最小值10，故4a25b10，故(4a25b)，当且仅当时等号成立，此时a，b.9已知a，b，c为正实数，且abc2.(1)求证：abbcac；(2)若a，b，c都小于1，求a2b2c2的取值范围(1)证明abc2，a2b2c22ab2bc2ca4，2a22b22c24ab4bc4ca8，82a22b22c24ab4bc4ca6ab6bc6ac，当且仅当abc时取等号，abbcac.(2)解由题意可知，a2b2c22ab2bc2ca4，4a2b2c2a2b2b2c2a2c23(a2b2c2)，当且仅当abc时取等号，a2
16、b2c2.0aa2.同理bb2，cc2.a2b2c2abc2，a2b2c22，a2b2c2的取值范围为.10已知函数f(x)k|x3|，kR，且f(x3)0的解集为1,1(1)求k的值；(2)若a，b，c是正实数，且1，求证：abc1.(1)解因为f(x)k|x3|，所以f(x3)0等价于|x|k.由|x|k有解，得k0，且其解集为x|kxk因为f(x3)0的解集为1,1，所以k1.(2)证明由(1)知1，因为a，b，c是正实数，所以a2b3c(a2b3c)3332229，当且仅当a2b3c时取等号，所以abc1.11已知函数f(x)m|x1|x2|，mR，且f(x1)0的解集为0,1(1)求
17、m的值；(2)若a，b，c，x，y，zR，且x2y2z2a2b2c2m，求证：axbycz1.(1)解由f(x1)0，得|x|x1|m.|x|x1|1恒成立，若m1，当x0时，x1时，得2x1m,11时，不等式|x|x1|m的解集为.由题意知，原不等式的解集为0,10，1，解得m1(舍)m1.(2)证明x2a22ax，y2b22by，z2c22cz，当且仅当xa，yb，zc时等号成立三式相加，得x2y2z2a2b2c22ax2by2cz.由题意及(1)，知x2y2z2a2b2c2m1，22(axbycz)，axbycz1，不等式得证12已知a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)(1)求的最
18、小值；(2)求证：(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.(1)解因为a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，所以33336，当且仅当且ab，即ab且x1x21时，有最小值6.(2)证明方法一由a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)及柯西不等式，得(ax1bx2)(ax2bx1)()2()2()2()2()2(ab)2x1x2，当且仅当，即x1x2时取得等号所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.方法二因为a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，所以(ax1bx2)(ax2bx1)a2x1x2abxabxb2x1x2x1x2(a2b2)ab(xx)x1x2(a2b2)ab(2x1x2)x1x2(a2b22ab)x1x2(ab)2x1x2，当且仅当x1x2时，取得等号所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.14