1、第2课时简单的三角恒等变换题型一三角函数式的化简1化简：_.答案2cos解析原式2cos .2化简：_.答案cos2x解析原式cos2x.3化简：2cos()解原式.思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点题型二三角函数的求值命题点1给角求值与给值求值例1(1)2sin50sin10(1tan10)_.答案解析原式sin80cos102sin 50cos 10sin 10cos(6010)2sin(5010)2.(2)已知cos，则si
2、n_.答案解析由题意可得cos2，cossin2，即sin2.因为cos0，所以0，2，根据同角三角函数基本关系式，可得cos2，由两角差的正弦公式，可得sinsin2coscos2sin.(3)已知cos，则的值为_答案解析sin2sin2tan.由，得0.又(，2)，.(2)已知，(0，)，且tan()，tan，则2的值为_答案解析tantan()0，00，02，tan(2)1.tan0，20，2.引申探究本例(1)中，若，为锐角，sin，cos，则_.答案解析，为锐角，cos，sin，cos()coscossinsin.又00，2sin3cos，又sin2cos21，cos，sin，.(
3、2)已知sin，sin()，均为锐角，则_.答案解析因为，均为锐角，所以.又sin()，所以cos().又sin ，所以cos ，所以sin sin()sin cos()cos sin().所以.题型三三角恒等变换的应用例3已知函数f(x)sin2xcos2x2sinxcosx(xR)(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间解(1)由sin，cos，得f2222.(2)由cos2xcos2xsin2x与sin2x2sinxcosx，得f(x)cos2xsin2x2sin.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质，得2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.所以f(x)的单调递
4、增区间为(kZ)思维升华三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用(2)把形如yasinxbcosx化为ysin(x)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性跟踪训练2已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3，)(1)求sin2tan的值；(2)若函数f(x)cos(x)cossin(x)sin，求函数g(x)f2f2(x)在区间上的值域解(1)角的终边经过点P(3，)，sin，cos，tan.sin2tan2sincostan.(2)f(x)cos(x)cossin(x)sinc
5、osx，xR，g(x)cos2cos2xsin2x1cos2x2sin1，0x，2x.sin1，22sin11，故函数g(x)f2f2(x)在区间上的值域是2,1化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用讨论形如yasin xbcos x型函数的性质，一律化成ysin(x)型的函数；研究yAsin(x)型函数的最值、单调性，可将x视为一个整体，换元后结合ysin x的图象解决例已知函数f(x)4tanxsincos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性解(1)f(x)的定义域为.f(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xco
6、s x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.(2)因为x，所以2x，由ysin x的图象可知，当2x，即x时，f(x)单调递减；当2x，即x时，f(x)单调递增所以当x时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减1若sin，则cos_.答案解析coscoscos.24cos50tan40_.答案解析原式4sin40.3已知sin2，tan()，则tan()_.答案2解析由题意，可得cos 2，则tan 2，tan()tan2()2.4(2017江苏)若tan，则tan_.答案解析方法一tan，6tan61tan(tan1)，t
7、an.方法二tantan.5若cos，则sin2_.答案解析由cos，可得cossin，两边平方得(12sincos)，sin2.6已知cos4sin4，且，则cos_.答案解析cos4sin4(sin2cos2)(cos2sin2)cos2，又，2(0，)，sin2，coscos2sin2.7函数f(x)3sincos4cos2(xR)的最大值等于_答案解析由题意知f(x)sinx4sinx2cosx2sin(x)2，其中cos，sin，xR，f(x)max2.8在斜三角形ABC中，sinAcosBcosC，且tanBtanC1，则角A的值为_答案解析由题意知，sin Asin(BC)sin
8、 Bcos Ccos Bsin Ccos Bcos C，在等式cos Bcos Csin Bcos Ccos Bsin C两边同除以cos Bcos C，得tan Btan C，又tan(BC)1tan A，即tan A1，因为0A，所以A.9定义运算adbc.若cos，0，则_.答案解析由题意有sincoscossinsin()，又0，0，故cos()，而cos，sin，于是sinsin()sincos()cossin().又0，故.10函数f(x)sinx2sin2x的最小值是_答案1解析f(x)sinx2sin1，又x，x，f(x)min2sin11.11已知tan，cos，则tan()
9、_，_.答案1解析由cos，得sin，tan2.tan()1.，.12(2018浙江)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin()的值；(2)若角满足sin()，求cos的值解(1)由角的终边过点P，得sin.所以sin()sin.(2)由角的终边过点P，得cos.由sin()，得cos().由()，得coscos()cossin()sin，所以cos或cos.13已知，且cos，sin，则cos()_.答案解析，又cos，sin，sin，sin，又，cos，cos()coscoscossinsin.14在ABC中，A，B，C是ABC的内角，设函数f(
10、A)2sinsinsin2cos2，则f(A)的最大值为_答案解析f(A)2cossinsin2cos2sinAcosAsin，因为0A，所以A0，cos ，又(0，)，.将代入得cos ，又(0，)，.16已知函数f(x)2sinxcosx2cos2x1(xR)(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若f(x0)，x0，求cos2x0的值解(1)由f(x)2sin xcos x2cos2x1，得f(x)(2sin xcos x)(2cos2x1)sin 2xcos 2x2sin，所以函数f(x)的最小正周期为.易知f(x)2sin在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f(0)1，f2，f1，所以函数f(x)在上的最大值为2，最小值为1.(2)2sin，sin.又x0，2x0，cos.cos 2x0coscoscossinsin.15