1、4.6正弦定理和余弦定理考情考向分析以利用正弦、余弦定理和三角形面积公式解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识题型多样，中档难度1正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)2R(2)a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC变形(3)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；(4)sinA，sinB，sinC；(5)abcsinAsinBsinC；(6)asinBbsinA，bsinCcsinB，a
2、sinCcsinA(7)cosA；cosB；cosC2在ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAbsinAab解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)SabsinCacsinBbcsinA；(3)Sr(abc)(r为三角形内切圆半径)概念方法微思考1在ABC中，AB是否可推出sinAsinB?提示在ABC中，由AB可推出sinAsinB.2如图，在ABC中，有如下结论：bcosCccosBa.试类比写出另外两个式子提示acosBbcosAc；acosCccosAb.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请
3、在括号中打“”或“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比()(2)当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形()(3)在ABC中，.()(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积()题组二教材改编2P9T2在ABC中，AB，A75，B45，则AC.答案2解析C180754560，由正弦定理得，即，解得AC2.3P11T6在ABC中，A60，b1，面积为，则边长c.答案4解析A60，b1，面积为bcsinA1c，c4.4P11T7ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosBacosCccosA，则B.答案解析由正弦定理可得，2cosBsinBsinAcosCs
4、inCcosAsin(AC)sinB，sinB0，cosB，0B，B.题组三易错自纠5在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcosA，则ABC的形状为三角形答案钝角解析由已知及正弦定理得sinCsinBcosA，sin(AB)sinBcosA，sinAcosBcosAsinBsinBcosA，即sinAcosB0，cosB0，B为钝角，故ABC为钝角三角形6在ABC中，已知a2，b，A45，则满足条件的三角形有个答案2解析bsinA，bsinAab.满足条件的三角形有2个7设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sinA5sinB，则C.答案解析由3
5、sinA5sinB及正弦定理，得3a5b.又因为bc2a，所以ab，cb，所以cosC.因为C(0，)，所以C.题型一利用正弦、余弦定理解三角形例1(2018天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinAacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsinAasinB.又由bsinAacos，得asinBacos，即sinBcos，所以tanB.又因为B(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accosB7，故b.由bsinAacos，可得sinA.因为ac，所
6、以cosA.因此sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB.思维升华 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系跟踪训练1(1)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bc，a22b2(1sinA)，则A.答案解析在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bc
7、cosA，bc，a22b2(1cosA)，又a22b2(1sinA)，cosAsinA，tanA1，A(0，)，A.(2)如图所示，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD,2ABBD，BC2BD，则sinC的值为答案解析设ABa，ABAD,2ABBD，BC2BD，ADa，BD，BC.在ABD中，cosADB，sinADB，sinBDC.在BDC中，sin C.题型二和三角形面积有关的问题例2在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2acosB.(1)证明：A2B；(2)若ABC的面积S，求角A的大小(1)证明由正弦定理得sinBsinC2sinAcosB，故2sinAco
8、sBsinBsin(AB)sinBsinAcosBcosAsinB，于是sinBsin(AB)又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)解由S，得absinC，故有sinBsinCsinAsin2BsinBcosB，由sinB0，得sinCcosB.又B，C(0，)，所以CB.当BC时，A；当CB时，A.综上，A或A.思维升华 (1)对于面积公式SabsinCacsinBbcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化跟踪训练2(1)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a
9、，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC的面积是答案解析c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcosa2b2ab.由得ab60，即ab6.SABCabsinC6.(2)(2019江苏省淮海中学测试)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA，b5c.求sinC的值；若ABC的面积SsinBsinC，求a的值解a2b2c22bccosA26c210c218c2，a3c.cosA，0A0)则cosC0，C为钝角ABC为钝角三角形引申探究1本例(1)中，若将条件变为2sinAcosBsinC，判断ABC的形状解2sinAcosBsinCsin(AB)，2s
10、inAcosBsinAcosBcosAsinB，sin(AB)0.又A，B为ABC的内角AB，ABC为等腰三角形2本例(1)中，若将条件变为a2b2c2ab，且2cosAsinBsinC，判断ABC的形状解a2b2c2ab，cosC，又0Cc，可得30B180，B60或B120.3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2AsinA，bc2，则ABC的面积为答案解析由cos 2Asin A，得12sin2Asin A，解得sin A(负值舍去)，由bc2，可得ABC的面积Sbcsin A2.4在ABC中，cos，则ABC的形状是三角形答案等腰解析由已知得cos2，2cos21c
11、osB，cosAcosB，又0A，0B，AB，ABC为等腰三角形5在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tanBac，则角B的值为答案或解析由余弦定理，得cosB，结合已知等式得cosBtanB，sinB，又0B，B或.6设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sinB，C，则b.答案1解析因为sin B且B(0，)，所以B或B.又C，BC，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.7已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC，bcosAacosB2，则ABC的外接圆面积为答案9解析因为bcos Aacos B2，所以由余弦定
12、理得ba2，解得c2(c0舍去)由cos C，得sin C，再由正弦定理可得2R6(R为ABC外接圆半径)，所以R3，所以ABC的外接圆面积为R29.8在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若SABC2，ab6，2cosC，则c.答案2解析2cosC，由正弦定理，得sinAcosBcosAsinB2sinCcosC，sin(AB)sinC2sinCcosC，由于0C，sinC0，cosC，C，SABC2absinCab，ab8，又ab6，解得或c2a2b22abcosC416812，c2.9ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为答案1
13、解析b2，B，C.由正弦定理，得c2，A，sinAsinsincoscossin.则SABCbcsinA221.10若E，F是等腰直角三角形ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF.答案解析如图，设AB6，则AEEFFB2.因为ABC为等腰直角三角形，所以ACBC3.在ACE中，A，AE2，AC3，由余弦定理可得CE.同理，在BCF中可得CF.在CEF中，由余弦定理得cosECF，sinECF，所以tanECF.11在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acb，sinBsinC.(1)求cosA的值；(2)求cos的值解(1)在ABC中，由及sin Bsin C，可得bc，
14、又由acb，得a2c，所以cos A.(2)在ABC中，由cos A，可得sin A.于是cos 2A2cos2A1，sin 2A2sin Acos A.所以coscos 2Acos sin 2Asin .12(2018北京)在ABC中，a7，b8，cosB.(1)求A；(2)求AC边上的高解(1)在ABC中，因为cosB，所以sinB.由正弦定理得sinA.由题设知B，所以0A，所以A.(2)在ABC中，因为sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，所以AC边上的高为asinC7.13已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2c2bc，a3，则ABC的周长的
15、最大值为答案9解析a2b2c2bc，bcb2c2a2，cos A，A(0，)，A.a3，由正弦定理得2，b2 sin B，c2 sin C，则abc32sin B2 sin C32sin B2sin33sin B3cos B36sin，B，当B时周长取得最大值9.14(2018如皋联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，成等差数列，则cosC的最小值为答案解析，成等差数列，即，可得，cosC，则，化简得2(a2b2)3c2，cosC(当且仅当a2b2时等号成立)15若AB2，ACBC，则SABC的最大值为答案2解析设BCx，则ACx.根据三角形的面积公式，得SABCABBC
16、sinBx.根据余弦定理，得cosB.将代入，得SABCx.由三角形的三边关系，得解得22x22，故当x2时，SABC取得最大值2.16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2(bc)2(2)bc，且sinB1cosC，BC边上的中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小；(2)求ABC的面积解(1)由a2(bc)2(2)bc，得a2b2c2bc，即b2c2a2bc，cosA，又0A，A.又sinB1cosC,0sinB1，cosC0，即C为钝角，B为锐角，且BC，则sin1cosC，化简得cos1，解得C，B.(2)由(1)知，ab，sinC，cosC，在ACM中，由余弦定理得AM2b222bcosCb2()2，解得b2，故SABCabsinC22.17