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江苏专用2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.6正弦定理和余弦定理教案含解析

1、4.6正弦定理和余弦定理考情考向分析以利用正弦、余弦定理和三角形面积公式解三角形为主,常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查,加强数形结合思想的应用意识题型多样,中档难度1正弦定理、余弦定理在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为ABC外接圆半径,则定理正弦定理余弦定理内容(1)2R(2)a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC变形(3)a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC;(4)sinA,sinB,sinC;(5)abcsinAsinBsinC;(6)asinBbsinA,bsinCcsinB,a

2、sinCcsinA(7)cosA;cosB;cosC2在ABC中,已知a,b和A时,解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAbsinAab解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高);(2)SabsinCacsinBbcsinA;(3)Sr(abc)(r为三角形内切圆半径)概念方法微思考1在ABC中,AB是否可推出sinAsinB?提示在ABC中,由AB可推出sinAsinB.2如图,在ABC中,有如下结论:bcosCccosBa.试类比写出另外两个式子提示acosBbcosAc;acosCccosAb.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请

3、在括号中打“”或“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比()(2)当b2c2a20时,三角形ABC为锐角三角形()(3)在ABC中,.()(4)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积()题组二教材改编2P9T2在ABC中,AB,A75,B45,则AC.答案2解析C180754560,由正弦定理得,即,解得AC2.3P11T6在ABC中,A60,b1,面积为,则边长c.答案4解析A60,b1,面积为bcsinA1c,c4.4P11T7ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosBacosCccosA,则B.答案解析由正弦定理可得,2cosBsinBsinAcosCs

4、inCcosAsin(AC)sinB,sinB0,cosB,0B,B.题组三易错自纠5在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cbcosA,则ABC的形状为三角形答案钝角解析由已知及正弦定理得sinCsinBcosA,sin(AB)sinBcosA,sinAcosBcosAsinBsinBcosA,即sinAcosB0,cosB0,B为钝角,故ABC为钝角三角形6在ABC中,已知a2,b,A45,则满足条件的三角形有个答案2解析bsinA,bsinAab.满足条件的三角形有2个7设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若bc2a,3sinA5sinB,则C.答案解析由3

5、sinA5sinB及正弦定理,得3a5b.又因为bc2a,所以ab,cb,所以cosC.因为C(0,),所以C.题型一利用正弦、余弦定理解三角形例1(2018天津)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinAacos.(1)求角B的大小;(2)设a2,c3,求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中,由正弦定理,可得bsinAasinB.又由bsinAacos,得asinBacos,即sinBcos,所以tanB.又因为B(0,),所以B.(2)在ABC中,由余弦定理及a2,c3,B,得b2a2c22accosB7,故b.由bsinAacos,可得sinA.因为ac,所

6、以cosA.因此sin2A2sinAcosA,cos2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB.思维升华 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系跟踪训练1(1)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知bc,a22b2(1sinA),则A.答案解析在ABC中,由余弦定理得a2b2c22bc

7、cosA,bc,a22b2(1cosA),又a22b2(1sinA),cosAsinA,tanA1,A(0,),A.(2)如图所示,在ABC中,D是边AC上的点,且ABAD,2ABBD,BC2BD,则sinC的值为答案解析设ABa,ABAD,2ABBD,BC2BD,ADa,BD,BC.在ABD中,cosADB,sinADB,sinBDC.在BDC中,sin C.题型二和三角形面积有关的问题例2在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bc2acosB.(1)证明:A2B;(2)若ABC的面积S,求角A的大小(1)证明由正弦定理得sinBsinC2sinAcosB,故2sinAco

8、sBsinBsin(AB)sinBsinAcosBcosAsinB,于是sinBsin(AB)又A,B(0,),故0AB,所以B(AB)或BAB,因此A(舍去)或A2B,所以A2B.(2)解由S,得absinC,故有sinBsinCsinAsin2BsinBcosB,由sinB0,得sinCcosB.又B,C(0,),所以CB.当BC时,A;当CB时,A.综上,A或A.思维升华 (1)对于面积公式SabsinCacsinBbcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化跟踪训练2(1)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a

9、,b,c.若c2(ab)26,C,则ABC的面积是答案解析c2(ab)26,c2a2b22ab6.C,c2a2b22abcosa2b2ab.由得ab60,即ab6.SABCabsinC6.(2)(2019江苏省淮海中学测试)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA,b5c.求sinC的值;若ABC的面积SsinBsinC,求a的值解a2b2c22bccosA26c210c218c2,a3c.cosA,0A0)则cosC0,C为钝角ABC为钝角三角形引申探究1本例(1)中,若将条件变为2sinAcosBsinC,判断ABC的形状解2sinAcosBsinCsin(AB),2s

10、inAcosBsinAcosBcosAsinB,sin(AB)0.又A,B为ABC的内角AB,ABC为等腰三角形2本例(1)中,若将条件变为a2b2c2ab,且2cosAsinBsinC,判断ABC的形状解a2b2c2ab,cosC,又0Cc,可得30B180,B60或B120.3在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos2AsinA,bc2,则ABC的面积为答案解析由cos 2Asin A,得12sin2Asin A,解得sin A(负值舍去),由bc2,可得ABC的面积Sbcsin A2.4在ABC中,cos,则ABC的形状是三角形答案等腰解析由已知得cos2,2cos21c

11、osB,cosAcosB,又0A,0B,AB,ABC为等腰三角形5在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2c2b2)tanBac,则角B的值为答案或解析由余弦定理,得cosB,结合已知等式得cosBtanB,sinB,又0B,B或.6设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a,sinB,C,则b.答案1解析因为sin B且B(0,),所以B或B.又C,BC,所以B,ABC.又a,由正弦定理得,即,解得b1.7已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosC,bcosAacosB2,则ABC的外接圆面积为答案9解析因为bcos Aacos B2,所以由余弦定

12、理得ba2,解得c2(c0舍去)由cos C,得sin C,再由正弦定理可得2R6(R为ABC外接圆半径),所以R3,所以ABC的外接圆面积为R29.8在ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若SABC2,ab6,2cosC,则c.答案2解析2cosC,由正弦定理,得sinAcosBcosAsinB2sinCcosC,sin(AB)sinC2sinCcosC,由于0C,sinC0,cosC,C,SABC2absinCab,ab8,又ab6,解得或c2a2b22abcosC416812,c2.9ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b2,B,C,则ABC的面积为答案1

13、解析b2,B,C.由正弦定理,得c2,A,sinAsinsincoscossin.则SABCbcsinA221.10若E,F是等腰直角三角形ABC斜边AB上的三等分点,则tanECF.答案解析如图,设AB6,则AEEFFB2.因为ABC为等腰直角三角形,所以ACBC3.在ACE中,A,AE2,AC3,由余弦定理可得CE.同理,在BCF中可得CF.在CEF中,由余弦定理得cosECF,sinECF,所以tanECF.11在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知acb,sinBsinC.(1)求cosA的值;(2)求cos的值解(1)在ABC中,由及sin Bsin C,可得bc,

14、又由acb,得a2c,所以cos A.(2)在ABC中,由cos A,可得sin A.于是cos 2A2cos2A1,sin 2A2sin Acos A.所以coscos 2Acos sin 2Asin .12(2018北京)在ABC中,a7,b8,cosB.(1)求A;(2)求AC边上的高解(1)在ABC中,因为cosB,所以sinB.由正弦定理得sinA.由题设知B,所以0A,所以A.(2)在ABC中,因为sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB,所以AC边上的高为asinC7.13已知ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2b2c2bc,a3,则ABC的周长的

15、最大值为答案9解析a2b2c2bc,bcb2c2a2,cos A,A(0,),A.a3,由正弦定理得2,b2 sin B,c2 sin C,则abc32sin B2 sin C32sin B2sin33sin B3cos B36sin,B,当B时周长取得最大值9.14(2018如皋联考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若,成等差数列,则cosC的最小值为答案解析,成等差数列,即,可得,cosC,则,化简得2(a2b2)3c2,cosC(当且仅当a2b2时等号成立)15若AB2,ACBC,则SABC的最大值为答案2解析设BCx,则ACx.根据三角形的面积公式,得SABCABBC

16、sinBx.根据余弦定理,得cosB.将代入,得SABCx.由三角形的三边关系,得解得22x22,故当x2时,SABC取得最大值2.16在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2(bc)2(2)bc,且sinB1cosC,BC边上的中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小;(2)求ABC的面积解(1)由a2(bc)2(2)bc,得a2b2c2bc,即b2c2a2bc,cosA,又0A,A.又sinB1cosC,0sinB1,cosC0,即C为钝角,B为锐角,且BC,则sin1cosC,化简得cos1,解得C,B.(2)由(1)知,ab,sinC,cosC,在ACM中,由余弦定理得AM2b222bcosCb2()2,解得b2,故SABCabsinC22.17