1、2.1函数及其表示最新考纲1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)1函数2函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(2)函数的三要素：定义
2、域、对应关系和值域(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法3分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数概念方法微思考请你概括一下求函数定义域的类型提示(1)分式型；(2)根式型；(3)对数式型；(4)指数函数、对数函数型；(5)三角函数型题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)对于函数f：AB，其值域就是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等()(3)函数f(x)的图象与直线x1最多有一个交点()(4)分段函数是由两个或几个函数组成的()题组二教材改编2函数f(
3、x)的定义域是_答案(，1)(1,43函数yf(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是_；值域是_；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是_答案3,02,31,51,2)(4,5题组三易错自纠4已知集合Px|0x4，Qy|0y2，下列各对应关系f不能表示从P到Q的函数的是_(填序号)f：xyx；f：xyx；f：xyx；f：xy.答案解析对于，因为当x4时，y4Q，所以不是从P到Q的函数5已知f()x1，则f(x)_.答案x21(x0)解析令t，则t0，xt2，所以f(t)t21(t0)，即f(x)x21(x0)6设f(x)则f(f(2)_.答案解析因为20，所以f(f(2)f11.题型
4、一函数的定义域命题点1求函数的定义域例1(1)(2018江苏)函数f(x)的定义域为_答案x|x2解析由log2x10，即log2xlog22，解得x2，满足x0，所以函数f(x)的定义域为x|x2(2)函数f(x)ln的定义域为_答案4,0)(0,1)解析由解得4x0或0x1，故函数f(x)的定义域为4,0)(0,1)(3)若函数yf(x)的定义域是0,2 020，则函数g(x)的定义域是()A1,2 019B1,1)(1,2 019C0,2 020D1,1)(1,2 020答案B解析使函数f(x1)有意义，则0x12020，解得1x2019，故函数f(x1)的定义域为1，2 019所以函数
5、g(x)有意义的条件是解得1x1或1x2019.故函数g(x)的定义域为1,1)(1,2 019引申探究本例(3)中，若将“函数yf(x)的定义域为0,2 020”，改为“函数f(x1)的定义域为0,2 020”，则函数g(x)的定义域为_答案2,1)(1,2 018解析由函数f(x1)的定义域为0,2 020，得函数yf(x)的定义域为1,2 019，令则2x2018且x1.所以函数g(x)的定义域为2,1)(1,2 018命题点2已知定义域求参数的值或范围例2(1)若函数f(x)的定义域为x|1x2，则ab的值为_答案解析函数f(x)的定义域是不等式ax2abxb0的解集不等式ax2abx
6、b0的解集为x|1x2，所以解得所以ab3.(2)设f(x)的定义域为0,1，要使函数f(xa)f(xa)有定义，则a的取值范围为_答案解析函数f(xa)f(xa)的定义域为a,1aa,1a，当a0时，应有a1a，即0a；当a0时，应有a1a，即a0.所以a的取值范围是.思维升华(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍(2)求抽象函数的定义域：若yf(x)的定义域为(a，b)，则解不等式ag(x)b即可求出yf(g(x)的定义域；若yf(g(x)的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域(3)已知函数定义域求参数的
7、值或范围，可将问题转化成含参数的不等式(组)，然后求解跟踪训练1(1)函数yln的定义域为_答案(0,1解析函数的定义域满足解得0x1.(2)若函数yf(x)的定义域为0,2，则函数g(x)的定义域是()A0,1) B0,1C0,1)(1,4D(0,1)答案A解析函数yf(x)的定义域是0,2，要使函数g(x)有意义，可得解得0x1，故选A.(3)若函数f(x)的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是_答案0,4解析由题意知，mx2mx10对xR恒成立当m0时，f(x)的定义域为一切实数；当m0时，由得00)解析在f(x)3f1中，将x换成，则换成x，得f3f(x)1，将该方程代入已知方程消去
8、f，得f(x)(x0)思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)消去法：已知f(x)与f或f(x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)题型三分段函数命题点1求分段函数的函数值例3(1)已知f(x)且f(0)2，f(1)3，则f(f(3)等于()A2B2C3D3答案B解析由题意得f(0)a0b1b
9、2，解得b1；f(1)a1ba113，解得a.故f(3)319，从而f(f(3)f(9)log392.(2)已知函数f(x)则f(2log32)的值为_答案解析2log312log322log33，即22log323，f(2log32)f(2log321)f(3log32)，又33log320，则|log2x|，解得x或x.故x的集合为.(2)已知函数f(x)若f(a)，则实数a的取值范围是_答案解析当a0时，令2a，解得10时，令a，解得0a.a(1,0，即a.思维升华(1)分段函数的求值问题的解题思路求函数值：当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值求自变量的值：先假设所求的值在分段
10、函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来跟踪训练2(1)已知函数f(x)若f(2a)1，则a等于()A2B1C1或D2答案B解析当2a2，即a0时，令22a211，解得a1；当2a0时，令log23(2a)1，解得a，不符合，舍去所以a1.(2)(2018全国)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A(，1 B(0，)C(1,0) D(，0)答案D解析方法一当即x1时，f(x1)f(2x)即为2(x1)22x，即(x1)2x，解得x1.因此不等式的解集为(，
11、1当时，不等式组无解当即1x0时，f(x1)f(2x)即122x，解得x0时，f(x1)1，f(2x)1，不合题意综上，不等式f(x1)f(2x)的解集为(，0)故选D.方法二f(x)函数f(x)的图象如图所示由图可知，当x10且2x0时，函数f(x)为减函数，故f(x1)2x.此时x1.当2x0时，f(2x)1，f(x1)1，满足f(x1)f(2x)此时1x0.综上，不等式f(x1)0时，每一个x对应2个y，图象中x0对应2个y，所以均不是函数图象；图象是函数图象2下列各组函数中，表示同一函数的是()Af(x)elnx，g(x)xBf(x)，g(x)x2Cf(x)，g(x)sinxDf(x)
12、|x|，g(x)答案D解析A，B，C的定义域不同，所以答案为D.3(2018郑州调研)函数f(x)ln的定义域为()A(0，) B(1，)C(0,1) D(0,1)(1，)答案B解析要使函数f(x)有意义，应满足解得x1，故函数f(x)ln的定义域为(1，)4(2018湖南五市十校联考)若函数f(x21)的定义域为1,1，则f(lgx)的定义域为()A1,1B1,2C10,100D0，lg 2答案C解析因为f(x21)的定义域为1,1，则1x1，故0x21，所以1x212.因为f(x21)与f(lgx)是同一个对应关系，所以1lgx2，故10x100，所以函数f(lgx)的定义域为10,100
13、故选C.5已知f2x5，且f(a)6，则a等于()AB.C.D答案B解析令tx1，则x2t2，所以f(t)2(2t2)54t1，所以f(a)4a16，即a.6已知f，则f(x)的解析式为()Af(x)(x1) Bf(x)(x1)Cf(x)(x1) Df(x)(x1)答案C解析令t，则x，所以f(t)，故函数f(x)的解析式为f(x)(x1)，故选C.7设f(x)且f6，则f(f(2)的值为()A27B243C.D.答案B解析f3(t1)6，t5，f(x)f(2)log2(2)25log290，f(f(2)f(log29)333381243.故选B.8.如图，AOD是一直角边长为1的等腰直角三角
14、形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQAB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设APx(0x2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y，则函数yf(x)的大致图象是()答案A解析观察可知阴影部分的面积y的变化情况为：(1)当0x1时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越快(2)当1x0，由f(x)的图象可知，当x(2,8时，f(x)0.11(2018河南南阳一中月考)已知函数f(x)则不等式f(x)5的解集为_答案2,4解析由于f(x)当x0时，令3log2x5，即log2x2log24，解得0x4；当x0时，令x2x15，即(x3)(x2)0，解得2
15、x3，2x0.不等式f(x)5的解集为2,412定义新运算“”：当mn时，mnm；当m1，f.又1，f，即f.14.如图为一木制框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为4m2，设用x表示y的表达式为f(x)，则f(x)_.答案(0x4)解析由已知xyxx4，yx，即f(x).由得0x4.15已知函数f(x)满足对任意的xR都有ff4成立，则ffff_.答案30解析由ff4，得ff4，ff4，ff4，又f2，ffff47230.16已知具有性质：ff(x)的函数，我们称f(x)为满足“倒负”变换的函数，下列函数：f(x)x；f(x)x；f(x)其中满足“倒负”变换的函数是_(填序号)答案解析对于，f(x)x，fxf(x)，满足；对于，fxf(x)，不满足；对于，f即f故ff(x)，满足综上，满足“倒负”变换的函数是.13