1、8.6立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直最新考纲1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系.3.能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)1两个重要向量直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个平面的法向量直线l平面，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面的法向量显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为
2、mlnmmn0lnmnm平面，的法向量分别为n，mnmnmnmnm0概念方法微思考1直线的方向向量如何确定？提示l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量2如何确定平面的法向量？提示设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线的方向向量是唯一确定的()(2)平面的单位法向量是唯一确定的()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行()(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行()(5)若ab，则a所在直线与b所在直线平行()(6)若空间向量a平行于平面，则a所在
3、直线与平面平行()题组二教材改编2设u，v分别是平面，的法向量，u(2，2，5)，当v(3，2，2)时，与的位置关系为_；当v(4，4，10)时，与的位置关系为_答案解析当v(3，2，2)时，uv(2，2，5)(3，2，2)0.当v(4，4，10)时，v2u.3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_答案垂直解析以A为原点，分别以，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，M，O，N，0，ON与AM垂直题组三易错自纠4直线l的方向向量a(1，3
4、，5)，平面的法向量n(1，3，5)，则有()AlBlCl与斜交Dl或l答案B解析由an知，na，则有l，故选B.5已知平面，的法向量分别为n1(2，3，5)，n2(3，1，4)，则()ABC，相交但不垂直D以上均不对答案C解析n1n2，且n1n22(3)315(4)230，既不平行，也不垂直6已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A(1，1，1) B(1，1，1)C.D.答案C解析设n(x，y，z)为平面ABC的法向量，(1，1，0)，(1，0，1)，则化简得xyz.故选C.题型一利用空间向量证明平行问题例1如图所示，平面PAD平面AB
5、CD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点求证：PB平面EFG.证明平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD，AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)(2，0，2)，(0，1，0)，(1，1，1)，设st，即(2，0，2)s(0，1，0)t(1，1，1)，解得st2，22，又与
6、不共线，与共面PB平面EFG，PB平面EFG.引申探究若本例中条件不变，证明平面EFG平面PBC.证明(0，1，0)，(0，2，0)，2，BCEF.又EF平面PBC，BC平面PBC，EF平面PBC，同理可证GFPC，从而得出GF平面PBC.又EFGFF，EF，GF平面EFG，平面EFG平面PBC.思维升华利用空间向量证明平行的方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行面面平行证明两平面的法向量为共线向量；转化为线面平行、线线平行问题跟踪训练1如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC90.点D，E
7、，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2.求证：MN平面BDE.证明如图，以A为原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系由题意，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0)(0，2，0)，(2，0，2)设n(x，y，z)为平面BDE的一个法向量，则即不妨设z1，可得n(1，0，1)又(1，2，1)，可得n0.因为MN平面BDE，所以MN平面BDE.题型二利用空间向量证明垂直问题命题点1证明线面垂直例2如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的
8、直三棱柱)ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点求证：AB1平面A1BD.证明方法一设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数，使m.令a，b，c，显然它们不共面，并且|a|b|c|2，abac0，bc2，以它们为空间的一个基底，则ac，ab，ac，mabc，m(ac)4240.故m，结论得证方法二取BC的中点O，连接AO.因为ABC为正三角形，所以AOBC.因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，且平面ABC平面BCC1B1BC，AO平面ABC，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以OB，OO1
9、，OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(1，0，0)，D(1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)设平面A1BD的一个法向量为n(x，y，z)，(1，2，)，(2，1，0)因为n，n，故即令x1，则y2，z，故n(1，2，)为平面A1BD的一个法向量，而(1，2，)，所以n，所以n，故AB1平面A1BD.命题点2证明面面垂直例3如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB.求证：平面BCE平面CDE.证明设ADDE2AB2a，以A为原点，分别以AC，AB所在直线为x轴，z轴，以过点A垂直于AC的直线为y轴，建
10、立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)，E(a，a，2a)所以(a，a，a)，(2a，0，a)，(a，a，0)，(0，0，2a)设平面BCE的法向量为n1(x1，y1，z1)，由n10，n10可得即令z12，可得n1(1，2)设平面CDE的法向量为n2(x2，y2，z2)，由n20，n20可得即令y21，可得n2(，1，0)因为n1n211()200.所以n1n2，所以平面BCE平面CDE.思维升华利用空间向量证明垂直的方法线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向
11、量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示跟踪训练2如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD.证明：(1)PABD；(2)平面PAD平面PAB.证明(1)取BC的中点O，连接PO，平面PBC底面ABCD，PBC为等边三角形，平面PBC底面ABCDBC，PO平面PBC，PO底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示不妨设CD1，则ABBC2，PO，A(1，2，0)，
12、B(1，0，0)，D(1，1，0)，P(0，0，)，(2，1，0)，(1，2，)(2)1(1)(2)0()0，PABD.(2)取PA的中点M，连接DM，则M.，(1，0，)，100()0，即DMPB.10(2)()0，即DMPA.又PAPBP，PA，PB平面PAB，DM平面PAB.DM平面PAD，平面PAD平面PAB.题型三利用空间向量解决探索性问题例4(2018林州模拟)如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论(1)证明如图，以D为原点，分别以
13、DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设ADa，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F.，(0，a，0)0，即EFCD.(2)解设G(x，0，z)，则，若使GF平面PCB，则需0，且0，由(a，0，0)a0，得x；由(0，a，a)a0，得z0.G点坐标为，即G为AD的中点思维升华对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”跟踪训练3如图所示，四棱
14、锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PACD，PA1，PD，E为PD上一点，PE2ED.(1)求证：PA平面ABCD；(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，请说明理由(1)证明PAAD1，PD，PA2AD2PD2，即PAAD.又PACD，ADCDD，AD，CD平面ABCD，PA平面ABCD.(2)解以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，E，(1，1，0)，.设平面AEC的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，则n
15、(1，1，2)假设侧棱PC上存在一点F，且(01)，使得BF平面AEC，则n0.又(0，1，0)(，)(，1，)，n120，存在点F，使得BF平面AEC，且F为PC的中点1若直线l的方向向量为a(1，0，2)，平面的法向量为n(2，1，1)，则()AlBlCl或lDl与斜交答案C解析a(1，0，2)，n(2，1，1)，an0，即an，l或l.2若a(2，3，m)，b(2n，6，8)，且a，b为共线向量，则mn的值为()A7B.C6D8答案C解析由a，b为共线向量，知n0且，解得m4，n2，则mn6.故选C.3已知平面内有一点M(1，1，2)，平面的一个法向量为n(6，3，6)，则下列点P中，在
16、平面内的是()AP(2，3，3) BP(2，0，1)CP(4，4，0) DP(3，3，4)答案A解析逐一验证法，对于选项A，(1，4，1)，n61260，n，点P在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内4.如图，F是正方体ABCDA1B1C1D1的棱CD的中点，E是BB1上一点，若D1FDE，则有()AB1EEBBB1E2EBCB1EEBDE与B重合答案A解析以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，设E(2，2，z)，则(0，1，2)，(2，2，z)，02122z0，
17、z1，B1EEB.5设u(2，2，t)，v(6，4，4)分别是平面，的法向量若，则t等于()A3B4C5D6答案C解析，uv262(4)4t0，t5.6已知(1，5，2)，(3，1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数xy_.答案解析由条件得解得x，y，z4，xy.7(2018广州质检)已知平面内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面的一个法向量n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置关系是_答案解析设平面的法向量为m(x，y，z)，由m0，得x0yz0，即yz，由m0，得xz0，即xz，取x1，m(1，1，1)，mn，mn，.8已知点P是平行四边
18、形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_(填序号)答案解析0，0，ABAP，ADAP，则正确；又ABADA，AP平面ABCD，是平面ABCD的法向量，则正确；(2，3，4)，(1，2，1)，与不平行，故错误9.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E平面ABF，则CE与DF的和为_答案1解析以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设CEx，DFy，则易知E(x，1，1)，B1(1，1
19、，0)，F(0，0，1y)，B(1，1，1)，(x1，0，1)，(1，1，y)，B1E平面ABF，(1，1，y)(x1，0，1)0，即xy1.10.如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.证明：平面PQC平面DCQ.证明如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长度，DA，DP，DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.由题意得Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，则(1，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)0，0，即PQDQ，PQDC.又DQDCD，DQ，DC平面DCQ，PQ平面DCQ，又PQ平面PQC，平面PQC平面D
20、CQ.11.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点D是AB的中点(1)证明：ACBC1；(2)证明：AC1平面CDB1.证明因为直三棱柱ABCA1B1C1的底面边长分别为AC3，BC4，AB5，所以ABC为直角三角形，ACBC.所以AC，BC，C1C两两垂直如图，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，C1(0，0，4)，A1(3，0，4)，B1(0，4，4)，D.(1)因为(3，0，0)，(0，4，4)，所以0，所以ACBC1.(2)设CB1与C1B的交点为E，
21、连接DE，则E(0，2，2)，(3，0，4)，所以，DEAC1.因为DE平面CDB1，AC1平面CDB1，所以AC1平面CDB1.12.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直，M为AA1的中点，N为BC1的中点求证：(1)MN平面A1B1C1；(2)平面MBC1平面BB1C1C.证明由题意，知AA1，AB，AC两两垂直，以A为坐标原点，分别以AA1，AB，AC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设正方形AA1C1C的边长为2，则A(0，0，0)，A1(2，0，0)，B(0，2，0)，B1(2，2，0)，C(0，0，2
22、)，C1(2，0，2)，M(1，0，0)，N(1，1，1)(1)由题意知AA1A1B1，AA1A1C1，又A1B1A1C1A1，A1B1，A1C1平面A1B1C1，所以AA1平面A1B1C1.因为(2，0，0)，(0，1，1)，所以0，即.又MN平面A1B1C1，故MN平面A1B1C1.(2)设平面MBC1与平面BB1C1C的法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)因为(1，2，0)，(1，0，2)，所以即令x12，则平面MBC1的一个法向量为n1(2，1，1)同理可得平面BB1C1C的一个法向量为n2(0，1，1)因为n1n22011(1)10，所以n1n2，所以平面M
23、BC1平面BB1C1C.13.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE，则M点的坐标为()A(1，1，1)B.C.D.答案C解析设AC与BD相交于O点，连接OE，AM平面BDE，且AM平面ACEF，平面ACEF平面BDEOE，AMEO，又O是正方形ABCD对角线的交点，M为线段EF的中点在空间直角坐标系中，E(0，0，1)，F(，1)由中点坐标公式，知点M的坐标为.14.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交B平行C垂直DMN在平面B
24、B1C1C内答案B解析以点C1为坐标原点，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由于A1MAN，则M，N，.又C1D1平面BB1C1C，所以(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量因为0，所以，又MN平面BB1C1C，所以MN平面BB1C1C.15.如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周)若AMMP，则点P形成的轨迹长度为_答案解析以O点为坐标原点，OB，OS所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，1，0)，B(0，1，0)，S，M，设P(x，y
25、，0)，由y0，得y，点P的轨迹方程为y.根据圆的弦长公式，可得点P形成的轨迹长度为2.16.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD中点(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由(1)证明以A为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系设ABa.则A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E，B1(a，0，1)，故(0，1，1)，.则011(1)10，所以，所以B1EAD1.(2)解存在满足要求的点P，假设在棱AA1上存在一点P(0，0，z0)，使得DP平面B1AE，此时(0，1，z0)，再设平面B1AE的一个法向量为n(x，y，z)(a，0，1)，.因为n平面B1AE，所以n，n，得取x1，则y，za，则平面B1AE的一个法向量n.要使DP平面B1AE，只要n，即az00，解得z0.所以棱AA1上存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP.19