1、微专题十二圆锥曲线中性质的推广真题研究一道高考解析几何试题的命题背景可能就是圆锥曲线的一个性质定理的特殊情况如果掌握了定理的原理，也就把握了试题的本质对一些典型的试题，不应满足于会解，可以引导学生深入探究试题背后的知识背景，挖掘问题的本质这样才能真正找到解决问题的方法，学会用更高观点去看待数学问题，把握问题的本质正如普通高中数学课程标准(实验)所倡导的数学探究性课题学习，引导学生围绕某个数学问题，观察分析，自主探究，提出有意义的数学问题，探求适当的数学结论和规律一、试题展示题1(2018全国)如图1所示，设抛物线C：y22x，点A(2,0)，B(2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点(1)
2、当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：ABMABN.(1)解当l与x轴垂直时，l的方程为x2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，2)所以直线BM的方程为yx1或yx1.即x2y20或x2y20.(2)证明当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以ABMABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x10，x20.由得ky22y4k0，显然方程有两个不等实根所以y1y2，y1y24.直线BM，BN的斜率之和kBMkBN.将x12，x22及y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)0.所以kBMkBN
3、0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以ABMABN.综上，ABMABN.题2(2018全国)设椭圆C：y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：OMAOMB.(1)解由已知得F(1,0)，l的方程为x1.由已知可得，点A的坐标为或.又M(2,0)，所以AM的方程为yx或yx.即xy20或xy20.(2)证明当l与x轴重合时，OMAOMB0.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
4、则x1，x20恒成立，所以x1x2，x1x2.则2kx1x23k(x1x2)4k0，从而kMAkMB0，故MA，MB的倾斜角互补所以OMAOMB.综上，OMAOMB.点评以上两题是2018年高考全国卷解析几何题的倒数第二题，是选拔题第(1)问根据直线方程的求法，多数学生都能完成，第(2)问是个探索性问题，重点考查用坐标法研究圆锥曲线中的定点定值问题，考查数形结合、函数方程、分类讨论等基本数学思想，同时考查综合运用所学数学知识分析问题和解决问题的能力，综合考查学生的运算能力和数学素养本题的呈现形式“平易近人”，是平面几何中的角平分线问题，但本题的解决过程却充分体现了坐标法的思想，可以将等角的几何
5、关系式转化为坐标代数关系式，然后再用坐标法来处理本题看起来很平常，实际上却背景丰富，有一定难度和区分度，也有很大的数学价值和研究空间，我们重点研究第二小问的相关性质二、性质研究性质1如图3所示，已知抛物线y22px(p0)，点B(m,0)(m0)，设不与x轴垂直的直线l与抛物线相交于M，N两点，则直线l过定点A(m,0)的充要条件是x轴是MBN的角平分线图3证明先证明必要性：设不与x轴垂直的直线l的方程为yk(xm)(k0)，代入y22px，整理得k2x2(2k2m2p)xk2m20.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由根与系数的关系得x1x2，x1x2m2，所以直线BM，BN的斜率之和
6、为kBMkBN0，所以ABMABN，所以x轴是MBN的角平分线再证明充分性：设不与x轴垂直的直线l的方程ykxb(k0)，代入y22px，整理得k2x22(kbp)xb20.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由根与系数关系得x1x2，x1x2.因为ABMABN，所以kBMkBN0，即y1(x2m)y2(x1m)0.再将y1kx1b，y2kx2b代入上式，得(kx1b)(x2m)(kx2b)(x1m)0，即2kx1x2(bkm)(x1x2)2mb0，将式代入式，得2kb22(bkm)(pkb)2mbk20，整理得bkm，此时0，直线l的方程为yk(xm)，所以直线l过定点A(m,0)性质2
7、如图4所示，已知椭圆1(ab0)，点M(0|m|0，所以直线l的方程为yk(xm)，所以直线l过定点P(m,0)性质3如图5所示，已知双曲线1(a0，b0)，点M(|m|a)，设不与x轴垂直的直线l与双曲线相交于A，B两点，则直线l过定点P(m,0)的充要条件是x轴是AMB的角平分线图5性质3的证明类似于性质2的证明三、性质推广性质2、性质3中的点M可以进一步推广为直线x上任意一点，即有如下性质性质4如图6所示，已知椭圆1(ab0)及点A(m,0)，B(其中|m|a)，直线l过点A且与椭圆交于不同的两点P，Q，设直线PB，AB，QB的斜率分别为kPB，kAB，kQB，则kPBkQB2kAB.图
8、6证明当直线l垂直于x轴时，易得kPBkQB2kAB.当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为yk(xm)，代入椭圆的方程1，整理得(a2k2b2)x22ma2k2xa2(k2m2b2)0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由根与系数的关系得x1x2，x1x2.所以kPBkQB，而k(x1m)nk(x2m)n2kx1x2(x1x2)2a2k2k2a2k，x1x2(x1x2)m2(k2m2b22a2k2)a2(a2k2b2)(a4k2a2b22a2k2m2m4k2b2m2)(a2k2b2k2m2)(a2m2)，所以kPBkQB，又因为kAB，所以kPBkQB2kAB.性质5已知双曲线1(a0，b0)及点A(m,0)，B(其中|m|a)，直线l过点A且与双曲线交于不同的两点P，Q，设直线PB，AB，QB的斜率分别为kPB，kAB，kQB，则kPBkQB2kAB.性质6已知抛物线y22px(p0)及A(m,0)，B(m，n)(其中m0)，直线l过点A且与抛物线交于不同的两点P，Q，设直线PB，AB，QB的斜率分别为kPB，kAB，kQB，则kPBkQB2kAB.性质5、性质6的证明，类似性质4的证明7