1、专题探究课五 高考中解析几何问题的热点题型1.(2015全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点，(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由.解(1)由题设可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a).又y，故y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.故所求切线方程为xya0和xya0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(
2、x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.从而k1k2.当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意.2.(2016北京卷)已知椭圆C：1过点A(2，0)，B(0，1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.(1)解由题意知a2，b1.所以椭圆方程为y21，又c.所以椭圆离心率e.(2)证明设P点坐标为(x0，y0)
3、(x00，y00)，则x4y4，由B点坐标(0，1)得直线PB方程为：y1(x0)，令y0，得xN，从而|AN|2xN2，由A点坐标(2，0)得直线PA方程为y0(x2)，令x0，得yM，从而|BM|1yM1，所以S四边形ABNM|AN|BM|2.即四边形ABNM的面积为定值2.3.已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点P(2，)，且它的离心率e.(1)求椭圆的标准方程；(2)与圆(x1)2y21相切的直线l：ykxt交椭圆于M，N两点，若椭圆上一点C满足，求实数的取值范围.解(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，由已知得：解得所以椭圆的标准方程为1.(2)因为直线l：ykxt与圆(x1)
4、2y21相切，所以12k(t0)，把ykxt代入1并整理得：(34k2)x28ktx(4t224)0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1x2，y1y2kx1tkx2tk(x1x2)2t，因为(x1x2，y1y2)，所以C，又因为点C在椭圆上，所以，12，因为t20，所以11，所以022，所以的取值范围为(，0)(0，).4.已知椭圆C的方程为：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为坐标原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值.解(1)由题意，椭圆C的标准方程为1，所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e
5、.(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，则0，所以tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)2(y02)2xy4x44(0x4)因为4(01)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x2y26x2y70相切.(1)求椭圆C的方程；(2)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且0，求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标.(1)解将圆M的一般方程x2y26x2y70化为标准方程为(x3)2(y1)23，圆M的圆心为M(3，1)，半径r.由A(0，1)，F(c，0)(c)得直线AF：y1，即xcyc0.由直线AF与
6、圆M相切，得.c或c(舍去).a，椭圆C的方程为y21.(2)证明由0，知APAQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，由A(0，1)可设直线AP的方程为ykx1，直线AQ的方程为yx1(k0)，将ykx1代入椭圆C的方程y21并整理得：(13k2)x26kx0，解得x0或x，因此P的坐标为，即.将上式中的k换成，得Q.直线l的方程为y，化简得直线l的方程为yx.因此直线l过定点N.6.(2015山东卷)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线ykxm交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于
7、点Q.()求的值；()求ABQ面积的最大值.解(1)由题意知1.又，解得a24，b21.所以椭圆C的方程为y21.(2)由(1)知椭圆E的方程为1.()设P(x0，y0)，由题意知Q(x0，y0).因为y1，又1，即1，所以2，即2.()设A(x1，y1)，B(x2，y2).将ykxm代入椭圆E的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由0，可得m2416k2，则有x1x2，x1x2.所以|x1x2|.因为直线ykxm与y轴交点的坐标为(0，m)，所以OAB的面积S|m|x1x2|2.设t，将ykxm代入椭圆C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.由可知0t1，因此S22，故S2，当且仅当t1，即m214k2时取得最大值2.由()知，ABQ面积为3S，所以ABQ面积的最大值为6.6