1、6.2等差数列及其前n项和最新考纲1.通过实例，理解等差数列的概念.2.探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.体会等差数列与一次函数的关系1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示2等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.3等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列这时，A叫做a与b的等差中项4等差数列的常用性质(1
2、)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(6)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列(7)若an是等差数列，则也是等差数列，其首项与an的首项相同，公差为d.5等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn或Snna1d.6等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2
3、n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数)7等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，则Sn存在最小值概念方法微思考1“a，A，b是等差数列”是“A”的什么条件？提示充要条件2等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？提示不一定当公差d0时，Snna1，不是关于n的二次函数3如何推导等差数列的前n项和公式？提示利用倒序相加法题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(3)等差数列的前n项和公式是
4、常数项为0的二次函数()(4)已知等差数列an的通项公式an32n，则它的公差为2.()(5)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(6)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()题组二教材改编2设数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a62且S530，则S8等于()A31B32C33D34答案B解析由已知可得解得S88a1d32.3在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8.答案180解析由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180.题组三易错自纠4一个等差数
5、列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是()AdBdC.dD.d答案D解析由题意可得即所以0，a7a100，所以a80.又a7a10a8a90，所以a9.(1)证明an1，化简得2，即2，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列(2)解由(1)知2n1，所以Snn2，.证明：1.题型三等差数列性质的应用命题点1等差数列项的性质例2(2018上饶模拟)已知an为等差数列，a2a818，则an的前9项和S9等于()A9B17C72D81答案D解析由等差数列的性质可得，a1a9a2a818，则an的前9项和S9981.故选D.命题点2等差数列前n项和的性质例3(1)(20
6、19漳州质检)已知等差数列an的前n项和为Sn.若S57，S1021，则S15等于()A35B42C49D63答案B解析在等差数列an中，S5，S10S5，S15S10成等差数列，即7,14，S1521成等差数列，所以7(S1521)214，解得S1542.(2)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12018，6，则S2020.答案2020解析由等差数列的性质可得也为等差数列设其公差为d，则6d6，d1.故2019d201820191，S2020120202020.思维升华等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列an中，mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.(2)和的性质：在等
7、差数列an中，Sn为其前n项和，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an.跟踪训练2(1)已知等差数列an，a22，a3a5a715，则数列an的公差d等于()A0B1C1D2答案B解析a3a5a73a515，a55，a5a233d，可得d1，故选B.(2)(2019莆田质检)设等差数列an的前n项和为Sn，若S130，S140，S140，a1a14a7a80，a80，所以Sn取最大值时n的值为7，故选B.1若an为等差数列，且a72a41，a30，则公差d等于()A2BC.D2答案B解析由于a72a4a16d2(a13d)a11，则a11.又由a3a12d12d0，解
8、得d.故选B.2在等差数列an中，已知a12，a2a3a424，则a4a5a6等于()A38B39C41D42答案D解析由a12，a2a3a424，可得，3a16d24，解得d3，a4a5a63a112d42.故选D.3(2018新乡模拟)已知等差数列an中，a10123，S20172017，则S2020等于()A2020B2020C4040D4040答案D解析由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得，S2017201720172017a10092017，则a10091，据此可得，S202020201010101044040.4程大位算法统宗里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠次第每人
9、多十七，要将第八数来言务要分明依次弟，孝和休惹外人传”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为()A65B176C183D184答案D解析根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列an，其中d17，n8，S8996.由等差数列前n项和公式可得8a117996，解得a165.由等差数列通项公式得a865(81)17184.5已知数列an是等差数列，前n项和为Sn，满足a15a3S8，给出下列结论：a100；S10最小；S7S12；S200.其中一定正确的结论是()
10、ABCD答案C解析a15(a12d)8a128d，所以a19d，a10a19d0，正确；由于d的符号未知，所以S10不一定最大，错误；S77a121d42d，S1212a166d42d，所以S7S12，正确；S2020a1190d10d，错误所以正确的是，故选C.6在等差数列an中，若0时，n的最小值为()A14B15C16D17答案C解析数列an是等差数列，它的前n项和Sn有最小值，公差d0，首项a10，an为递增数列1，a8a90，由等差数列的性质知，2a8a1a150.Sn，当Sn0时，n的最小值为16.7(2018北京)设an是等差数列，且a13，a2a536，则an的通项公式为答案a
11、n6n3(nN*)解析方法一设公差为d.a2a536，(a1d)(a14d)36，2a15d36.a13，d6，通项公式ana1(n1)d6n3(nN*)方法二设公差为d，a2a5a1a636，a13，a633，d6.a13，通项公式an6n3(nN*)8(2019三明质检)在等差数列an中，若a7，则sin2a1cosa1sin2a13cosa13.答案0解析根据题意可得a1a132a7，2a12a134a72，所以有sin2a1cosa1sin2a13cosa13sin2a1sin(22a1)cosa1cos(a1)0.9等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，且，则.答案解析在等差
12、数列中，S1919a10，T1919b10，因此.10(2018湘潭模拟)已知数列是公差为2的等差数列，且a11，a39，则an.答案(n23n3)2解析数列是公差为2的等差数列，且a11，a39，(1)2(n1)，(1)2，3(1)2，a21.2n2，2(n1)22(n2)222122(n1)1n23n3.an(n23n3)2，n1时也成立an(n23n3)2.11已知数列an满足(an11)(an1)3(anan1)，a12，令bn.(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明，bn1bn，bn是等差数列(2)解由(1)及b11.知bnn，an1，an.12(201
13、8全国)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值解(1)设an的公差为d，由题意得3a13d15.由a17得d2.所以an的通项公式为ana1(n1)d2n9(nN*)(2)由(1)得Snnn28n(n4)216.所以当n4时，Sn取得最小值，最小值为16.13(2018佛山质检)已知等差数列an的前n项和为Sn，bn且b1b317，b2b468，则S10等于()A90B100C110D120答案A解析设an公差为d，2d4，d2，b1b317，1，a10，S1010a1d290，故选A.14(2018菏泽模拟)已知等差数列a
14、n前n项和为Sn，且S69，S84，若满足不等式nSn的正整数n有且仅有3个，则实数的取值范围为_答案解析不妨设SnAn2Bn，由S69，S84，得则所以nSnn3n2，令f(x)x3x2，则f(x)3x215x3x(x5)，易得数列nSn在1n5，nN*时单调递减；在n5，nN*时单调递增令nSnbn，有b3，b456，b5，b654，b7.若满足题意的正整数n只有3个，则n只能为4,5,6，故实数的取值范围为.15已知数列an与均为等差数列(nN*)，且a12，则a20.答案40解析设an2(n1)d，所以，由于为等差数列，所以其通项是一个关于n的一次函数，所以(d2)20，d2.所以a2
15、02(201)240.16记m，若是等差数列，则称m为数列an的“dn等差均值”；若是等比数列，则称m为数列an的“dn等比均值”已知数列an的“2n1等差均值”为2，数列bn的“3n1等比均值”为3.记cnklog3bn，数列的前n项和为Sn，若对任意的正整数n都有SnS6，求实数k的取值范围解由题意得2，所以a13a2(2n1)an2n，所以a13a2(2n3)an12n2(n2，nN*)，两式相减得an(n2，nN*)当n1时，a12，符合上式，所以an(nN*)又由题意得3，所以b13b23n1bn3n，所以b13b23n2bn13n3(n2，nN*)，两式相减得bn32n(n2，nN*)当n1时，b13，符合上式，所以bn32n(nN*)所以cn(2k)n2k1.因为对任意的正整数n都有SnS6，所以解得k.12