1、12.3离散型随机变量的分布列及均值、方差最新考纲1.在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性.2.通过实例(如彩票抽奖)，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.3.通过实例，理解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的概念能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题1离散型随机变量的分布列(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则
2、称表Xx1x2xixnPp1p2pipn为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质：pi0，i1,2，n；i1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和2两点分布如果随机变量X的分布列为X01P1pp其中0p1，则称离散型随机变量X服从两点分布其中pP(X1)称为成功概率3离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差称D(X) (xiE(X)2pi为随机变量X的方差，
3、它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量X的标准差4均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b为常数)5超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(MN)件次品从中任取n(nN)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(Xk) (k0,1,2，m)，即X01mP其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*.如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布概念方法微思考1离散型随机变量X的每一个可能取值为实数，其实质代表的是什么？提示代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示
4、的2如何判断所求离散型随机变量的分布列是否正确？提示可用pi0，i1,2，n及p1p2pn1检验3随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？提示随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量()(2)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象()(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布()(4)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个
5、值的概率之和可以小于1.()(5)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定()(6)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小()题组二教材改编2设随机变量X的分布列如下：X12345Pp则p为()A.B.C.D.答案C解析由分布列的性质知，p1，p1.3已知X的分布列为X101P设Y2X3，则E(Y)的值为()A.B4C1D1答案A解析E(X)，E(Y)E(2X3)2E(X)33.4有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是_答案0,1,2,3解析因为次品共有3
6、件，所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0,1,2,3.题组三易错自纠5袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是()A至少取到1个白球B至多取到1个白球C取到白球的个数D取到的球的个数答案C解析选项A，B表述的都是随机事件；选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2.6一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X4)的值为_答案解析由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P(X4).题型一分布列的求法例1设某人有5发子弹，当他向某一目标射击时，每发子弹
7、命中目标的概率为.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完(1)求他前两发子弹只命中一发的概率；(2)求他所耗用的子弹数X的分布列解记“第k发子弹命中目标”为事件Ak，则A1，A2，A3，A4，A5相互独立，且P(Ak)，P(k)，k1,2,3,4,5.(1)方法一他前两发子弹只命中一发的概率为P(A12)P(1A2)P(A1)P(2)P(1)P(A2).方法二由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为PC.(2)X的所有可能值为2,3,4,5.P(X2)P(A1A2)P(12)，P(X3)P(A123)P(1A2A3)22，P(X4)P(A12A3A4)P
8、(1A234)33，P(X5)P(A12A34)P(1A23A4)2222.故X的分布列为X2345P思维升华求离散型随机变量X的分布列的步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识跟踪训练1已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测
9、出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列解(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A).(2)X的可能取值为200,300,400.P(X200)，P(X300)，P(X400)1P(X200)P(X300)1.故X的分布列为X200300400P题型二均值与方差例2 某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50
10、%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由解若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为X1300150PE(X1)300(150)200.若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的分布列为X25003000PE(X2)500(300)0200.D(X1)(300200)2(150200)235000，D(X2)(500200)2(300200)2(0200)2140000.E(X1)E(X2)，D(X1)0，所以a1，所以E(X)01.故选C.2设随机变量X的分布列如下，则P(|X2|
11、1)等于()X1234PmA.B.C.D.答案C解析由m1，得m，所以P(|X2|1)P(X1)P(X3).故选C.3有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字和为X，则X8的概率是()A.B.C.D.答案C解析由题意知，X的取值为6,9,12，又P(X9)，P(X12)，所以X8的概率为，故选C.4设随机变量的分布列为Pak(k1,2,3,4,5)，则P等于()A.B.C.D.答案C解析由题意知，分布列为1Pa2a3a4a5a由分布列的性质可得，a2a3a4a5a1，解得a.所以PPPP.故选C.5一个袋中有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取
12、球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是()A.B.C.D.答案A解析记得分为X，则X的可能取值为5,6,7,8，P(X7)；P(X8)，所以P(X6)P(X7)P(X8).6设X是一个离散型随机变量，其分布列为X101P23qq2则q等于()A1B.C.D.答案C解析23qq21，q23q0，解得q.又由题意知0q2，q.7口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的分布列为_答案X345P0.10.30.6解析X的取值为3,4,5.又P(X3)0.1，P(X4)0.3，P(X5)0.6.所以X
13、的分布列为X345P0.10.30.68.随机变量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|1)_，公差d的取值范围是_答案解析a，b，c成等差数列，2bac.又abc1，b，P(|X|1)ac.又ad，cd，根据分布列的性质，得0d，0d，d.9在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数的分布列为_答案012P解析的所有可能值为0,1,2.P(0)，P(1)，P(2).的分布列为012P10.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50
14、%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192例8例则估计该公司一年后可获收益的均值是_元答案4760解析由题意知，一年后获利6000元的概率为0.96，获利25000元的概率为0.04，故一年后收益的均值是60000.96(25000)0.044760(元)11(2018河南豫南九校联考)为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求
15、X的分布列及均值解(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为2.3.(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B，“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知X的所有可能取值为0,1,2，P(X1)P(A)P(B)，P(X2)P(C)，P(X0)P(D)，X的分布列为X012PE(X)012.12(2018洛阳模拟)某超市计划按月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本为
16、每桶5元，售价为每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部处理完毕，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关，如果最高气温不低于25，需求量为600桶，如果最高气温(单位：)位于区间20,25)，需求量为400桶，如果最高气温低于20，需求量为200桶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温()10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种冰激凌一天的需求量X(单位：桶)的分布列；(2)设六月份一天销售这
17、种冰激凌的利润为Y(单位：元)，当六月份这种冰激凌一天的进货量n(单位：桶)为多少时，Y的均值取得最大值？解(1)由已知得，X的所有可能取值为200,400,600，记六月份最高气温低于20 为事件A1，最高气温(单位：)位于区间20,25)为事件A2，最高气温不低于25 为事件A3，根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率，可知P(X200)P(A1)，P(X400)P(A2)，P(X600)P(A3)，故六月份这种冰激凌一天的需求量X(单位：桶)的分布列为X200400600P(2)由题意得，当n200时，E(Y)2n400；当200n400时，E(Y)2002(n200)(2)n2n16
18、0(400,640；当400600时，E(Y)2002(n200)(2)4002(n400)(2)6002(n600)(2)1 7602n2.706，有90%的把握认为答对诗词名句与年龄有关(3)按年龄段分层抽取6人中，在20,30)岁范围的人数是2，在30,40岁范围的人数是4.现从6名选手中选取3名选手，设3名选手中在范围20,30)岁的人数为，则的可能取值为0,1,2.P(0)，P(1)，P(2)，的分布列为012P故的均值为E()0121.15设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，2，则随机变量的均值是_答案解析的可能取值为0，1,2，则P(0)，P()，P(1)，P(2).的分布列为012PE()012.16设0p1，随机变量的分布列是012P则当p在(0,1)内增大时，()AD()减小BD()增大CD()先减小后增大DD()先增大后减小答案D解析由题意知E()012p，D()2222222222p2p(2p1)p2p2，D()在上单调递增，在上单调递减，即当p在(0,1)内增大时，D()先增大后减小故选D.21