1、微专题二导数中的函数构造问题解题技法函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现一、利用f(x)进行抽象函数构造(一)利用f(x)与x构造1常用构造形式有xf(x)，这类形式是对uv，型函数导数计算的推广及应用我们对uv，的导函数观察可得知，uv型导函数中体现的是“”法，型导函数中体现的是“”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“”法形式时，优先考虑构造uv型，当导函数形式出现的是“”法形式时，优先考虑构造.例1设f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)xf(x)0的解集为_思路点拨出现“”形式，优先构造F(x
2、)xf(x)，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可答案(，4)(0,4)解析构造F(x)xf(x)，则F(x)f(x)xf(x)，当x0时，f(x)xf(x)0，可以推出当x0时，F(x)0的解集为(，4)(0,4)例2设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1)0，当x0恒成立，则不等式f(x)0的解集为_思路点拨出现“”形式，优先构造F(x)，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可答案(，1)(1，)解析构造F(x)，则F(x)，当x0，可以推出当x0，F(x)在(，0)上单调递增f(x)为偶函数，x为奇函数，所以F(x)为奇函数，F(x)在(0，)上也单调递增根据f(1)
3、0可得F(1)0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f(x)0的解集为(，1)(1，)2xf(x)，是比较简单常见的f(x)与x之间的函数关系式，如果碰见复杂的，不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式F(x)xnf(x)，F(x)nxn1f(x)xnf(x)xn1nf(x)xf(x)；F(x)，F(x)；结论：(1)出现nf(x)xf(x)形式，构造函数F(x)xnf(x)；(2)出现xf(x)nf(x)形式，构造函数F(x).我们根据得出的结论去解决例3.例3已知偶函数f(x)(x0)的导函数为f(x)，且满足f(1)0，当x0时，2f(x)xf(x)
4、，则使得f(x)0成立的x的取值范围是_思路点拨满足“xf(x)nf(x)”形式，优先构造F(x)，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可答案(1,0)(0,1)解析构造F(x)，则F(x)，当x0时，xf(x)2f(x)0时，F(x)0的解集为(1,0)(0,1)(二)利用f(x)与ex构造1f(x)与ex构造，一方面是对uv，函数形式的考察，另外一方面是对(ex)ex的考察所以对于f(x)f(x)类型，我们可以等同xf(x)，的类型处理，“”法优先考虑构造F(x)f(x)ex，“”法优先考虑构造F(x).例4已知f(x)是定义在(，)上的函数，导函数f(x)满足f(x)e2f(0)
5、，f(2019)e2019f(0)Bf(2)e2019f(0)Cf(2)e2f(0)，f(2019)e2019f(0)Df(2)e2f(0)，f(2019)e2019f(0)思路点拨满足“f(x)f(x)0”形式，优先构造F(x)，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可注意选项的转化答案D解析构造F(x)形式，则F(x)，导函数f(x)满足f(x)f(x)，则F(x)0，f(0)1，则不等式f(x)e2x的解集为_思路点拨满足“f(x)2f(x)0”形式，优先构造F(x)，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可注意选项的转化答案x|x0解析构造F(x)形式，则F(x)，函数f(x)满足f(x)
6、2f(x)0，则F(x)0，F(x)在R上单调递增又f(0)1，则F(0)1，f(x)e2x1F(x)F(0)，根据单调性得x0.例6已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，若f(x)满足：(x1)f(x)f(x)0，f(2x)f(x)e22x，则下列判断一定正确的是()Af(1)e2f(0)Cf(3)e3f(0) Df(4)0，则x1时F(x)0，F(x)在1，)上单调递增当x1时F(x)0(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式不成立的是()A.ffB.ffCf(0)fDf(0)0”形式，优先构造F(x)，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可注意选项的转化答案A解析构
7、造F(x)形式，则F(x)，导函数f(x)满足f(x)cosxf(x)sinx0，则F(x)0，F(x)在上单调递增把选项转化后可知选A.二、具体函数关系式构造这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题例8已知，且sinsin0，则下列结论正确的是()AB22C0思路点拨构造函数f(x)xsin x，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可答案B解析构造f(x)xsinx形式，则f(x)sinxxcosx，x时导函数f(x)0，f(x)单调递增；x时导函数f(x)0，f(x)单调递减又f(x)为偶函数，根据单调性和图象可知选B.例9已知实数a，b，c满足1，其中e是自然对数的底数，那么(ac)2(bd)2的最小值为()A8B10C12D18思路点拨把(ac)2(bd)2看成两点距离的平方，然后利用数形结合以及点到直线的距离即可答案A解析由1ba2ea进而f(x)x2ex；又由1d2cg(x)2x；由f(x)12ex1，得x0，所以切点坐标为(0，2)，所以(ac)2(bd)2的最小值为28.5