1、第2课时导数与函数的极值、最值题型一用导数求解函数极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案D解析由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值命题点2求已知函数的极值例2(2018泉州质检)已知函数f
2、(x)x1(aR，e为自然对数的底数)，求函数f(x)的极值解f(x)1，当a0时，f(x)0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数f(x)无极值当a0时，令f(x)0，得exa，即xlna，当x(，lna)时，f(x)0，所以f(x)在(，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增，故f(x)在xlna处取得极小值且极小值为f(lna)lna，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，f(x)在xlna处取得极小值lna，无极大值命题点3根据极值(点)求参数例3若函数f(x)x2x1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.答案D解析因为f(x)x2x1，所以f
3、(x)x2ax1.函数f(x)x2x1在区间上有极值点，可化为x2ax10在区间上有解，即ax在区间上有解，设t(x)x，则t(x)1，令t(x)0，得1x4，令t(x)0，得x0，解得x1；由f(x)0，解得x0，得0x1，由f(x)1，f(x)1lnx在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减(2)由(1)得f(x)在上单调递增，在1，e上单调递减，f(x)在上的最大值为f(1)1ln10.又f1eln2e，f(e)1lne，且ff(e)，f(x)在上的最小值为f2e.f(x)在上的最大值为0，最小值为2e.思维升华 (1)若函数在区间a，b上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大
4、值，一个为最小值；(2)若函数在闭区间a，b内有极值，要先求出a，b上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到跟踪训练2(2017北京)已知函数f(x)excosxx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)因为f(x)excosxx，所以f(x)ex(cosxsinx)1，f(0)0.又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(2)设h(x
5、)ex(cosxsinx)1，则h(x)ex(cosxsinxsinxcosx)2exsinx.当x时，h(x)0，所以h(x)在区间上单调递减，所以对任意x有h(x)h(0)0，即f(x)0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值解(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc，因为ex0，所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点且f(x)与g(x)符号相同又因为a0，所以当3x0，即f(x)0，当x0时，g(x)0，即f(x)5f(0)，所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是
6、5e5.思维升华 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值跟踪训练3已知函数f(x)ax32x24x5，当x时，函数f(x)有极值，则函数f(x)在3,1上的最大值为_答案13解析f(x)3ax24x4，由f0可得a1，经验证f为极值；f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令f(x)0，解得x2或x.当x变化时，f(x)，f(x)的取值及变化情况如表所示：x3(3，2)21f(x)00f(x)8134函数f
7、(x)在3,1上的最大值为13.利用导数求函数的最值例(12分)已知函数f(x)lnxax(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值规范解答解(1)f(x)a(x0)，当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，)2分当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x0；当x时，f(x)0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.5分(2)当1，即a1时，函数f(x)在1,2上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)ln22a.6分当2，即0a时，函数f(x)在1,2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)a.7分当12，即a1时，
8、函数f(x)在上是增函数，在上是减函数又f(2)f(1)ln2a，所以当aln2时，最小值是f(1)a；当ln2a1时，最小值为f(2)ln22a.11分综上可知，当0aln2时，函数f(x)的最小值是f(1)a；当aln2时，函数f(x)的最小值是f(2)ln22a.12分用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f(x)；第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进比较，确定f(x)的最大值与最小值；第五步：(反思)反思回顾，查看
9、关键点，易错点和解题规范1.函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A无极大值点、有四个极小值点B有三个极大值点、一个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点D有四个极大值点、无极小值点答案C解析设f(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1，x2，x3，x4.当x0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f(x)1时，y0；当x1时，y0，所以当x1时，函数取得最小值，且ymin.故选C.4(2018南昌调研)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则()A当k1时，f(x)在x1处取得极小值B当k1时，f(x)在x1处
10、取得极大值C当k2时，f(x)在x1处取得极小值D当k2时，f(x)在x1处取得极大值答案C解析当k1时，f(x)exx1，f(1)0，x1不是f(x)的极值点当k2时，f(x)(x1)(xexex2)，显然f(1)0，且在x1附近的左侧f(x)1时，f(x)0，f(x)在x1处取得极小值故选C.5已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则f(2)等于()A11或18B11C18D17或18答案C解析函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，f(1)10，且f(1)0，又f(x)3x22axb，解得或而当时，函数在x1处无极值，故舍去f(x)x34x211x16，f(2)
11、18.6若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为()A1百万件B2百万件C3百万件D4百万件答案C解析y3x2273(x3)(x3)，当0x0；当x3时，y0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是_答案解析f(x)3x23a23(xa)(xa)，由f(x)0得xa，当axa时，f(x)a或x0，函数f(x)单调递增，f(x)的极大值为f(a)，极小值为f(a)f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a.a的取值范围是.9已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m1,1，则f(m)的最小值为_答案4解析f
12、(x)3x22ax，由f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，故a3.由此可得f(x)x33x24.f(x)3x26x，由此可得f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，当m1,1时，f(m)minf(0)4.10(2018长沙调研)已知yf(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)ln xax，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a_.答案1解析由题意知，当x(0,2)时，f(x)的最大值为1.令f(x)a0，得x，当0x0；当x时，f(x)0)，所以f(x)2x，令f(x)0，解得x1，令f(x)0，解得0x1，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，
13、)上单调递增，所以f(x)极小值f(1)1，无极大值12(2018武汉质检)已知函数f(x)(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值解(1)当x1时，f(x)3x22xx(3x2)，令f(x)0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)极小值极大值故当x0时，函数f(x)取得极小值f(0)0，函数f(x)的极大值点为x.(2)当1x0时，f(x)在1，e上单调递增，则f(x)在1，e上的最大值为f(e)a.故当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a；当a0)，则f(t)2t
14、，令f(t)0，得t，当0t时，f(t)时，f(t)0，当t时，f(t)取得最小值15已知函数f(x)xlnxmex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的取值范围是_答案解析f(x)xlnxmex(x0)，f(x)lnx1mex(x0)，由函数f(x)有两个极值点可得ym和g(x)在(0，)上有两个交点，g(x)(x0)，令h(x)lnx1，则h(x)0，h(x)在(0，)上单调递减且h(1)0，当x(0,1时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在(0,1上单调递增，g(x)g(1)，当x(1，)时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在(1，)上单调递减，故g(x)maxg(1)，而当x0时，g(x)，当x时，g(x)0；若ym和g(x)的图象在(0，)上有两个交点，只需0m，故m0.16已知函数f(x)axlnx，x(0，e的最小值是2，求正实数a的值解因为f(x)a，所以当0e时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)minf1lna2，解得ae，满足条件；当e时，f(x)在(0，e上单调递减，f(x)minf(e)ae12，解得a(舍去)综上，正实数a的值为e.13