1、12.2几何概型最新考纲1.了解随机数的意义，能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计概率.2.初步体会几何概型的意义.3.通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程1几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型2在几何概型中，事件A的概率的计算公式P(A).3要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性4随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是
2、模拟方法(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法这个方法的基本步骤是用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；计算频率fn(A)作为所求概率的近似值概念方法微思考1古典概型与几何概型有什么区别？提示古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个2几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？提示几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在一个正方形
3、区域内任取一点的概率是零()(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形()(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率()(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关()(6)从区间1,10内任取一个数，取到1的概率是P.()题组二教材改编2在线段0,3上任投一点，则此点坐标小于1的概率为()A.B.C.D1答案B解析坐标小于1的区间为0,1)，长度为1，0,3的区间长度为3，故所求概率为.3有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分
4、，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()答案A解析P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，P(A)P(C)P(D)P(B)4.如图所示的正方形及其内部表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A.B.C.D.答案D解析如题干图所示，区域D的面积为4，而阴影部分(不包括)表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域易知该阴影部分的面积为4.因此满足条件的概率是，故选D.题组三易错自纠5在区间2,4上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则m_.答案3解析由|x|m，得mxm.当0m2时，由题意得，解得m2.5，矛盾，舍去当2m4时，由
5、题意得，解得m3.故m3.6在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为_答案解析设ACxcm(0x12)，则CB(12x)cm，则矩形的面积Sx(12x)12xx2(cm2)由12xx20，解得0x4或8x12.在数轴上表示，如图所示由几何概型概率计算公式，得所求概率为.题型一与长度、角度有关的几何概型例1在等腰RtABC中，直角顶点为C.(1)在斜边AB上任取一点M，求|AM|AC|的概率；(2)在ACB的内部，以C为端点任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求|AM|AC|的概率解(1)如图所示，在AB上取一点C，
6、使|AC|AC|，连接CC.由题意，知|AB|AC|.由于点M是在斜边AB上任取的，所以点M等可能分布在线段AB上，因此基本事件的区域应是线段AB.所以P(|AM|AC|).(2)由于在ACB内以C为端点任作射线CM，所以CM等可能分布在ACB内的任一位置(如图所示)，因此基本事件的区域应是ACB，所以P(|AM|AC|).思维升华求解与长度、角度有关的几何概型的概率的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解要特别注意“长度型”与“角度型”的不同，解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)跟踪训练1(1)某公司的班车在7：00，8：00,
7、8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.B.C.D.答案B解析如图所示，画出时间轴小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型的概率计算公式，得所求概率P，故选B.(2)如图，四边形ABCD为矩形，AB，BC1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为_答案解析因为在DAB内任作射线AP，所以它的所有等可能事件所在的区域是DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，
8、射线AP落在CAB内，则区域为CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为.题型二与面积有关的几何概型命题点1与面积有关的几何概型的计算例2(2017全国)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.B.C.D.答案B解析不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑S白S圆，所以由几何概型知，所求概率P.命题点2随机模拟例3(1)如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗
9、黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为()A7.68B8.68C16.32D17.32答案C解析由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为0.68.由几何概型的概率计算公式，可得0.68，而S矩形6424，则S椭圆0.682416.32.(2)若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：7527029371409857034743738636694714174698
10、0371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为_答案0.4解析根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为75279857863669474698804595977424，共8个，所以该运动员射击4次至少击中3次的概率为0.4.思维升华求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解跟踪训练2(2016全国)从区间0,1内随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构
11、成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()A.B.C.D.答案C解析由题意得(xi，yi)(i1,2，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知，故选C.题型三与体积有关的几何概型例4如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥MABCD的体积小于的概率为_答案解析过点M作平面RS平面AC，则两平面间的距离是四棱锥MABCD的高，显然点M在平面RS上任意位置时，四棱锥MABCD的体积都相等若此时四棱锥MABCD的体积等
12、于，只要M在截面以下即可小于，当VMABCD时，即11h，解得h，即点M到底面ABCD的距离，所以所求概率P.思维升华求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求跟踪训练3在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为()A.B.C.D.答案D解析由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V11，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R，球的体积V23，则此点落在正方体内部的概率P.1在区间0，上随机地取一个数x，则事件“sinx”发
13、生的概率为()A.B.C.D.答案D解析在0，上，当x时，sinx，故概率为.2在区间1,3上随机取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则实数m为()A0B1C2D3答案B解析区间1,3的区间长度为4.不等式|x|m的解集为m，m，当1m3时，由题意得，解得m1(舍)，当0m1时，由，则m1.故m1.3(2018益阳市、湘潭市调考)若正方形ABCD的边长为4，E为四边上任意一点，则AE的长度大于5的概率等于()A.B.C.D.答案D解析设M，N分别为BC，CD靠近点C的四等分点，则当E在线段CM，CN(不包括M，N)上时，AE的长度大于5，因为正方形的周长为16，CMCN2，所以AE的长度大于
14、5的概率为，故选D.4(2018广东七校联考)在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是()A2B4CD.答案B解析设圆的半径为r，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S244r26r2，圆的面积Sr2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为4，故选B.5(2018石家庄模拟)已知P是ABC所在平面内一点，20，现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是()A.B.C.D.答案D解析以PB，PC为邻边作平行四边形PBDC，则，因为20，所以2，得2，由此可得，P是ABC边B
15、C上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于点A到BC的距离的，所以SPBCSABC，所以将一粒黄豆随机撒在ABC内，黄豆落在PBC内的概率为，故选D.6(2018惠州模拟)我国古代数学家赵爽在周髀算经一书中给出了勾股定理的绝妙证明如图所示是赵爽的弦图弦图是一个勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2勾股(股勾)24朱实黄实弦实弦2，化简得：勾2股2弦2.设勾股形中勾股比为1，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为()A866B500C300D13
16、4答案D解析设勾为a，则股为a，所以弦为2a，小正方形的边长为aa，所以题图中大正方形的面积为4a2，小正方形的面积为(1)2a2，所以小正方形与大正方形的面积比为1，所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为1000134.7(2016山东)在1,1上随机地取一个数k，则事件“直线ykx与圆(x5)2y29相交”发生的概率为_答案解析由已知得，圆心(5,0)到直线ykx的距离小于半径，3，解得k，由几何概型得P.8在等腰直角三角形ABC中，C90，在直角边BC上任取一点M，则CAMn.如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分(不包括mn这条直线)的概率即为所求
17、的概率，易知直线mn恰好将矩形平分，所求的概率为.11已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足ab1的概率；(2)若x，y在连续区间1,6上取值，求满足ab0的概率解(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6636，由ab1，得2xy1，所以满足ab1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个故满足ab1的概率为.(2)若x，y在连续区间1,6上取值，则全部基本事件的结果为(x，y)|1x6,1y6满足ab0的基本事件的结果
18、为A(x，y)|1x6,1y6且2xy0画出图象如图所示，矩形的面积为S矩形25，阴影部分的面积为S阴影252421，故满足ab0的概率为.12甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的如果甲船停泊时间为1h，乙船停泊时间为2h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率解设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，记事件A为“两船都不需要等待码头空出”，则0x24，0y24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1h以上或乙比甲早到达2h以上，即yx1或xy2.故所求事件构成集合A(x，y)|yx1或xy2，x0,24，y0,24A为图中
19、阴影部分，全部结果构成的集合为边长是24的正方形及其内部所求概率为P(A).13在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为_答案解析设任取两点所表示的数分别为x，y，则0x1，且0y1，如图所示，则总事件所占的面积为1.记这两点之间的距离小于为事件A，则A，如图中阴影部分所示，空白部分所占的面积为2，所以所求两点之间的距离小于的概率P(A).14向圆C：(x2)2(y)24内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率为_答案解析如图所示，连接CA，CB，依题意，圆心C到x轴的距离为，所以弦AB的长为2.又圆的半径为2，所以ACB60，所以S圆C224，所以S弓形ADB2，所以向圆C内
20、随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率P.15在区间0,1上随机取两个数x，y，记p1为事件“xy”的概率，p2为事件“|xy|”的概率，p3为事件“xy”的概率，则()Ap1p2p3Bp2p3p1Cp3p1p2Dp3p2p1答案B解析因为x，y0,1，所以事件“xy”表示的平面区域如图(1)阴影部分(含边界)S1，事件“|xy|”表示的平面区域如图(2)阴影部分(含边界)S2，事件“xy”表示的平面区域如图(3)阴影部分(含边界)S3，由图知，阴影部分的面积满足S2S3S1，正方形的面积为111，根据几何概型概率计算公式可得p2p3p1.16.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点，求此点取自空白部分的概率解设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.不妨令OAOB2，则ODDADC1.在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1111，所以整个图形中空白部分面积S22.又因为S扇形OAB22，所以P.14