1、4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式最新考纲1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，tan x2.借助单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan.2三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k(kZ)正弦sinsinsinsincoscos余弦coscoscoscossinsin正切tantantantan口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限概念方法微思考1使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？提示根据角所在象限确定三角函数值的符号2诱导公式记忆口诀：“奇
2、变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示所有诱导公式均可看作k(kZ)和的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若，为锐角，则sin2cos21.()(2)若R，则tan恒成立()(3)sin()sin成立的条件是为锐角()(4)若sin(k)(kZ)，则sin.()题组二教材改编2若sin，则tan.答案解析，cos，tan.3已知tan2，则的值为答案3解析原式3.4化简sin()cos(2)的结果为答案sin2解析原式(sin)cossin2.题组三易错自纠5已知sincos，则sinco
3、s的值为答案解析sincos，sincos.又(sincos)212sincos，sincos.6(2018成都诊断)已知为锐角，cos，则cos().答案解析cossin，且为锐角，cos，cos()cos.7已知cos，0，则的值为答案解析0，sin，tan2.则.题型一同角三角函数基本关系式的应用1已知是第四象限角，sin，则tan等于()AB.CD.答案C解析因为是第四象限角，sin，所以cos，故tan.2若tan，则cos22sin2等于()A.B.C1D.答案A解析tan，则cos22sin2.3若角的终边落在第三象限，则的值为()A3B3C1D1答案B解析由角的终边落在第三象限
4、，得sin0，cos0，故原式123.4已知sincos，(0，)，则tan等于()A1BC.D1答案A解析由消去sin，得2cos22cos10，即(cos1)20，cos.又(0，)，tantan1.思维升华 (1)利用sin2cos21可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角所在象限确定符号；利用tan可以实现角的弦切互化(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sincos，sincos，sincos这三个式子，利用(sincos)212sincos，可以知一求二(3)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.题型二诱导公式的应用例1(1)已知A(
5、kZ)，则A的值构成的集合是()A1，1,2，2B1,1C2，2D1，1,0,2，2答案C解析当k为偶数时，A2；当k为奇数时，A2.(2)(2018太原质检)化简：.答案1解析原式1.思维升华(1)诱导公式的两个应用求值：负化正，大化小，化到锐角为终了化简：统一角，统一名，同角名少为终了(2)含2整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2的整数倍的三角函数式中可直接将2的整数倍去掉后再进行运算如cos(5)cos()cos.跟踪训练1(1)已知角终边上一点P(4,3)，则的值为_答案解析原式tan，根据三角函数的定义得tan.(2)已知f()(sin0,12sin0)，则f
6、.答案解析f()，f.题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例2(1)(2018广州模拟)已知cos，且，则cos等于()A.B.CD答案D解析因为，所以cossinsin.因为，所以0，所以，所以sin.(2)已知x0，sin(x)cosx.求sinxcosx的值；求的值解由已知，得sinxcosx，两边平方得sin2x2sinxcosxcos2x，整理得2sinxcosx.(sinxcosx)212sinxcosx，由x0知，sinx0，又sinxcosx0，sinxcosx0，故sinxcosx.引申探究本例(2)中若将条件“x0”改为“0x”，求sinxcosx的值解若0x0
7、，cosx0，故sinxcosx.思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形(2)注意角的范围对三角函数符号的影响跟踪训练2 (1)(2018唐山模拟)已知角的终边在第三象限，tan 22，则sin2sin(3)cos(2)cos2等于()AB.CD.答案D解析由tan22可得tan22，即tan2tan0，解得tan或tan.又角的终边在第三象限，故tan，故sin2sin(3)cos(2)cos2sin2sincoscos2.(2)已知函数f(x)asin(x)bcos(x)，且f(4)3，则f(2019)的值为()A1
8、B1C3D3答案D解析f(4)asin(4)bcos(4)asinbcos3，f(2019)asin(2019)bcos(2019)asin()bcos()(asinbcos)3.1已知是第四象限角，tan，则sin等于()A.BC.D答案D解析因为tan，所以，所以cossin，代入sin2cos21，解得sin，又是第四象限角，所以sin.2已知为锐角，且sin，则cos()等于()AB.CD.答案A解析为锐角，cos，cos()cos.3(2018大同质检)已知sin()cos(2)，|，则等于()ABC.D.答案D解析sin()cos(2)，sincos，tan.又|0，所以原式sin
9、cos.故选A.8(2018湖南省岳阳一中模拟)已知sinxcosx，x(0，)，则tanx等于()AB.C.D答案D解析由题意可知sinxcosx，x(0，)，则(sinxcosx)2，因为sin2xcos2x1，所以2sinxcosx，即，得tanx或tanx.当tanx时，sinxcosx0，所以A为锐角，由tanA以及sin2Acos2A1，可求得sinA.10(2018唐山检测)sincostan的值是答案解析原式sincostan().11已知0，若cossin，则的值为答案解析因为cossin，所以12sincos，即2sincos.所以(sincos)212sincos1.又0
10、0.所以sincos.由得sin，cos，tan2，所以.12已知kZ，化简：.解当k2n(nZ)时，原式1；当k2n1(nZ)时，原式1.综上，原式1.13若sin，cos是方程4x22mxm0的两根，则m的值为()A1B1C1D1答案B解析由题意知sincos，sincos，又(sincos)212sincos，1，解得m1，又4m216m0，m0或m4，m1.14已知A，B为ABC的两个内角，若sin(2A)sin(2B)，cos Acos(B)，则B.答案解析由已知得化简得2cos2A1，即cosA.当cosA时，cosB，又A，B是三角形内角，B；当cosA时，cosB，又A，B是三角形内角，A，B，不合题意，舍去，综上可知B.15已知，且sin()cos.cos()cos()，求，.解由已知可得sin23cos22，sin2，又，sin，.将代入中得sin，又，综上，.16已知cossin1.求cos2cos1的取值范围解由已知得cos1sin.1cos1，11sin1，又1sin1，可得0sin1，cos2cos1sin21sin1sin2sin2.(*)又0sin1，当sin时，(*)式取得最小值，当sin0或sin1时，(*)式取得最大值0，故所求范围是.13