1、10.3二项式定理最新考纲能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题1二项式定理二项式定理(ab)nCanCan1b1CankbkCbn(nN*)二项展开式的通项公式Tk1Cankbk，它表示第k1项二项式系数二项展开式中各项的系数C(k0,1,2，n)2.二项式系数的性质(1)C1，C1.CCC.(2)CC.(3)当n是偶数时，项的二项式系数最大；当n是奇数时，与项的二项式系数相等且最大(4)(ab)n展开式的二项式系数和：CCCC2n.概念方法微思考1(ab)n与(ba)n的展开式有何区别与联系？提示(ab)n的展开式与(ba)n的展开式的项完
2、全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同2二项展开式形式上有什么特点？提示二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.3二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？提示不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)Cankbk是二项展开式的第k项()(2)二项展开式中
3、，系数最大的项为中间一项或中间两项()(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()(4)(ab)n的展开式第k1项的系数为Cankbk.()(5)(x1)n的展开式二项式系数和为2n.()题组二教材改编2(12x)5的展开式中，x2的系数等于()A80B40C20D10答案B解析Tk1C(2x)kC2kxk，当k2时，x2的系数为C2240.3若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()A10B20C30D120答案B解析二项式系数之和2n64，所以n6，Tk1Cx6kkCx62k，当62k0，即当k3时为常数项，T4C20.4若(x1)4a0a1xa2x2a3x3
4、a4x4，则a0a2a4的值为()A9B8C7D6答案B解析令x1，则a0a1a2a3a40，令x1，则a0a1a2a3a416，两式相加得a0a2a48.题组三易错自纠5(xy)n的二项展开式中，第m项的系数是()ACBCCCD(1)m1C答案D解析(xy)n二项展开式第m项的通项公式为TmC(y)m1xnm1，所以系数为C(1)m1.6已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列a1，a2，a3，ak(1k11，kN*)是一个单调递增数列，则k的最大值是()A5B6C7D8答案B解析由二项式定理知，anC(n1,2,3，11)又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a
5、6C，则k的最大值为6.7(2018海淀模拟)在5的二项展开式中，x3的系数为_答案10解析因为其通项为Tk1Cx5kk2kCx52k，令52k3，得k1，所以x3的系数为21C10.题型一二项展开式命题点1求指定项(或系数)例1(1)(2017全国)(1x)6的展开式中x2的系数为()A15B20C30D35答案C解析因为(1x)6的通项为Cxk，所以(1x)6的展开式中含x2的项为1Cx2和Cx4.因为CC2C230，所以(1x)6的展开式中x2的系数为30.故选C.(2)在(x24)5的展开式中，含x6的项为_答案160x6解析因为(x24)5的展开式的第k1项为Tk1C(x2)5k(4
6、)k(4)kCx102k，令102k6，得k2，所以含x6的项为T3(4)2Cx6160x6.命题点2求参数例2(1)(2018海口调研)若(x2a)10的展开式中x6的系数为30，则a等于()A.B.C1D2答案D解析由题意得10的展开式的通项公式是Tk1Cx10kkCx102k，10的展开式中含x4(当k3时)，x6(当k2时)项的系数分别为C，C，因此由题意得CaC12045a30，由此解得a2，故选D.(2)若6的展开式中常数项为，则实数a的值为()A2B.C2D答案A解析6的展开式的通项为Tk1C(x2)6kkCkx123k，令123k0，得k4.故C4，即4，解得a2，故选A.思维
7、升华求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k1，代回通项公式即可跟踪训练1(1)(2017全国)(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为()A80B40C40D80答案C解析因为x3y3x(x2y3)，其系数为C2240，x3y3y(x3y2)，其系数为C2380.所以x3y3的系数为804040.故选C.(2)(xa)10的展开式中，x7项的系数为15，则a_.(用数字填写答案)答案解析通项为Tk1Cx10kak，令10k7，k3，x7项的系数为Ca315，a3，a.题型二二项式系数的和与各项的系数
8、和问题例3(1)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.答案3解析设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，令x1，得16(a1)a0a1a2a3a4a5，令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)，即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1a3a58(a1)，所以8(a1)32，解得a3.(2)(2018汕头质检)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数m的值为_答案1或3解析令x0，则(2m)9a0a1a2a9，令x2，则m9a0a1a2a3a
9、9，又(a0a2a8)2(a1a3a9)2(a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39，(2m)9m939，m(2m)3，m3或m1.(3)若n的展开式中含x的项为第6项，设(13x)na0a1xa2x2anxn，则a1a2an的值为_答案255解析n展开式的第k1项为Tk1C(x2)nkkC(1)kx2n3k，当k5时，2n3k1，n8.对(13x)8a0a1xa2x2a8x8，令x1，得a0a1a828256.又当x0时，a01，a1a2a8255.思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(axb)n，(ax2bxc)m (a，b，cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常
10、用赋值法(2)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.跟踪训练2已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.解令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0C1，a1a2a3a72.(2)()2，得a1a3a5a71094.(3)()2，得a0a2a4a61093.(4)方法一(12x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1
11、，a3，a5，a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1093(1094)2187.方法二|a0|a1|a2|a7|即为(12x)7展开式中各项的系数和，令x1，|a0|a1|a2|a7|372187.题型三二项式定理的应用例4(1)设aZ且0a13，若512012a能被13整除，则a等于()A0B1C11D12答案D解析512012a(521)2012aC522012C522011C52(1)2011C(1)2012a，C522012C522011C52(1)2011能被13整除且512012a能被13整除，C(1)2012a1a也能被13整除，因此a的
12、值为12.(2)设复数x(i是虚数单位)，则CxCx2Cx3Cx2017等于()AiBIC1iD1i答案C解析x1i，CxCx2Cx3Cx2017(1x)20171i20171i1.思维升华 (1)逆用二项式定理的关键根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解(2)利用二项式定理解决整除问题的思路观察除式与被除式间的关系；将被除式拆成二项式；结合二项式定理得出结论跟踪训练3(1)(2018泉州模拟)190C902C903C(1)k90kC9010C除以88的余数是()A1B1C87D87答案B解析190C902C903C(1)k90kC9010
13、C(190)108910(881)108810C889C881，前10项均能被88整除，余数是1.(2)若(12x)2018a0a1xa2x2a2018x2018，则_.答案1解析当x0时，左边1，右边a0，a01.当x时，左边0，右边a0，01，即1.1(2018贵港联考)在6的展开式中，常数项为()A240B60C60D240答案D解析6的展开式中，通项公式为Tk1C(x2)6kk(2)kCx123k，令123k0，得k4，故常数项为T5(2)4C240，故选D.2(2018南宁联考)5的展开式中x3项的系数为()A80B80C40D48答案B解析5的展开式的通项公式为Tk1C(2x)5k
14、k(1)k25kCx52k，令52k3，得k1.于是展开式中x3项的系数为(1)251C80，故选B.3(2018广州海珠区模拟)(xy)(2xy)6的展开式中x4y3的系数为()A80B40C40D80答案D解析(2xy)6的展开式的通项公式为Tk1C(2x)6k(y)k，当k2时，T3240x4y2，当k3时，T4160x3y3，故x4y3的系数为24016080，故选D.4(13x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则x4的二项式系数为()A21B35C45D28答案B解析Tk1C(3x)k3kCxk，由已知得35C36C，即C3C，n7，因此，x4的二项式系数为C35，故选B.5(4x
15、2x)6(xR)展开式中的常数项是()A20B15C15D20答案C解析设展开式中的常数项是第k1项，则Tk1C(4x)6k(2x)kC(1)k212x2kx2kxC(1)k212x3kx，12x3kx0恒成立，k4，T5C(1)415.6(2018海南联考)(x2x1)(x1)4的展开式中，x3的系数为()A3B2C1D4答案B解析(x1)4的通项为Tk1Cx4k(1)k，(x2x1)(x1)4的展开式中，x3的系数为C(1)CC(1)2，故选B.7(2018长郡中学质检)若二项式7的展开式中的各项系数之和为1，则含x2的项的系数为()A560B560C280D280答案A解析取x1，得二项
16、式7的展开式中的各项系数之和为(1a)7，即(1a)71，解得a2.二项式7的展开式的通项为Tk1C(x2)7kkC(2)kx143k.令143k2，得k4.因此，二项式7的展开式中含x2项的系数为C(2)4560，故选A.8(2018益阳市、湘潭市调考)若(13x)2018a0a1xa2018x2018，xR，则a13a232a201832018的值为()A220181B820181C22018D82018答案B解析由已知，令x0，得a01，令x3，得a0a13a232a2 01832 018(19)2 01882 018，所以a13a232a2 01832 01882 018a082 01
17、81，故选B.9若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_.(用数字作答)答案10解析f(x)x5(1x1)5，它的通项为Tk1C(1x)5k(1)k，T3C(1x)3(1)210(1x)3，a310.10若6的展开式中x3项的系数为20，则log2alog2b_.答案0解析6的展开式的通项为Tk1Ca6kbkx123k，令123k3，则k3，6的展开式中x3项的系数为Ca3b320，ab1，log2alog2blog2(ab)log210.119192除以100的余数是_答案81解析9192(901)92C909
18、2C9091C902C90Ck10092901k1008210081(k为正整数)，所以9192除以100的余数是81.12(2018南阳模拟)若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，则a2a4a12_.(用数字作答)答案364解析令x1，得a0a1a2a1236，令x1，得a0a1a2a121，a0a2a4a12.令x0，得a01，a2a4a121364.13(2018珠海模拟)在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)等于()A45B60C120D210答案C解析因为f(m，n)CC，所以f(3,0)f(2
19、,1)f(1,2)f(0,3)CCCCCCCC120.14(2018衡水模拟)已知n(nN*)的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p，q，则p64q的最小值为_答案16解析显然p2n.令x1，得q.所以p64q2n216，当且仅当2n，即n3时取等号，此时p64q的最小值为16.15求5的展开式中的常数项解5表示五个相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，第一种是从五个中分别抽取2x,2x，3，则此时的常数项为CC22(3)360，第二种情况是从五个中都抽取3，则此时的常数项为(3)5243，第三种情况是从五个中分别抽取2x，3，3，3，则此时的常数项为CC21(3)31080，则展开式中常数项为36024310801683.16若n展开式中前三项的系数和为163，求：(1)展开式中所有x的有理项；(2)展开式中系数最大的项解易求得展开式前三项的系数为1,2C，4C.由题意得12C4C163，可得n9.(1)设展开式中的有理项为Tk1，由Tk1C()9kk，又0k9，k2,6.故有理项为T3144x3，T75376.(2)设展开式中Tk1项的系数最大，则k，又kN，k6，故展开式中系数最大的项为T75376.11