1、5.3平面向量的数量积最新考纲1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系1向量的夹角已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是0，2平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cos叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的
2、投影|b|cos的乘积3.向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc.4平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角coscosab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|概念方法微思考1a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相同吗？提示不相同因为a在b方向上的投影为|a|cos，而b在a方向上的投影为|b|cos，其中为a与b的夹角2两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？提示不一定当夹角为0时，数量积也大于0
3、.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)由ab0可得a0或b0.()(4)(ab)ca(bc)()(5)两个向量的夹角的范围是.()(6)若ab0，|ab|2cosx.(2)f(x)cos2x2cosx2cos2x2cosx122.x，cosx1，当cosx时，f(x)取得最小值；当cosx1时，f(x)取得最大值1.思维升华平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等
4、式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等跟踪训练2在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sinx，cosx)，x.(1)若mn，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解(1)因为m，n(sinx，cosx)，mn.所以mn0，即sinxcosx0，所以sinxcosx，所以tanx1.(2)因为|m|n|1，所以mncos，即sinxcosx，所以sin，因为0x，所以x0”是“a与b的夹角为锐角”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C
5、充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析根据向量数量积的定义式可知，若ab0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有ab0，所以“ab0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.2(2019西北师大附中冲刺诊断)已知向量a(1,1)，b(2，3)，若ka2b与a垂直，则实数k的值为()A1B1C2D2答案B解析向量a(1,1)，b(2，3)，则ka2b.若ka2b与a垂直，则k4k60，解得k1.故选B.3(2018华中师大一附中模拟)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，ab(，)，则|2ab|等于()A2B.C.D2答案A解析根据题意，|ab|，则(ab)2a
6、2b22ab52ab5，可得ab0，结合|a|1，|b|2，可得(2ab)24a2b24ab448，则2，故选A.4(2018东三省三校模拟)非零向量a，b满足：|ab|a|，a(ab)0，则ab与b夹角的大小为()A135B120C60D45答案A解析非零向量a，b满足a(ab)0，a2ab，由|ab|a|可得，a22abb2a2，解得|b|a|，cos，135，故选A.5(2019咸阳模拟)已知两个单位向量a和b的夹角为60，则向量ab在向量a方向上的投影为()A1B1CD.答案D解析由题意可得|a|b|1，且ab|a|b|cos60，a(ab)a2ab1，则向量ab在向量a方向上的投影为
7、.故选D.6(2018钦州质检)已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点，则的取值范围是()A1,0B1,2C1,3D1,4答案C解析如图所示，由题意可得，点M所在区域的不等式表示为(x1)2(y1)21(0x2,0y2)可设点M(x，y)，A(0,0)，B(2,0)(x，y)(2x，y)x(2x)y2(x1)2y21，由0,2，1,3，故选C.7(2018烟台模拟)若平面向量a，b满足b7，|a|，|b|2，则向量a与b的夹角为_答案解析(ab)babb27，ab7b23.设向量a与b的夹角为，则cos.又0，即向量a与b的夹角为.8已知向量a，b满足|a|1，|b|，|
8、ab|，则a在b方向上的投影为_答案解析向量a，b满足|a|1，|b|，|ab|，|ab|，解得ab1.a在b方向上的投影为.9.如图，在ABC中，AC3，BC4，C90，D是BC的中点，则的值为_答案17解析如图，建立平面直角坐标系，则C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，D(0,2)则(3，4)，(3,2)3(3)4217.10(2018河北省衡水中学模拟)已知平面向量a，b，|a|1，|b|2且ab1，若e为平面单位向量，则(ab)e的最大值为_答案解析由|a|1，|b|2，且ab1，得cosa，b，a，b60，设a(1,0)，b(1，)，e(cos，sin)，(ab)esin，(a
9、b)e的最大值为.11已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面积解(1)因为(2a3b)(2ab)61，所以4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，所以644ab2761，所以ab6，所以cos.又0，所以.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，所以|ab|.(3)因为与的夹角，所以ABC.又|a|4，|b|3，所以SABC|sinABC433.12已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，求()的最小值解方法一设BC的中点为D，AD的中点为E，则有2，则
10、()22()()2(22)而22，当P与E重合时，2有最小值0，故此时()取最小值，最小值为222.方法二以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A(1,0)，B(1,0)，C(0，)，设P(x，y)，取BC的中点D，则D.()22(1x，y)22.因此，当x，y时，()取最小值，为2.13(2018南宁摸底)已知O是ABC内部一点，0，2且BAC60，则OBC的面积为()A.B.C.D.答案A解析0，O为三角形的重心，OBC的面积为ABC面积的，2，|cosBAC2，BAC60，|4，ABC的面积为|sinBAC，OBC的面积为，故选A.14(2019衡阳模拟)在A
11、BC中，A120，3，点G是ABC的重心，则|的最小值是()A.B.C.D.答案B解析设BC的中点为D，因为点G是ABC的重心，所以()()，再令|c，|b，则bccos1203，所以bc6，所以|2(|22|2)(c2b26)(2bc6)，所以|，当且仅当bc时取等号，故选B.15.如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，ABAD，AB，BC2，点E为AB的中点，若2，则向量在向量上的投影为_答案解析如图，以BC，BA为x，y轴建立平面直角坐标系，则C(2,0)，B(0,0)，A(0，)，E.设ADa，则D(a，)，则，(a，)，2a12，a，(2,0)1，在方向上的投影是.16.如图，等边ABC的边长为2，顶点B，C分别在x轴的非负半轴，y轴的非负半轴上滑动，M为AB的中点，求的最大值解设OBC，则B，C，A，M，2sinsin4cos22cos26coscos2sin224cos26coscos24cos26cos2cos23sincoscos2sin2sin.的最大值为.17