1、4.3三角函数的图象与性质最新考纲1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性.2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在0,2，正切函数在上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴交点等)1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数ysinx，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，0)(2)在余弦函数ycosx，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysinxycosxytanx图象定义域RR xk值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增
2、区间2k，2k递减区间2k，2k无对称中心(k，0)对称轴方程xkxk无概念方法微思考1正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？提示正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期2思考函数f(x)Asin(x)(A0，0)是奇函数，偶函数的充要条件？提示(1)f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysinx在第一、第四象限是增函数()(2)由sinsin知，是正弦函数ysinx(xR)的一个周期()(3)正切函数
3、ytanx在定义域内是增函数()(4)已知yksinx1，xR，则y的最大值为k1.()(5)ysin|x|是偶函数()题组二教材改编2函数f(x)cos的最小正周期是答案3y3sin在区间上的值域是答案解析当x时，2x，sin，故3sin，即y3sin的值域为.4函数ytan的单调递减区间为答案(kZ)解析由k2xk(kZ)，得xcos23cos97解析sin68cos22，又ycosx在0，180上是减函数，sin68cos23cos97.题型一三角函数的定义域1函数f(x)2tan的定义域是()A.B.C.D.答案D解析由正切函数的定义域，得2xk，kZ，即x(kZ)，故选D.2函数y的
4、定义域为答案(kZ)解析方法一要使函数有意义，必须使sinxcosx0.利用图象，在同一坐标系中画出0,2上ysinx和ycosx的图象，如图所示在0,2内，满足sinxcosx的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以原函数的定义域为.方法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)所以定义域为.3函数ylg(sinx)的定义域为答案解析要使函数有意义，则即解得所以2kx2k(kZ)，所以函数的定义域为.思维升华三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解题型二三角函数的值域(最值)例1(1)函数y2sin
5、(0x9)的最大值与最小值之和为()A2B0C1D1答案A解析因为0x9，所以，所以sin1，则y2.所以ymaxymin2.(2)函数ycos2x2cosx的值域是()A1,3B.C.D.答案B解析ycos2x2cosx2cos2x2cosx122，因为cosx1,1，所以原式的值域为.思维升华求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如yasinxbcosxc的三角函数化为yAsin(x)c的形式，再求值域(最值)；(2)形如yasin2xbsinxc的三角函数，可先设sinxt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如yasinxcosxb(sinxcosx)c的三角函
6、数，可先设tsinxcosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值跟踪训练1(1)已知函数f(x)sin，其中x，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是答案解析x，x，当x时，f(x)的值域为，由函数的图象(图略)知，a，a.(2)(2018长沙质检)函数ysinxcosxsinxcosx的值域为答案解析设tsinxcosx，则t2sin2xcos2x2sinxcosx，sinxcosx，且t.yt(t1)21，t，当t1时，ymax1；当t时，ymin.函数的值域为.题型三三角函数的周期性与对称性例2(1)若函数f(x)2t
7、an的最小正周期T满足1T2，则自然数k的值为_答案2或3解析由题意得12，kN，k0)图象的两条相邻对称轴，则的一个可能取值为()A.B.C.D.答案A解析由题意，函数的周期T22，1，ycos(x)，当x时，函数取得最大值或最小值，即cos1，可得k，kZ，k，kZ.当k2时，可得.题型四三角函数的单调性命题点1求三角函数的单调区间例3(1)函数f(x)sin的单调递减区间为答案(kZ)解析f(x)sinsinsin，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所求函数的单调递减区间为(kZ)(2)函数f(x)tan的单调递增区间是答案(kZ)解析由k2xk(kZ)，得x0，函数f(x)sin
8、在上单调递减，则的取值范围是答案解析由x0，得x0，kZ，得k0，所以.引申探究本例中，若已知0，函数f(x)cos在上单调递增，则的取值范围是答案解析函数ycosx的单调递增区间为2k，2k，kZ，则kZ，解得4k2k，kZ，又由4k0，kZ且2k0，kZ，得k1，所以.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，可借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解跟踪训练3(1)已知函数f(x)2sin，则函数
9、f(x)的单调递减区间为()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)答案D解析函数的解析式可化为f(x)2sin.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，即函数f(x)的单调递减区间为(kZ)(2)(2018武汉联考)若函数g(x)sin在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是答案解析由2k2x2k(kZ)，可得kxk(kZ)，g(x)的单调递增区间为(kZ)又函数g(x)在区间和上均单调递增，解得a0)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为答案，kZ解析由图象知，周期T22，2，.由2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2kx2k，kZ，得2kx0，0)若f(x)在区间上
10、具有单调性，且fff，则f(x)的最小正周期为答案解析记f(x)的最小正周期为T.由题意知，又fff，且，可作出示意图如图所示(一种情况)：x1，x2，x2x1，T.1(2018广州质检)下列函数中，是周期函数的为()Aysin|x|Bycos|x|Cytan|x|Dy(x1)0答案B解析cos|x|cosx，ycos|x|是周期函数2函数f(x)sin在区间上的最小值为()A1BC.D0答案B解析由已知x，得2x，所以sin，故函数f(x)sin在区间上的最小值为.故选B.3函数ysinx2的图象是()答案D解析函数ysinx2为偶函数，排除A，C；又当x时函数取得最大值，排除B，故选D.4
11、函数ycos2x2sinx的最大值与最小值分别为()A3，1B3，2C2，1D2，2答案D解析ycos2x2sinx1sin2x2sinxsin2x2sinx1，令tsinx，则t1,1，yt22t1(t1)22，所以ymax2，ymin2.5已知函数f(x)2sin(2x)的图象过点(0，)，则f(x)图象的一个对称中心是()A.B.C.D.答案B解析函数f(x)2sin(2x)的图象过点(0，)，则f(0)2sin，sin，又|0，则f(x)的单调递减区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)答案C解析由题意可得函数f(x)sin(2x)的图象关于直线x对称，故有2k，kZ
12、，即k，kZ.又fsin0，所以2n，nZ，所以f(x)sin(2x2n)sin2x.令2k2x2k，kZ，求得kxk，kZ，故函数f(x)的单调递减区间为，kZ.7函数y的定义域为答案解析要使函数有意义必须有tan0，则所以x，kZ，所以x，kZ，所以原函数的定义域为.8(2018珠海模拟)设函数f(x)3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的xR，都有f(x1)f(x)f(x2)成立，则|x1x2|的最小值为答案2解析|x1x2|的最小值为函数f(x)的半个周期，又T4，|x1x2|的最小值为2.9已知函数f(x)2sin1(xR)的图象的一条对称轴为x，其中为常数，且(1,2)，则
13、函数f(x)的最小正周期为答案解析由函数f(x)2sin1(xR)的图象的一条对称轴为x，可得k，kZ，k，又(1,2)，得函数f(x)的最小正周期为.10已知函数f(x)，则下列说法正确的是(填序号)f(x)的周期是；f(x)的值域是y|yR，且y0；直线x是函数f(x)图象的一条对称轴；f(x)的单调递减区间是，kZ.答案解析函数f(x)的周期为2，错；f(x)的值域为0，)，错；当x时，x，kZ，x不是f(x)的对称轴，错；令kxk，kZ，可得2kx2k，kZ，f(x)的单调递减区间是，kZ，正确11(2017北京)已知函数f(x)cos2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；
14、(2)求证：当x时，f(x).(1)解f(x)cos2xsin2xsin2xsin2xcos2xsin.所以f(x)的最小正周期T.(2)证明因为x，所以2x.所以sinsin.所以当x时，f(x).12(2018天津河西区模拟)已知函数f(x)2cos2xcos1.(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程；(2)讨论函数f(x)在上的单调性解(1)f(x)2cos2xcos1cos2xcos2xsin2xsin，因为2，所以最小正周期T，令2xk，kZ，所以对称轴方程为x，kZ.(2)令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，设A，B，易知AB，所以，当x时，f(x)在区间上单调递增；在区间
15、上单调递减13(2018湖南衡阳八中月考)定义运算：a*b例如1*2，则函数f(x)=sinx*cosx的值域为()A.B1,1C.D.答案D解析根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可，设x0,2，当x时，sinxcosx，此时f(x)cosx，f(x)，当0x或sinx，此时f(x)sinx，f(x)1,0综上知f(x)的值域为.14已知函数f(x)2cos(x)1，其图象与直线y3相邻两个交点的距离为，若f(x)1对任意x恒成立，则的取值范围是()A.B.C.D.答案B解析由题意可得函数f(x)2cos(x)1的最大值为3.f(x)的图象与直线y3相邻两个交点的距
16、离为，f(x)的周期T，解得3，f(x)2cos(3x)1.f(x)1对任意x恒成立，2cos(3x)11，即cos(3x)0对任意x恒成立，2k且2k，kZ，解得2k且2k，kZ，即2k2k，kZ.结合|可得，当k0时，的取值范围为.15已知函数f(x)cos(2x)在上单调递增，若fm恒成立，则实数m的取值范围为答案0，)解析f(x)cos(2x)，当x时，2x，由函数f(x)在上是增函数得kZ，则2k2k(kZ)又0，0，fcos，又，fmax0，m0.16设函数f(x)2sinm的图象关于直线x对称，其中0.(1)求函数f(x)的最小正周期(2)若函数yf(x)的图象过点(，0)，求函数f(x)在上的值域解(1)由直线x是yf(x)图象的一条对称轴，可得sin1，2k(kZ)，即(kZ)又0，函数f(x)的最小正周期为3.(2)由(1)知f(x)2sinm，f()0，2sinm0，m2，f(x)2sin2，当0x时，x，sin1.3f(x)0，故函数f(x)在上的值域为.20