1、5.1平面向量的概念及线性运算最新考纲1.通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示.2.通过实例,掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.3.通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义1向量的有关概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模(2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的(3)单位向量:长度等于1个单位的向量(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量平行(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量(6)相反向
2、量:长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律:abba;结合律:(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算|a|a|,当0时,a与a的方向相同;当0时,a与a同方向;当|b|答案A解析方法一|ab|ab|,|ab|2|ab|2.a2b22aba2b22ab.ab0.ab.故选A.方法二利用向量加法的平行四边形法则在ABCD中,设a,b,由|ab|ab|知,|,从而四边形ABCD为矩形,即ABAD,故ab.故选A.命题点2向量的线性运算例2(1)在平行四边形ABCD中,点E为CD的
3、中点,BE与AC的交点为F,设a,b,则向量等于()A.abBabCabD.ab答案C解析()ab,故选C.(2)(2018全国)在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则等于()A.B.C.D.答案A解析作出示意图如图所示()().故选A.命题点3根据向量线性运算求参数例3在锐角ABC中,3,xy,则_.答案3解析由题意得3(),即43,亦即,则x,y.故3.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合三角形法则(2)求已知向量的和共起点的向量求和用平行四边形法则;求差用三角形法则;求首尾相连向量的和用三角形法则(3)求参数问题
4、可以通过研究向量间的关系,通过向量的运算将向量表示出来,进行比较,求参数的值跟踪训练1(1)在ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且2,3,若a,b,则等于()A.abB.abCabDab答案C解析()ab,故选C.(2)(2018威海模拟)在平行四边形ABCD中,E,F分别为边BC,CD的中点,若xy(x,yR),则xy_.答案2解析由题意得,因为xy,所以,所以解得所以xy2.题型三共线定理的应用例4设两个非零向量a与b不共线(1)若ab,2a8b,3(ab),求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使kab和akb共线(1)证明ab,2a8b,3(ab),2a8b3(ab)2a
5、8b3a3b5(ab)5,共线又它们有公共点B,A,B,D三点共线(2)解假设kab与akb共线,则存在实数,使kab(akb),即(k)a(k1)b.又a,b是两个不共线的非零向量,kk10.消去,得k210,k1.引申探究1若将本例(1)中“2a8b”改为“amb”,则m为何值时,A,B,D三点共线?解(amb)3(ab)4a(m3)b,即4a(m3)b.若A,B,D三点共线,则存在实数,使.即4a(m3)b(ab)所以解得m7.故当m7时,A,B,D三点共线2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值?解因为kab与akb反向共线,所以存在实数,使kab(akb)(0)所以所
6、以k1.又1,因为,所以m,即,又知A,B,D三点共线,所以1,即m,所以1,故选B.15已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是ABC的重心,动点P满足,则点P一定为ABC的()ABC边中线的中点BBC边中线的三等分点(非重心)C重心DBC边的中点答案B解析设BC的中点为M,则,(2),即32,也就是2,P,M,A三点共线,且P是AM上靠近A点的一个三等分点16设W是由一平面内的n(n3)个向量组成的集合若aW,且a的模不小于W中除a外的所有向量和的模则称a是W的极大向量有下列命题:若W中每个向量的方向都相同,则W中必存在一个极大向量;给定平面内两个不共线向量a,b,在该平面内总存在唯一的平面向量cab,使得Wa,b,c中的每个元素都是极大向量;若W1a1,a2,a3,W2b1,b2,b3中的每个元素都是极大向量,且W1,W2中无公共元素,则W1W2中的每一个元素也都是极大向量其中真命题的序号是_答案解析若有几个方向相同,模相等的向量,则无极大向量,故不正确;由题意得a,b,c围成闭合三角形,则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模,故正确;3个向量都是极大向量,等价于3个向量之和为0,故W1a1,a2,a3,W2b1,b2,b3中的每个元素都是极大向量时,W1W2中的每一个元素也都是极大向量,故正确16