1、8.3直线、平面垂直的判定与性质考情考向分析直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用等内容题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想1直线与平面垂直(1)定义如果直线a与平面内的任意一条直线都垂直，则直线a与平面互相垂直，记作a，直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面垂线和平面的交点即为垂足(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面l性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行ab2.直线和平面所成
2、的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0的角(2)范围：.3平面与平面垂直(1)二面角的有关概念二面角：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角(2)平面和平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个
3、平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面l概念方法微思考1若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？提示垂直若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面2两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？提示垂直在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平
4、行由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)直线a，b，则ab.()(3)若，a，则a.()(4)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直()(5)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()题组二教材改编2P43练习T2下列命题中正确的是_(填序号)如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面；如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面；如果平面平面，平面平面，l，那么l平面；如果平面平面，那么平面内所有直
5、线都垂直于平面.答案解析对于，若平面平面，则平面内的直线可能不垂直于平面，即与平面的关系还可以是斜交、平行或在平面内，其他命题均是正确的3P45T11在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心；(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连结OA，OB，OC，OP，在RtPOA，RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，所以OAOBOC，即O为ABC的外心(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.PCPA，PBPC，PAPBP，PA，PB平面PAB，PC平面PAB
6、，又AB平面PAB，PCAB，ABPO，POPCP，PO，PC平面PGC，AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG，即CG为ABC边AB上的高同理可证BD，AH分别为ABC边AC，BC上的高，即O为ABC的垂心题组三易错自纠4若l，m为两条不同的直线，为平面，且l，则“m”是“ml”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析由l且m能推出ml，充分性成立；若l且ml，则m或者m，必要性不成立，因此“m”是“ml”的充分不必要条件5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，
7、MN的位置关系是_答案垂直解析因为DD1平面ABCD，所以ACDD1，又因为ACBD，DD1BDD，所以AC平面BDD1B1，因为OM平面BDD1B1，所以OMAC.设正方体的棱长为2，则OM，MN，ON，所以OM2MN2ON2，所以OMMN.6如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上不同于A，B的任一点，则图中直角三角形的个数为_答案4解析因为AB是圆O的直径，所以ACBC，ACB是直角三角形；由PA平面ABC可得，PAAB，PAAC，所以PAB与PAC是直角三角形；因为PA平面ABC，且BC平面ABC，所以PABC.又BCAC，PAACA，所以BC平面PAC.而PC平面
8、PAC，所以BCPC，PCB是直角三角形故直角三角形的个数为4.题型一直线与平面垂直的判定与性质例1如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA13，BC2，D是BC的中点，F是CC1上一点当CF2时，证明：B1F平面ADF.证明因为ABAC，D是BC的中点，所以ADBC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，因为BB1底面ABC，AD底面ABC，所以ADB1B.因为BCB1BB，BC，B1B平面B1BCC1，所以AD平面B1BCC1.因为B1F平面B1BCC1，所以ADB1F.方法一在矩形B1BCC1中，因为C1FCD1，B1C1CF2，所以RtDCFRtFC1B1，所以CFDC1B1F
9、，所以B1FD90，所以B1FFD.因为ADFDD，AD，FD平面ADF，所以B1F平面ADF.方法二在RtB1BD中，BDCD1，BB13，所以B1D.在RtB1C1F中，B1C12，C1F1，所以B1F.在RtDCF中，CF2，CD1，所以DF.显然DF2B1F2B1D2，所以B1FD90.所以B1FFD.因为ADFDD，AD，FD平面ADF，所以B1F平面ADF.思维升华证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明线面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质跟踪训练1如图，在三棱锥ABCD中，ABA
10、D，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.证明(1)在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，则ABEF.又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因为AD平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC，所以ADAC.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，AP
11、平面PCD，E，F分别为PC，AB的中点(1)求证：平面PAD平面ABCD；(2)求证：EF平面PAD.证明(1)因为AP平面PCD，CD平面PCD，所以APCD.又四边形ABCD为矩形，所以ADCD，又因为APADA，AP平面PAD，AD平面PAD，所以CD平面PAD.又因为CD平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD.(2)连结AC，BD交于点O，连结OE，OF.因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点因为E为PC的中点，所以OEPA.因为OE平面PAD，PA平面PAD，所以OE平面PAD.同理可证OF平面PAD.因为OEOFO，OB，OF平面OEF，所以平面OEF平面PAD.因为EF
12、平面OEF，所以EF平面PAD.思维升华 (1)判定面面垂直的方法面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直跟踪训练2(2018南京、盐城模拟)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCAC，D，E分别是AB，AC的中点(1)求证：B1C1平面A1DE；(2)求证：平面A1DE平面ACC1A1.证明(1)因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DEBC.又因为在三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1BC，所以B1C1DE.又B1C1平面A1DE，DE平面A1DE，所以B1C1平面A1
13、DE.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，又DE底面ABC，所以CC1DE.又BCAC，DEBC，所以DEAC.又CC1，AC平面ACC1A1，且CC1ACC，所以DE平面ACC1A1，又因为DE平面A1DE，所以平面A1DE平面ACC1A1.题型三垂直关系中的探索性问题例3如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，已知ABAC，AA13，BCCF2.(1)求证：C1E平面ADF；(2)设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM平面ADF.(1)证明连结CE交AD于O，连结OF.因为CE，AD为ABC的中线，则O为ABC的重
14、心，故，故OFC1E，因为OF平面ADF，C1E平面ADF，所以C1E平面ADF.(2)解当BM1时，平面CAM平面ADF.证明如下：因为ABAC，AD平面ABC，故ADBC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，BB1平面B1BCC1，故平面B1BCC1平面ABC.又平面B1BCC1平面ABCBC，AD平面ABC，所以AD平面B1BCC1，又CM平面B1BCC1，故ADCM.又BM1，BC2，CD1，FC2，故RtCBMRtFCD.易证CMDF，又DFADD，DF，AD平面ADF，故CM平面ADF.又CM平面CAM，故平面CAM平面ADF.思维升华对命题条件的探索的三种途径途径一
15、：先猜后证途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性途径三：将几何问题转化为代数问题跟踪训练3如图所示的空间几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE平面ABCD，EFAB，EGAD，EFEG1.(1)求证：平面CFG平面ACE；(2)在AC上是否存在一点H，使得EH平面CFG？若存在，求出CH的长，若不存在，请说明理由(1)证明连结BD交AC于点O，则BDAC.设AB，AD的中点分别为M，N，连结MN，则MNBD，连结FM，GN，则FMGN，且FMGN，所以四边形FMNG为平行四边形，所以MNFG，所以BDFG，所以FGAC.由于AE平面ABCD，
16、所以AEBD.所以FGAE，又因为ACAEA，AC，AE平面ACE，所以FG平面ACE.又FG平面CFG，所以平面CFG平面ACE.(2)解存在设平面ACE交FG于Q，则Q为FG的中点，连结EQ，CQ，取CO的中点H，连结EH，由已知易知，平面EFG平面ABCD，又平面ACE平面EFGEQ，平面ACE平面ABCDAC，所以CHEQ，又CHEQ，所以四边形EQCH为平行四边形，所以EHCQ，又CQ平面CFG，EH平面CFG，所以EH平面CFG，所以在AC上存在一点H，使得EH平面CFG，且CH.1已知两条异面直线平行于一平面，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是_(填序号
17、)平行；垂直；斜交；不能确定答案解析设a，b为异面直线，a平面，b平面，直线la，lb.过a作平面a，则aa，la.同理过b作平面b，则lb.a，b异面，a与b相交，l.2设l，m表示直线，m是平面内的一条直线，则“lm”是“l”成立的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案必要不充分解析由线面垂直的定义知，直线垂直于平面内至少两条相交直线，则直线与平面垂直，只平行于平面内一条直线说明充分性不成立，反之，直线垂直于平面，则直线垂直于平面内任意一条直线，说明是必要条件，则“lm”是“l”成立的必要不充分条件3已知平面，直线m，n.给出下列命题：若，n，mn，则m；
18、若n，n，m，则m；若m，n，mn，则；若，m，n，则mn.其中，真命题是_(填序号)答案解析对于，当m时，才能保证m，不对；对于，由m，n，得mn，又n，所以m，对；都对4设m，n是两条不同的直线，是三个不重合的平面，给出下列四个命题：若，m，则m；若，m，则m；若m，m，则；若mn，n，则m.其中正确的命题是_(填序号)答案解析易知正确；可能有m，m，m与相交等情况，故不正确；正确；可以有m或m，故不正确5设，是空间两个不同的平面，m，n是平面及外的两条不同直线从“mn；n；m”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.(用序号表示)答案(或)解析逐一判断若成立，
19、则m与的位置关系不确定，故错误；同理也错误；与均正确6.如图，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_答案4解析PA平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，PAAB，PAAC，PABC，则PAB，PAC为直角三角形由BCAC，且ACPAA，得BC平面PAC，从而BCPC，因此ABC，PBC也是直角三角形7.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线_上答案AB解析ACAB，ACBC1，ABBC1B，AC平面ABC1.又AC平面ABC，平面ABC1平面ABC.C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上8.如图所示，在四棱
20、锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)答案DMPC(或BMPC等)解析PA底面ABCD，BDPA，连结AC，则BDAC，且PAACA，BD平面PAC，BDPC.当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.9如图所示的五个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l平面MNP的是_(填序号)答案解析图中，只有MPl；图中，l与MN，PN，MP均不垂直；图中l与NP，MP不垂直10.如图，在棱长为2的正方体ABCD
21、A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上点P到直线CC1的距离的最小值为_答案解析点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P，显然点P到直线CC1的距离的最小值为PC的长度的最小值当PCDE时，PC的长度最小，此时PC.11(2018江苏南京师大附中考前模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证：ABEF；(2)若AFEF，求证：平面PAD平面ABCD.证明(1)因为四边形ABCD是矩形，所以ABCD.又AB平面PDC，CD平面PDC，所以AB
22、平面PDC，又因为AB平面ABE，平面ABE平面PDCEF，所以ABEF.(2)因为四边形ABCD是矩形，所以ABAD.因为AFEF，(1)中已证ABEF，所以ABAF.又ABAD，由点E在棱PC上(异于点C)，所以点F异于点D，所以AFADA，AF，AD平面PAD，所以AB平面PAD，又AB平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD.12.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAABBC，ADCD1，ADC120，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PNPB.(1)证明：MN平面PDC；(2)求直线MN与平面PAC所成角的正弦值(1)证明因为ABBC，ADCD，所以BD垂直平
23、分线段AC.又ADC120，所以MDAD，AM.所以AC.又ABBC，所以ABC是等边三角形，所以BM，所以3，又因为PNPB，所以3，所以MNPD.又MN平面PDC，PD平面PDC，所以MN平面PDC.(2)解因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPA，又BDAC，PAACA，PA，AC平面PAC，所以BD平面PAC.由(1)知MNPD，所以直线MN与平面PAC所成的角即直线PD与平面PAC所成的角，故DPM即为所求的角在RtPAD中，PD2，所以sinDPM，所以直线MN与平面PAC所成角的正弦值为.13在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，给出下面三个结
24、论：BC平面PDF；DF平面PAE；平面PDF平面ABC.其中不成立的结论是_(填序号)答案解析如图，由题意知BCDF，又BC平面PDF，DF平面PDF，BC平面PDF.PABC为正四面体，BCPE，AEBC，又AEPEE，BC平面PAE，DF平面PAE，平面PAE平面ABC，成立易知PMA为二面角PDFA的平面角设此正四面体的棱长为1，则PA1，AM，PM2PD2DM222，PA2AM2PM2，即PMA不为90，平面PDF与平面ABC不垂直，故不成立14.如图，PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AF
25、BC；AE平面PBC.其中正确结论的序号是_答案解析由题意知PA平面ABC，PABC.又ACBC，且PAACA，PA，AC平面PAC，BC平面PAC，BCAF.AFPC，且BCPCC，BC，PC平面PBC，AF平面PBC，AFPB，又AEPB，AEAFA，AE，AF平面AEF，PB平面AEF，PBEF.故正确15.如图，已知正方形ABCD的边长为4，中心为O.设PA平面ABCD，ECPA，且PA4，则CE_时，PO平面BDE.答案2解析要使PO平面BDE，因为易证POBO，所以只要使POOE，即POE90，只要使RtPAORtOCE，即，即只要，只要CE2.故当CE2时，可使PO平面BDE.1
26、6.如图，在直角梯形ABCD中，BCDC，AEDC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将ADE沿AE折起，则下列说法正确的是_(写出所有正确说法的序号)不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN平面DEC；不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MNAE；不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MNAB；在折起过程中，一定不会有ECAD.答案解析由已知，在未折叠的原梯形中，易知四边形ABCE为矩形，所以ABEC，所以ABDE，又ABDE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BEAD，折叠后如图所示过点M作MPDE，交AE于点P，连结NP.因为M，N分别是AD，BE的中点，所以点P为AE的中点，故NPEC.又MPNPP，DECEE，所以平面MNP平面DEC，故MN平面DEC，正确；由已知，AEED，AEEC，所以AEMP，AENP，又MPNPP，所以AE平面MNP，又MN平面MNP，所以MNAE，正确；假设MNAB，则MN与AB确定平面MNBA，从而BE平面MNBA，AD平面MNBA，与BE和AD是异面直线矛盾，错误；当ECED时，ECAD.因为ECEA，ECED，EAEDE，所以EC平面AED，AD平面AED，所以ECAD，不正确18