1、微专题三立体几何中的实际应用问题例1(2018南通、泰州模拟)如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的，已知正六棱柱的底面边长、高都为4cm，圆柱的底面积为9cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6cm的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为_cm.(不计损耗)答案2解析由题意知，铜质六角螺帽毛坯的体积V460(cm3)设正三棱柱的底面边长为acm，则a2sin60660，解得a2，所以正三棱柱的底面边长为2cm.例2如图，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切将球取出后，容器内的水深是多少？解铁球取出后，容
2、器内水的体积不变，设球被取出后容器内水深为h，ABC为正三角形，O为ABC的中心，AO13OM3r，注水后圆锥的底面半径O1C3r，球取出后的水深为h，则此时圆锥底面半径为h.球的体积与球被取出后圆锥的体积之和等于注水后圆锥的体积，即r32h23r，解得hr.球取出后，容器内的水深为r.例3现需要设计一个仓库，它由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍(1)若AB6m，PO12m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？
3、解(1)由PO12知，O1O4PO18.因为A1B1AB6，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥A1BPO162224(m3)；正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(m3)所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3)(2)设A1B1am，PO1hm，则0h6，O1O4h.连结O1B1.因为在RtPO1B1中，O1BPOPB，所以2h236，即a22(36h2)，于是仓库的容积VV柱V锥a24ha2ha2h(36hh3)，0h6，从而V(363h2)26(12h2)令V0，得h2或h2(舍)当0h0，V是单调增函数；当2h6时，V0，h0，得0r6，所以V(
4、r)，其定义域为r|0r6因为V(r)，0r6，所以V(r).令V(r)0，解得r6，又0r6，所以r6.当0r0，所以V(r)在(0,6)上单调递增；当6r6时，V(r)0，所以V(r)在(6,6)上单调递减因此当r6时，V(r)取得最大值，故当r为6时，该粮仓下部分(圆柱)的体积最大(2)(2018南京、盐城模拟)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计)，一边AB长为6分米，另一边足够长现从中截取矩形ABCD(如图甲所示)，再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示，重叠部分忽略不计)，其中OEMF是以O为圆心、EOF120的扇形，且弧，分别与边BC，AD
5、相切于点M，N.当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？解在图甲中，连结MO交EF于点T.设OEOFOMR，在RtOET中，因为EOTEOF60，所以OT，则MTOMOT.从而BEMT，即R2BE2.故所得柱体的底面积SS扇形OEFSOEFR2R2sin120.又所得柱体的高EG4，所以VSEG4.答当BE长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为立方分米设BEx，则R2x，所以所得柱体的底面积SS扇形OEFSOEFR2R2sin120x2.又所得柱体的高EG62x，所以VSEG(x33x2)，其中0x3.令f(x)x33x2，x(0,3)，则由f(x)3x26x3x(x2)0，解得x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(0,2)2(2,3)f(x)0f(x)极大值所以当x2时，f(x)取得极大值，也是最大值答当BE的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大5