1、 第八章 立体几何考试内容等级要求柱、锥、台、球及其简单组合体A柱、锥、台、球的表面积与体积A平面及其基本性质A直线与平面平行、垂直的判定及性质B两平面平行、垂直的判定及性质B空间向量的概念A空间向量共线、共面的充分必要条件B空间向量的加法、减法及数乘运算B空间向量的坐标表示B空间向量的数量积B空间向量的共线与垂直B直线的方向向量与平面的法向量B空间向量的应用B8.1空间点、直线、平面之间的位置关系考情考向分析主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断，题型主要以填空题的形式出现，解题要求有较强的直观想象和逻辑推理等核心素养，主要为中低档题1四个公理、三个推论公理1：如果一条直线上的两点在
2、一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行2空间两条直线的位置关系(1)位置关系的分类分类：定理：过平面内的一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线(2)异面直线所成的角定义：设a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线aa，bb，把直线
3、a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：.定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等3直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况概念方法微思考1分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？提示不一定因为异面直线不同在任何一个平面内分别在两个不同平面内的两条直线也可能平行或相交2空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？提示不一定如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1
4、)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.()(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合()(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面()(5)没有公共点的两条直线是异面直线()(6)若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则a，b是异面直线()题组二教材改编2P27习题T8如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为_答案60解析连结B1D1，D1C(图略)，则B1D1EF，故D1B1C即为所求的角又B1D1B1CD1C，B1
5、D1C为等边三角形，D1B1C60.3P28T12如图，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为正方形答案(1)ACBD(2)ACBD且ACBD解析(1)四边形EFGH为菱形，EFEH，EFAC，EHBD，且EFAC，EHBD，ACBD.(2)四边形EFGH为正方形，EFEH且EFEH，EFAC，EHBD，且EFAC，EHBD，ACBD且ACBD.题组三易错自纠4用集合符号表示“点P在直线l外，直线l在平面内”为_答案Pl，l5已知l，m，n为不同的直线，为不
6、同的平面，则下列判断正确的是_(填序号)若m，n，则mn；若m，n，则mn；若l，m，m，则ml；若m，n，lm，ln，则l.答案解析中，m，n可能的位置关系为平行、相交、异面，故错误；中，m与n也有可能平行，错误；中，根据线面平行的性质可知正确；中，若mn，根据线面垂直的判定可知错误6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为_答案3解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行故互为异面的直线有且
7、只有3对.题型一平面基本性质的应用例1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点证明(1)如图，连结EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F四点共面(2)EFCD1，EF0)，则AA1tAB.AB1，AA1t.A1C1，A1BBC1，cosA1BC1.t3，即3.思维升华用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，
8、求出所作的角跟踪训练3(1)(2018全国改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为_答案解析如图，因为ABCD，所以AE与CD所成角为EAB.在RtABE中，设AB2，则BE，则tanEAB，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为.(2)(2018全国改编)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为_答案解析方法一如图，在长方体ABCDA1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体ABBAA1B1B1A1.连结B1B，由长方体性质可知，B1BAD1，所以DB1B为异面直线AD1与DB1所
9、成的角或其补角连结DB，由题意，得DB，BB12，DB1.在DBB1中，由余弦定理，得DB2BBDB2BB1DB1cosDB1B，即54522cosDB1B，cosDB1B.方法二如图，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.由题意，得A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，(1,0，)，(1,1，)，1101()22，|2，|，cos，.立体几何中的线面位置关系直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题例如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BCA
10、D且BCAD，BEFA且BEFA，G，H分别为FA，FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FGGA，FHHD，可得GHAD且GHAD.又BCAD且BCAD，GHBC且GHBC，四边形BCHG为平行四边形(2)解BEAF且BEAF，G为FA的中点，BEFG且BEFG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BGCH.EFCH，EF与CH共面又DFH，C，D，F，E四点共面素养提升平面几何和立体几何在点线面的位置关系中有很多的不同，借助确定的几何模型，利用直观想象讨论点线面关系在平面和空间中的差异1四条线段顺次首尾相连，
11、它们最多可确定的平面个数为_答案4解析首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面2用符号表示“点A在直线l上，l在平面外”，下列表示正确的是_(填序号)Al，l；Al，l；Al，l；Al，l.答案3给出下列命题：四边形是平面图形；有三个公共点的两个平面重合；两两相交的三条直线必在同一平面内；三角形必是平面图形其中正确命题的序号为_答案解析由公理3知三角形必是平面图形4如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_答案4解析EF与正方体左、右两侧面均平行，所以与EF相交的平面有4个5(2018江苏昆山中学
12、质检)已知平面平面，l，点A，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是_ABm；ACm；AB；AC.答案解析如图所示，ABlm；ACl，mlACm；ABlAB，只有不一定成立6正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有_条答案6解析如图，在正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，共6条7(2017全国改编)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_答案解析方法一将直三棱柱ABCA1B1C1补形为直四棱柱ABCDA1B1C
13、1D1，如图所示，连结AD1，B1D1，BD.图由题意知ABC120，AB2，BCCC11，所以AD1BC1，AB1，DAB60.在ABD中，由余弦定理知BD2AB2AD22ABADcosDAB2212221cos603，所以BD，所以B1D1.又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角，所以cos.方法二以B1为坐标原点，B1C1所在的直线为x轴，垂直于B1C1的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示图由已知条件知B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(1，1)，则(1,0，1)，(1，1)所以cos，.所以异面直线AB1与BC1所成角的
14、余弦值为.8在三棱锥SABC中，G1，G2分别是SAB和SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是_答案平行解析如图所示，连结SG1并延长交AB于M，连结SG2并延长交AC于N，连结MN.由题意知SM为SAB的中线，且SG1SM，SN为SAC的中线，且SG2SN，在SMN中，G1G2MN，易知MN是ABC的中位线，MNBC，G1G2BC.9.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_答案解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连结C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以ADBC，
15、所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D圆柱下底面，所以C1DAD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1DAD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.10.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_答案解析还原成正四面体ADEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合易知GH与EF异面，BD与MN异面连结GM，GMH为等
16、边三角形，GH与MN成60角，易证DEAF，又MNAF，MNDE.因此正确命题的序号是.11.如图所示，A是BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角(1)证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是BCD所在平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线(2)解取CD的中点G，连结EG，FG，则ACFG，EGBD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角又因为ACBD，则FGEG.在RtEGF中
17、，由EGFGAC，求得FEG45，即异面直线EF与BD所成的角为45.12.如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值解(1)SABC222，三棱锥PABC的体积为VSABCPA22.(2)如图，取PB的中点E，连结DE，AE，则EDBC，所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.13平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则
18、m，n所成角的正弦值为_答案解析如图所示，设平面CB1D1平面ABCDm1，平面CB1D1，则m1m，又平面ABCD平面A1B1C1D1，平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1，B1D1m，同理可得CD1n.故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即CD1B1的大小又B1CB1D1CD1(均为面对角线)，CD1B1，得sinCD1B1.14.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD.其中正确结论的序号是_答案解析如图，ABEF，正确；显然ABCM，所以不正确；EF与MN是异面直
19、线，所以正确；MN与CD异面，并且垂直，所以不正确，则正确的是.15.如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且ACBC4，ACB90，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成角的余弦值为_答案解析取DE的中点H，连结HF，GH.由题设，HFAD且HFAD，GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)在GHF中，可求HF2，GFGH2，cosGFH.16.如图所示，三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC2FB2.(1)当点M在何位置时，BM平面AEF?(2)若
20、BM平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值解(1)方法一如图所示，取AE的中点O，连结OF，过点O作OMAC于点M.因为ECAC，OM，EC平面ACC1A1，所以OMEC.又因为EC2FB2，ECFB，所以OMFB且OMECFB，所以四边形OMBF为矩形，BMOF.因为OF平面AEF，BM平面AEF，故BM平面AEF，此时点M为AC的中点方法二如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连结PQ，PB，BQ.因为EC2FB2，所以PEBF且PEBF，所以PBEF，PQAE，又AE，EF平面AEF，PQ，PB平面AEF，所以PQ平面AFE，PB平面AEF，因为PBPQP，PB，PQ平面PBQ，所以平面PBQ平面AEF.又因为BQ平面PBQ，所以BQ平面AEF.故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点(2)由(1)知，BM与EF异面，OFE(或MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角易求AFEF，MBOF，OFAE，所以cosOFE，所以BM与EF所成的角的余弦值为.19