1、第二章 函数考试内容等级要求函数的概念B函数的基本性质B指数与对数B指数函数的图象与性质B对数函数的图象与性质B幂函数A函数与方程B函数模型及其应用B2.1函数及其表示考情考向分析以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有填空题，又有解答题，中档偏上难度1函数与映射函数映射两个集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应法则f：AB如果按某种对应法则f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应如果按某种对应法则f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y与之对应名称称yf(x)，xA
2、为从集合A到集合B的一个函数称f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法函数yf(x)，xA映射：f：AB2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，所有的输入值x组成的集合A叫做函数yf(x)的定义域；对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法3分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域
3、的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数概念方法微思考请你概括一下求函数定义域的类型提示(1)分式型；(2)根式型；(3)对数式型；(4)指数函数、对数函数型；(5)三角函数型题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)对于函数f：AB，其值域就是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数表示同一函数()(3)函数f(x)的图象与直线x1最多有一个交点()(4)若AR，Bx|x0，f：xy|x|，其对应是从A到B的映射()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的()题组二教材改编2P26练习T6函数f(x)的定义域是_答案(，1)(1,43
4、P30练习T2函数yf(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是_；值域是_；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是_答案3,02,31,51,2)(4,5题组三易错自纠4已知集合Px|0x4，Qy|0y2，下列各对应关系f不能表示从P到Q的函数的是_(填序号)f：xyx；f：xyx；f：xyx；f：xy.答案解析对于，因为当x4时，y4Q，所以不是从P到Q的函数5已知f()x1，则f(x)_.答案x21(x0)解析令t，则t0，xt2，所以f(t)t21(t0)，即f(x)x21(x0)6设函数f(x)则使得f(x)1的自变量x的取值范围为_答案(，20,10解析f(x)是分段函数，f
5、(x)1应分段求解当x1时，f(x)1(x1)21x2或x0，x2或0x1.当x1时，f(x)141，即3，1x10.综上所述，x2或0x10，即x(，20,10第1课时函数的概念与解析式题型一函数的概念1已知A1,2,3，k，B4,7，a4，a23a，aN*，kN*，xA，yB，f：xy3x1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k的值解由对应法则知，14,27,310，k3k1.由a410，故a23a10，解得a2或a5(舍去)，所以a416.于是3k116，所以k5.2有以下判断：f(x)与g(x)表示同一函数；f(x)x22x1与g(t)t22t1表示同一函数；若f(x)|x1|x|，
6、则f0.其中判断正确的序号是_答案解析对于，由于函数f(x)的定义域为x|xR且x0，而函数g(x)的定义域是R，所以二者不是同一函数，故不正确；对于，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应法则均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数，故正确；对于，由于f0，所以ff(0)1，故不正确综上可知，正确的判断是.3已知映射f：AB，其中ABR，对应法则f：xyx22x，对于实数kB，在集合A中不存在元素与之对应，则k的取值范围是_答案(1，)解析由题意知，方程x22xk无实数根，即x22xk0无实数根4(1k)1时满足题意思维升华函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定；当且仅当定义域和对应法则都
7、相同的函数才是同一函数值得注意的是，函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)题型二求函数的解析式例1(1)设二次函数yf(x)的最大值为13，且f(3)f(1)5，求f(x)的解析式；(2)已知f，求f(x)的解析式解(1)方法一由f(3)f(1)，知抛物线yf(x)的对称轴为x1，故设f(x)a(x1)213(a0)，将点(3,5)的坐标代入，求得a2.故f(x)2(x1)2132x24x11.方法二由f(3)f(1)5，可设f(x)5a(x3)(x1)(a0)，即f(x)a(x2
8、2x3)5a(x1)24a5，故4a513，得a2，从而f(x)2(x1)2132x24x11.(2)令t，因11，故t1，且x.由f，得f(t)(t1)于是得f(x)，其定义域是x|x1思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式跟踪训练1(1)已知函数f(x)是二次函数，且满足f(2x1)f(2x1)16x24x6，则f(x)_.答案2x2x1解析
9、设二次函数f(x)ax2bxc(a0)，则a(2x1)2b(2x1)ca(2x1)2b(2x1)c16x24x6，可得解得则f(x)2x2x1.(2)已知f(3x1)2x2x3，则f(1x)_.答案3解析令3x1t，于是x，得f(t)223，所以f(x)，所以f(1x)3.题型三分段函数命题点1求分段函数的函数值例2(1)已知f(x)且f(0)2，f(1)3，则f(f(3)_.答案2解析由题意得f(0)a0b1b2，解得b1；f(1)a1ba113，解得a.故f(3)319，从而f(f(3)f(9)log392.(2)已知函数f(x)则f(2log32)的值为_答案解析2log312log32
10、2log33，即22log323，f(2log32)f(2log321)f(3log32)，又33log321.解(1)因为0c1，所以c2c.由f(c2)，得c31，所以c.(2)由(1)得f(x)当0x1，解得x；当x1，解得x0时，1a1，由f(1a)f(1a)，可得2(1a)a(1a)2a，解得a，不合题意；当a1,1a1，由f(1a)f(1a)，可得(1a)2a2(1a)a，解得a，符合题意综上，a.(2)(2018全国改编)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是_答案(，0)解析方法一当即x1时，f(x1)f(2x)即为2(x1)22x，即(x1)2x，解得x1.
11、因此不等式的解集为(，1当时，不等式组无解当即1x0时，f(x1)f(2x)即122x，解得x0时，f(x1)1，f(2x)1，不合题意综上，不等式f(x1)f(2x)的解集为(，0)方法二f(x)函数f(x)的图象如图所示由图可知，当x10且2x0时，函数f(x)为减函数，故f(x1)2x.此时x1.当2x0时，f(2x)1，f(x1)1，满足f(x1)f(2x)此时1x0.综上，不等式f(x1)0，所以flog220，所以ff(2)321.7(2019江苏省海安高级中学月考)已知函数f(x)满足f2f3x，则f(2)_.答案解析由题意可得解得令22，可得x，则f(2)3.8已知f(x)是二
12、次函数且f(0)2，f(x1)f(x)x1，则f(x)_.答案x2x2解析设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)2，得c2，f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)2ax2bx2x1，即2axabx1，即f(x)x2x2.9设f(x)若f(a)f(a1)，则f_.答案6解析由当x1时f(x)2(x1)是增函数可知，若a1，则f(a)f(a1)，所以0a1，由f(a)f(a1)得2(a11)，解得a，则ff(4)2(41)6.10已知f，则f(x)_.答案x2x1(x1)解析f21，令t(t1)，则f(t)t2t1，即f(x)x2x1(x1)11已知f(x)，求fff的值解因为f(x)，则f
13、(1x)，f(x)f(1x)3，所以fff31005.12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：ymxn(m，n是常数)如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图(1)求y关于x的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2m，求行驶的最大速度解(1)由题意及函数图象，得解得m，n0，所以y(x0)(2)令25.2，得72x70.因为x0，所以0x70.故行驶的最大速度是70km/h.13设函数f(x)若f(f(a)3，则
14、实数a的取值范围是_答案(， 解析令f(a)t，则f(t)3等价于或解得t3，则f(a)3等价于或解得a，则实数a的取值范围是(， 14已知函数f(x)满足对任意的xR都有ff2成立，则fff_.答案7解析由ff2，得ff2，ff2，ff2，又f21，fff2317.15已知具有性质：ff(x)的函数，我们称f(x)为满足“倒负”变换的函数，下列函数：f(x)x；f(x)2x；f(x)log2x；f(x)其中满足“倒负”变换的函数是_(填序号)答案解析对于，f(x)x，fxf(x)，满足；对于，f2x，不满足；对于，flog2log2xf(x)，满足；对于，f即f故ff(x)，满足综上，满足“倒负”变换的函数是.16.如图，动点P从矩形ABCD的顶点A开始，顺次经B，C，D绕边界一周，已知AB2，AD1，设x表示点P的行程，yPA，求y关于x的解析式解当P在AB上运动时，yx(0x2)；当P在线段BC上运动时，y(2x3)；当P在线段CD上运动时，y(3x5)；当P在线段DA上运动时，y6x(5x6)，y12