1、9.2两条直线的位置关系考情考向分析以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查题型主要以填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点1两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行：()对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.()当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.两条直线垂直：()如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.(2)两
2、条直线的交点直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解2几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离P1P2.(2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d.概念方法微思考1若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率有什么关系？提示当两条直线l1与l2的斜率都存在时，1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l1与l2也垂直2应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？提示(1)将方程化为最简的一般形式(2)利
3、用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x，y的系数分别对应相等题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定为1.()(3)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()(4)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(5)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于，且线段AB的中点在直线l上()题组二教材改编2P106T8已知点
4、(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a_.答案1解析由题意得1.解得a1或a1.a0，a1.3P93T7已知P(2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m_.答案1解析由题意知1，所以m42m，所以m1.4P95T3若三条直线y2x，xy3，mx2y50相交于同一点，则m的值为_答案9解析由得所以点(1,2)满足方程mx2y50，即m12250，所以m9.题组三易错自纠5若直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m_.答案2或3解析直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m0且，故m2或3.6直线2x2y10，xy20之间的距离是_答案解析先将2x
5、2y10化为xy0，则两平行线间的距离为d.7若直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直，则a_.答案0或1解析由两直线垂直的充要条件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得a0或a1.题型一两条直线的平行与垂直例1已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)当l1l2时，求a的值解(1)方法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；当a1且a0时，两直线可化为l1：yx3，l2：yx(a1)，l1l2解得a1，综上可知，当a1时，l
6、1l2，当a1时，l1与l2不平行方法二由A1B2A2B10，得a(a1)120，由A1C2A2C10，得a(a21)160，l1l2可得a1，故当a1时，l1l2；当a1时，l1与l2不平行(2)方法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不垂直，故a1不成立；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不垂直于l2，故a0不成立；当a1且a0时，l1：yx3，l2：yx(a1)，由1，得a.方法二由A1A2B1B20，得a2(a1)0，可得a.思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意x，y的系数不能同时为
7、零这一隐含条件(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论跟踪训练1(1)(2019如皋调研)已知直线l1：axy2a10和l2：3x(a2)y50平行，则实数a的值为_答案1解析当两直线平行时，有解得a1.(2)已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值l1l2，且直线l1过点(3，1)；l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解l1l2，a(a1)b0，又直线l1过点(3，1)，3ab40.故a2，b2.直线l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在k1k2，即1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，l1，l2在y轴
8、上的截距互为相反数，即b.故a2，b2或a，b2.题型二两直线的交点与距离问题1若直线l与两直线y1，xy70分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，1)，则直线l的斜率是_答案解析由题意易知直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为yk(x1)1，分别与y1，xy70联立解得M，N.又因为MN的中点是P(1，1)，所以由中点坐标公式得k.2若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则PQ的最小值为_答案解析因为，所以两直线平行，将直线3x4y120化为6x8y240，由题意可知PQ的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以PQ的最小值为.3已知直线ykx2k1与直线yx2的
9、交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_答案解析方法一由方程组解得(若2k10，即k，则两直线平行，不合题意)交点坐标为.又交点位于第一象限，解得k.方法二如图，已知直线yx2与x轴、y轴分别交于点A(4,0)，B(0,2)而直线方程ykx2k1可变形为y1k(x2)，表示这是一条过定点P(2,1)，斜率为k的动直线两直线的交点在第一象限，两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，动直线的斜率k需满足kPAkkPB.kPA，kPB.k.4已知A(4，3)，B(2，1)和直线l：4x3y20，若在坐标平面内存在一点P，使PAPB，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为_答案或解析设点P的坐标为(
10、a，b)A(4，3)，B(2，1)，线段AB的中点M的坐标为(3，2)而AB的斜率kAB1，线段AB的垂直平分线方程为y2x3，即xy50.点P(a，b)在直线xy50上，ab50.又点P(a，b)到直线l：4x3y20的距离为2，2，即4a3b210，由联立解得或所求点P的坐标为(1，4)或.思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程(2)利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等题型三对称问题命题点1点关于点中心对称例2过点P
11、(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_答案x4y40解析设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.命题点2点关于直线对称例3如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是_答案2解析直线AB的方程为xy4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称
12、点为C(2,0)，则光线经过的路程为CD2.命题点3直线关于直线的对称问题例4直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是_答案x2y30解析设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于xy20的对称点为P(x0，y0)，由得由点P(x0，y0)在直线2xy30上，2(y2)(x2)30，即x2y30.思维升华解决对称问题的方法(1)中心对称点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P(x，y)满足直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决(2)轴对称点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m，n)，则有直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决跟踪训练2已知直线l：
13、2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A对称的直线l的方程解(1)设A(x，y)，则解得即A.(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m上设对称点为M(a，b)，则解得即M.设m与l的交点为N，则由得N(4,3)又m经过点N(4,3)，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.(3)方法一在l：2x3y10上任取两点，如P(1,1)，N(4,3)，则P，N关于点A的对称点P，N均在直线l上易知P(3，5)，N(6，7)，由两点式可得l的方程为2x3y9
14、0.方法二设Q(x，y)为l上任意一点，则Q(x，y)关于点A(1，2)的对称点为Q(2x，4y)，Q在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.妙用直线系求直线方程在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系例1求与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程解由题意，设所求直线方程为3x4yc0(c1)，又因为直线过点(1,2)，所以3142c0，解得c11.因此，所求直线方程为3x4y
15、110.二、垂直直线系由于直线A1xB1yC10与A2xB2yC20垂直的充要条件为A1A2B1B20.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系可以考虑用直线系方程求解例2求经过A(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程解因为所求直线与直线2xy100垂直，所以设该直线方程为x2yC0，又直线过点A(2,1)，所以有221C0，解得C0，即所求直线方程为x2y0.三、过直线交点的直线系例3求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程解方法一将直线l1，l2的方程联立，得解得即直线l1，l2的交点为(1,2)由题意得直线
16、l3的斜率为，又直线ll3，所以直线l的斜率为，则直线l的方程是y2，即5x3y10.方法二由于ll3，所以可设直线l的方程是5x3yC0，将直线l1，l2的方程联立，得解得即直线l1，l2的交点为(1,2)，则点(1,2)在直线l上，所以5(1)32C0，解得C1，所以直线l的方程为5x3y10.方法三设直线l的方程为3x2y1(5x2y1)0，整理得(35)x(22)y(1)0.由于ll3，所以3(35)5(22)0，解得，所以直线l的方程为5x3y10.1已知直线l1：xmy70和l2：(m2)x3y2m0互相平行，则实数m_.答案1或3解析当m0时，显然不符合题意；当m0时，由题意得，
17、解得m1或m3.2若mR，则“log6m1”是“直线l1：x2my10与l2：(3m1)xmy10平行”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析由log6m1得m，若l1：x2my10与l2：(3m1)xmy10平行，则两直线斜率相等或斜率不存在，解得m0或m，则“log6m1”是“直线l1：x2my10与l2：(3m1)xmy10平行”的充分不必要条件3已知过点A(2，m)和B(m,4)的直线为l1，直线2xy10为l2，直线xny10为l3.若l1l2，l2l3，则实数mn的值为_答案10解析因为l1l2，所以kAB2，解得m8.又因为l2l
18、3，所以(2)1，解得n2，所以mn10.4过点M(3,2)，且与直线x2y90平行的直线方程是_答案x2y10解析方法一因为直线x2y90的斜率为，所以与直线x2y90平行的直线的斜率为，又所求直线过M(3,2)，所以所求直线的点斜式方程为y2(x3)，化为一般式得x2y10.方法二由题意，设所求直线方程为x2yc0，将M(3，2)代入，解得c1，所以所求直线方程为x2y10.5若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2之间的距离为_答案解析l1l2，a2且a0，解得a1，l1与l2的方程分别为l1：xy60，l2：xy0，l1与l2的距离d.6若直线l1：yk(x
19、4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点_答案(0,2)解析直线l1：yk(x4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2)7已知直线l1：axy60与l2：x(a2)ya10相交于点P，若l1l2，则a_，此时点P的坐标为_答案1(3,3)解析直线l1：axy60与l2：x(a2)ya10相交于点P，且l1l2，a11(a2)0，即a1，联立方程易得x3，y3，P(3,3)8将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn_.答案
20、解析由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故mn.9已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_答案x2y30解析当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大因为A(1,1)，B(0，1)，所以kAB2，所以两平行直线的斜率为k，所以直线l1的方程是y1(x1)，即x2y30.10直线l1：y2x3关于直线l：yx1对称的直线l2的方程为_答案x2y0解析由解得直线l1与l的交点坐标为(2，1)，所以可设直线l2的方程为
21、y1k(x2)，即kxy2k10.在直线l上取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l1，l2的距离相等，由点到直线的距离公式得，解得k(k2舍去)，所以直线l2的方程为x2y0.11已知方程(2)x(1)y2(32)0与点P(2,2)(1)证明：对任意的实数，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.(1)解显然2与(1)不可能同时为零，故对任意的实数，该方程都表示直线方程可变形为2xy6(xy4)0，解得故直线经过的定点为M(2，2)(2)证明过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知PQPM，当且仅当Q与M重
22、合时，PQPM，此时对应的直线方程是y2x2，即xy40.但直线系方程唯独不能表示直线xy40，M与Q不可能重合，而PM4，PQ0)；l2：4x2y10；l3：xy10，且l1与l2间的距离是.(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：点P在第一象限；点P到l1的距离是点P到l2的距离的；点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由解(1)直线l2：2xy0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d，所以，即，又a0，解得a3.(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)若P点满足条件，则P点在与l1，l2平行的直线l：2xyc0上，且，即c或，
23、所以2x0y00或2x0y00；若P点满足条件，由点到直线的距离公式，有，即|2x0y03|x0y01|，所以x02y040或3x020；由于点P在第一象限，所以3x020不可能联立方程2x0y00和x02y040，解得(舍去)联立方程2x0y00和x02y040，解得所以存在点P同时满足三个条件13已知直线y2x是ABC中C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(4，2)，(3,1)，则点C的坐标为_答案(2,4)解析设A(4,2)关于直线y2x的对称点为(x，y)，则解得BC所在直线方程为y1(x3)，即3xy100.联立解得则C(2,4)14若三条直线y2x，xy3，mxny50相交
24、于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为_答案解析联立解得x1，y2.把(1,2)代入mxny50可得，m2n50.m52n.点(m，n)到原点的距离d，当且仅当n2，m1时取等号点(m，n)到原点的距离的最小值为.15数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知ABC的顶点A(1,0)，B(0,2)，且ACBC，则ABC的欧拉线的方程为_答案2x4y30解析因为ACBC，所以欧拉线为AB的中垂线，又A(1，0)，B(0,2)，故AB的中点为，kAB2，故AB的中垂线方程为y1，即
25、2x4y30.16在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合若直线l与直线l1关于点(2,4)对称，求直线l的方程解由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxb，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1：yk(x3)5b，将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为yk(x31)b52，即ykx34kb，b34kb，解得k，直线l的方程为yxb，直线l1为yxb，取直线l上的一点P，则点P关于点(2,4)的对称点为，8b(4m)b，解得b.直线l的方程是yx，即6x8y90.15