1、2.3函数的奇偶性与周期性考情考向分析以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以填空题为主，中等偏上难度1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(
2、x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期概念方法微思考1如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)g(x)，f(x)g(x)的奇偶性有什么结论？提示在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f(xa)f(x)(a0)(2)f(xa)(a0)(3)f(xa)f(xb)(ab)提示(1)T2|a|(2)T2|a|(3)T|ab|题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“
3、”)(1)函数yx2，x(0，)是偶函数()(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(4)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期()题组二教材改编2P45习题T11已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x(1x)，则f(1)_.答案2解析f(1)122，又f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.3P43练习T4函数yf(x)为(，)上的偶函数，且f(|a|)3，则f(a)_.答案3解析若a0，则f(a)f(a)f(|a|)3；若a0，则f(a)f(|a|)3.故对aR，总
4、有f(a)3.4P45习题T8若函数f(x)(x1)(xa)为偶函数，则a_.答案1解析f(x)(x1)(xa)x2(1a)xa为偶函数，f(x)f(x)对xR恒成立，(1a)x(a1)x恒成立，1a0，a1.题组三易错自纠5已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是_答案解析f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，a12a0，a.又f(x)f(x)，b0，ab.6已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x3)f(x)，且当x时，f(x)x3，则f_.答案解析由f(x3)f(x)知函数f(x)的周期为3，又函数f(x)为奇函数，所以fff3.题型一函数奇偶性的判断
5、例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)解(1)由得x236，解得x6，即函数f(x)的定义域为6,6，关于原点对称，f(x)0.f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数(3)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数思维升华判断函
6、数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立跟踪训练1(1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是_(填序号)f(x)xsin2x; f(x)x2cosx；f(x)3x；f(x)x2tanx.答案解析对于，函数的定义域为R，f(x)xsin2(x)(xsin2x)f(x)，所以f(x)xsin2x为奇函数；对于，函数的定义域为R，f(x)(x)2cos(x)x
7、2cosxf(x)，所以f(x)x2cosx为偶函数；对于，函数的定义域为R，f(x)3xf(x)，所以f(x)3x为奇函数；对于，f(x)x2tanx既不是奇函数也不是偶函数(2)函数f(x)lg|sinx|是_(填序号)最小正周期为的奇函数；最小正周期为2的奇函数；最小正周期为的偶函数；最小正周期为2的偶函数答案解析易知函数的定义域为x|xk，kZ，关于原点对称，又f(x)lg|sin(x)|lg|sinx|lg|sinx|f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y|sinx|的最小正周期为，所以函数f(x)lg|sinx|是最小正周期为的偶函数题型二函数的周期性及其应用1若函数f(x)(x
8、R)是周期为4的奇函数，且在0,2上的解析式为f(x)则ff_.答案解析由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以ffffffffsin.2已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)2，且对任意的x都有f(x2)，则f(2020)_.答案2解析由f(x2)，得f(x4)f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2020)f(4)因为f(22)，所以f(4)2.故f(2020)2.3已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3,0时，f(x)6x，则f(919)_.答案6解析f(x4)f(x2)，f(x2)4)f(x2)2)，即f(x6)f(x)，f(x)是周期为6的周期函数
9、，f(919)f(15361)f(1)又f(x)是定义在R上的偶函数，f(1)f(1)6，即f(919)6.4设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；当0x1时，f(x)2x1，则ff(1)ff(2)f_.答案1解析依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)f(1)0，f(1)f(1)，即f(1)0.ff(1)ff(2)ff0ff(0)ffff(0)fff(0)12011.思维升华利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题题型三函数性质的综合应用命题点1求函数值或函数解析式例2(1)设
10、f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间2,0)(0,2上，f(x)则f(2021)_.答案解析设0x2，则2x0时，x0时，f(x)x2ax1a，若函数f(x)为R上的减函数，则a的取值范围是_答案1,0解析因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0，若函数f(x)为R上的减函数，则满足当x0时，函数为减函数，且1a0，此时即即1a0.命题点3利用函数的性质解不等式例4(1)已知定义在R上的偶函数f(x)在0，)上单调递增，若f(lnx)f(2)，则x的取值范围是_答案(e2，e2)解析根据题意知，f(x)为偶函数且在0，)上单调递增，则f(lnx)f(2)|lnx|2，即2lnx
11、2，解得e2xf(2x1)成立的x的取值范围为_答案解析由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)f(|x|)，由f(x)f(2x1)，可得f(|x|)f(|2x1|)当x0时，f(x)ln(1x)，因为yln(1x)与y在(0，)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，)上单调递增由f(|x|)f(|2x1|)，可得|x|2x1|，两边平方可得x2(2x1)2，整理得3x24x10，解得x1.所以符合题意的x的取值范围为.思维升华解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解跟踪训练2(1)设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)
12、2x(1x)，则f_.答案解析由题意可知，fff2.(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则f(25)，f(11)，f(80)的大小关系为_答案f(25)f(80)f(11)解析因为f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因为f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间2,2上是增函数，所以f(1)f(0)f(1
13、)所以f(25)f(80)f(11)(3)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当xf(x)，则实数x的取值范围是_答案(3,2)解析g(x)是奇函数，当x0时，xf(x)，可得6x2x，即x2x60，3x0.给出下列命题：f(3)0；直线x6是函数yf(x)的图象的一条对称轴；函数yf(x)在9，6上为增函数；函数yf(x)在9,9上有四个零点其中所有正确命题的序号为_答案解析f(36)f(3)f(3)又f(x)是R上的偶函数，所以f(3)0，故正确；由知f(x6)f(x)，所以f(x)的周期为6.又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(x6)f(x)，而f(x)的周期为6，所以f(x6)f(6x
14、)，f(x)f(x6)，所以f(6x)f(6x)，所以直线x6是函数yf(x)的图象的一条对称轴故正确；当x1，x20,3，且x1x2时，都有0，所以函数yf(x)在0,3上为增函数因为f(x)是R上的偶函数，所以函数yf(x)在3,0上为减函数，而f(x)的周期为6，所以函数yf(x)在9，6上为减函数故错误；f(3)0，f(x)的周期为6，所以f(9)f(3)f(3)f(9)0，所以函数yf(x)在9,9上有四个零点故正确二、函数性质的综合应用例2(1)(2018全国改编)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)_.答
15、案2解析f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(1x)f(x1)f(1x)f(1x)，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，函数f(x)是周期为4的周期函数由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)0，又f(1x)f(1x)，f(x)的图象关于直线x1对称，f(2)f(0)0，f(2)0.又f(1)2，f(1)2，f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(1)f(0)20200，f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)012f(49)f(50)f(1)f(2)202.(2)(2018南京、盐城模拟)若函数f(x)是定义在R上的偶函数
16、，且在区间0，)上是单调增函数如果实数t满足f(lnt)f2f(1)，那么t的取值范围是_答案解析f(lnt)ff(lnt)f(lnt)2f(lnt)2f(|lnt|)，于是f(lnt)f2f(1)，所以f(|lnt|)f(1)，所以|lnt|1，所以1lnt1，所以te.(3)(2018扬州期末)已知函数f(x)sinxx，则关于x的不等式f(1x2)f(5x7)0的解集为_答案(2,3)解析因为f(x)sin(x)xsinxxf(x)，所以f(x)为奇函数又因为f(x)sinxx2x，所以易判断f(x)在R上单调递减，所以f(1x2)f(5x7)0，即f(1x2)75x，即x25x60，解
17、得2x0时，x0，f(x)(x)22(x)3(x22x3)f(x)；(3)当x0，f(x)(x)22(x)3(x22x3)f(x)由(1)(2)(3)可知，当xR时，都有f(x)f(x)，f(x)为奇函数4已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且当x时，f(x)log2(3x1)，则f(2021)_.答案2解析函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，f(2021)f(45051)f(1)f(1)1，且当x时，f(x)log2(3x1)，f(1)log23(1)12，f(2021)f(1)2.5已知定义域为R的偶函数f(x)在(，0上是减函数，且f(1)2，则不等式
18、f(log2x)2的解集为_答案(2，)解析f(x)是R上的偶函数，且在(，0上是减函数，所以f(x)在0，)上是增函数，所以f(log2x)2f(1)f(|log2x|)f(1)|log2x|1log2x1或log2x2或0x.6已知偶函数f(x)对于任意xR都有f(x1)f(x)，且f(x)在区间0,1上是单调递增的，则f(6.5)，f(1)，f(0)的大小关系是_(用“”连接)答案f(0)f(6.5)f(1)解析由f(x1)f(x)，得f(x2)f(x1)f(x)，函数f(x)的周期是2.函数f(x)为偶函数，f(6.5)f(0.5)f(0.5)，f(1)f(1)f(x)在区间0,1上是
19、单调递增的，f(0)f(0.5)f(1)，即f(0)f(6.5)0时，f(x)lnx，则f的值为_答案ln2解析由已知可得fln2，所以ff(2)又因为f(x)是奇函数，所以ff(2)f(2)ln2.9奇函数f(x)在区间3,6上是增函数，且在区间3,6上的最大值为8，最小值为1，则f(6)f(3)的值为_答案9解析由于f(x)在3,6上为增函数，所以f(x)的最大值为f(6)8，f(x)的最小值为f(3)1，因为f(x)为奇函数，所以f(3)f(3)1，所以f(6)f(3)819.10设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1)上，f(x)其中aR.若ff，则f(5a)的值是_答案
20、解析由已知fffa，fff.又ff，则a，a，f(5a)f(3)f(34)f(1)1.11已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.经检验，m2符合题意(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以10，f(x2)对任意xR恒成立，则f(2023)_.答案1解析因为f(x)0，f(x2)，所以f(x4)f(x2)2f(x)，即函数f(x)的周期是4，所以f(
21、2023)f(50641)f(1)因为函数f(x)为偶函数，所以f(2023)f(1)f(1)当x1时，f(12)，得f(1).由f(x)0，得f(1)1，所以f(2023)f(1)1.14(2018如东、丰县联考)已知函数f(x).(1)当ab1时，求满足f(x)3x的x的取值集合；(2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，存在tR，使得不等式f(t22t)f(2t2k)有解，求k的取值范围解(1)由题意得3x，化简得3(3x)223x10，解得3x1(舍去)或3x，从而x1.即满足f(x)3x的x的取值集合是1(2)因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)0，所以0，化简并变形得(3ab
22、)(3x3x)2ab60.要使上式对任意的x恒成立，则3ab0且2ab60，解得或因为f(x)的定义域是R，所以不合题意，所以a1，b3.所以f(x)，对任意x1，x2R，x1x2，有f(x1)f(x2)因为x1f(x2)，因此f(x)在R上单调递减因为f(t22t)2t2k，即t22tk0，解得k1.所以k的取值范围为(1，)15已知函数f(x)sinxx，对任意的m2,2，f(mx2)f(x)0恒成立，则x的取值范围为_答案解析易知f(x)在R上为单调递增函数，且f(x)为奇函数，故f(mx2)f(x)0等价于f(mx2)f(x)f(x)，则mx2x，即mxx20对所有m2,2恒成立，令h(m)mxx2，m2,2，此时，只需即可，解得2x.16已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x1)是偶函数，当x(2,4)时，f(x)|x3|，求f(1)f(2)f(3)f(4)f(2020)的值解因为f(x)为奇函数，f(x1)为偶函数，所以f(x1)f(x1)f(x1)，所以f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(4)f(0)0，f(3)f(1)f(1)在f(x1)f(x1)中，令x1，可得f(2)f(0)0，所以f(1)f(2)f(3)f(4)0.所以f(1)f(2)f(3)f(4)f(2020)0.17